Brevet 2026 — Amérique du Nord

Partie 1 — Automatismes

Question 1. On réduit au même dénominateur $ 12 $ : $ A = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{9}{12} = $ $ \mathbf{\dfrac{17}{12}} $.

Question 2. Une réduction de $ 10\% $ revient à multiplier par $ 0{,}9 $ : $ 45 \times 0{,}9 = $ $ \mathbf{40{,}5} $ €.

Question 3. Les codages indiquent que les deux diagonales se coupent en leur milieu et qu'elles ont la même longueur. Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur est un rectangle : réponse B (l'énoncé est trompeur : la figure à main levée ressemble à un parallélogramme quelconque, mais ce sont les codages — et non l'allure du dessin — qui imposent la nature du quadrilatère).

Question 4. $ 5x - 15 = 20 $ donne $ 5x = 35 $, soit $ x = \dfrac{35}{5} = $ $ \mathbf{7} $.

Question 5. On lit les coordonnées des points :

1. L'abscisse du point $ A $ est $ \mathbf{-4} $.
2. Les coordonnées du point $ B $ sont $ \mathbf{(-2~;~-1)} $.

Question 6. On range la série dans l'ordre croissant : $ 1~;~3~;~3~;~8~;~11~;~12~;~12~;~19~;~25 $. La série compte $ 9 $ valeurs ; la médiane est la $ 5^{\text{e}} $ valeur, soit $ \mathbf{11} $.

Question 7. Le triangle est rectangle en $ A $, donc $ BC $ est l'hypoténuse. Pour l'angle $ \widehat{ABC} $ situé en $ B $, le côté adjacent est $ AB $ : $ \cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} $, d'où $ AB = BC \times \cos(60°) $. La formule est $ \mathbf{5 \times \cos(60)} $.

Question 8. La somme des chiffres de $ 387 $ est $ 3 + 8 + 7 = 18 $, multiple de $ 3 $, donc $ 387 $ est divisible par $ 3 $. Un diviseur possible est $ \mathbf{3} $ (on a $ 387 = 3 \times 129 $ ; les diviseurs $ 9 $, $ 43 $ et $ 129 $ conviennent aussi).

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes

Exercice 1.

1. Dans le triangle $ AED $, le plus grand côté est $ AD $. On compare : $ AD^2 = 7{,}3^2 = 53{,}29 $ et $ AE^2 + DE