Brevet 2026 — Métropole

Partie 1 — Automatismes

Question 1. $ 0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \mathbf{\dfrac{3}{4}} $.

Question 2. $ -4{,}7 + 3{,}5 = \mathbf{-1{,}2} $.

Question 3. Le coefficient de proportionnalité est $ \dfrac{18}{6} = 3 $, donc $ a = 12 \times 3 = \mathbf{36} $.

Question 4. Le sac contient $ 10 + 4 + 6 = 20 $ boules au total. La probabilité d'obtenir une boule bleue est $ \dfrac{4}{20} $. Réponse B.

Question 5. $ 10x + 16 = -64 \Rightarrow 10x = -80 \Rightarrow x = -8 $. Réponse C.

Question 6. $ 0{,}00458 = 4{,}58 \times 10^{-3} $. Réponse C.

Question 7. Le secteur « Réponse B » correspond à un angle de $ 90^{\circ} $. Le nombre d'élèves ayant choisi B est $ \dfrac{90}{360} \times 24 = \dfrac{1}{4} \times 24 = \mathbf{6} $ élèves.

Question 8. Le périmètre d'un rectangle de dimensions $ 10 $ mm et $ 5 $ mm est $ 2 \times (10 + 5) = 2 \times 15 = \mathbf{30} $ mm. Réponse A.

Question 9. Dans le triangle rectangle $ EDF $, l'angle droit est en $ E $. L'hypoténuse est $ FD = 10 $ cm. Pour l'angle $ \widehat{EDF} $ (en $ D $), le côté adjacent est $ DE = 6 $ cm.
$ \cos(\widehat{EDF}) = \dfrac{DE}{FD} = \dfrac{6}{10} = \mathbf{\dfrac{3}{5}} $. Réponse B.

Exercice 1

1. D'après le tableau, les Pays-Bas ont obtenu 27 médailles d'or.
2. L'Australie a un total de 63 médailles, dont 17 d'argent et 28 de bronze.
   Nombre de médailles d'or $ = 63 - 17 - 28 = \mathbf{18} $.
3. La Grande-Bretagne a obtenu 31 médailles de bronze sur un total de 124 médailles.
   $ \dfrac{31}{124} = 0{,}25 = 25\% > 20\% $.
   L'affirmation est donc vraie. ✓
4. 1. On range les totaux dans l'ordre croissant : $ 56 ~;~ 63 ~;~ 71 ~;~ 75 ~;~ 82 ~;~ 89 ~;~ 105 ~;~ 124 ~;~ 220 $.
      La série comporte 9 valeurs, donc la médiane est la 5e valeur. La médiane est 82.
   2. Parmi ces 9 pays, 4 ont obtenu strictement moins de 82 médailles et 4 en ont obtenu strictement plus de 82. La médiane est ici la valeur de l'Ukraine, qui a obtenu exactement 82 médailles.
5. Le pourcentage d'augmentation est $ \dfrac{26 - 20}{20} \times 100 = \dfrac{6}{20} \times 100 = \mathbf{30\%} $.

Exercice 2

1. On calcule $ AB^2 + AC^2 = 6{,}4^2 + 4{,}8^2 = 40{,}96 + 23{,}04 = 64 = 8^2 = BC^2 $.
   Comme $ AB^2 + AC^2 = BC^2 $, par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ A $.
2. Les droites $ (BD) $ et $ (CE) $ sont sécantes en $ A $, et les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles.
   D'après le théorème de Thalès :
   $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE} $
   On a $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{6{,}4}{4{,}8} = \dfrac{4}{3} $.
   Donc $ \dfrac{BC}{DE} = \dfrac{4}{3} $, ce qui donne $ DE = BC \times \dfrac{3}{4} = 8 \times \dfrac{3}{4} = \mathbf{6} $ cm. ✓
   Et $ \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{3} $, ce qui donne $ AE = AC \times \dfrac{3}{4} = 4{,}8 \times \dfrac{3}{4} = \mathbf{3{,}6} $ cm. ✓
3. Les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles. La droite $ (CE) $ est une sécante qui les coupe en $ C $ et en $ E $.
   Les angles $ \widehat{ACB} $ et $ \widehat{AED} $ sont des angles alternes-internes : $ \widehat{ACB} = \widehat{AED} $.
   Les angles $ \widehat{BAC} $ et $ \widehat{DAE} $ sont opposés par le sommet en $ A $ : $ \widehat{BAC} = \widehat{DAE} $.
   Dans les triangles $ ABC $ et $ ADE $, la somme des angles vaut $ 180^{\circ} $, donc le troisième angle est aussi égal : les angles $ \widehat{ABC} $ et $ \widehat{ADE} $ sont égaux.
4. D'après la question précédente, les triangles $ ABC $ et $ ADE $ ont leurs trois angles respectivement égaux.
   De plus, $ \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE} = \dfrac{4}{3} $.
   Les triangles $ ABC $ et $ ADE $ sont donc semblables (même angles et côtés proportionnels).

5. On remarque que $ B $, $ A $ et $ D $ sont alignés sur la même droite (la droite $ (BD) $), avec $ A $ entre $ B $ et $ D $. De même, $ C $, $ A $ et $ E $ sont alignés.
   On décompose le quadrilatère $ BCDE $ en deux triangles à l'aide de la diagonale $ BD $ :

   • Triangle $ BCD $ : base $ BD = AB + AD = 6{,}4 + 4{,}8 = 11{,}2 $ cm, hauteur $ = AC = 4{,}8 $ cm (distance de $ C $ à la droite $ (BD) $).
     $ \text{Aire}(BCD) = \dfrac{11{,}2 \times 4{,}8}{2} = 26{,}88 $ cm².
   • Triangle $ BDE $ : base $ BD = 11{,}2 $ cm, hauteur $ = AE = 3{,}6 $ cm (distance de $ E $ à la droite $ (BD) $).
     $ \text{Aire}(BDE) = \dfrac{11{,}2 \times 3{,}6}{2} = 20{,}16 $ cm².

   Aire du quadrilatère $ BCDE = 26{,}88 + 20{,}16 = \mathbf{47{,}04} $ cm².

Exercice 3

Partie A

1. En lisant le graphique à $ r = 3{,}6 $ cm sur l'axe horizontal, on remonte jusqu'à la courbe et on lit la valeur correspondante sur l'axe vertical. L'image de $ 3{,}6 $ par cette fonction est environ $ 200 $ cm³.
2. En partant de $ V = 660 $ cm³ sur l'axe vertical, on trace une horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend sur l'axe des rayons. Le rayon correspondant est environ $ 5{,}4 $ cm.

Partie B

1. Pour $ R = 2{,}5 $ cm :
   $ V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 \approx 4{,}189 \times 15{,}625 \approx 65{,}45 $ cm³.
   Arrondi à l'unité : $ V \approx 65 $ cm³. ✓
2. $ \dfrac{1\,000}{65} \approx 15{,}38 $.
   On peut fabriquer au maximum 15 boules.
3. Masse d'une boule $ = V \times $ masse volumique $ = 65 \times 0{,}9 = 58{,}5 $ g.
   Comme le volume est une valeur arrondie à l'unité, on arrondit également la masse : $ \approx 59 $ g.

Exercice 4

1. Pour 16 sachets, il faudrait que 16 divise à la fois 112 et 140.
   $ 112 \div 16 = 7 $ : 16 divise 112. ✓
   $ 140 \div 16 = 8{,}75 $ : 16 ne divise pas 140. ✗
   On ne peut donc pas constituer 16 sachets.
2. On décompose 140 :
   $ 140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2^2 \times 5 \times 7 $.
   La décomposition en facteurs premiers de 140 est $ 2^2 \times 5 \times 7 $.
3. Le nombre maximal de sachets est le PGCD de 112 et 140.
   $ 112 = 2^4 \times 7 $ et $ 140 = 2^2 \times 5 \times 7 $.
   $ \text{PGCD}(112, 140) = 2^2 \times 7 = 4 \times 7 = \mathbf{28} $.
   On peut donc constituer au maximum 28 sachets.
   Composition de chaque sachet : $ 112 \div 28 = 4 $ bonbons à la fraise et $ 140 \div 28 = 5 $ bonbons au caramel.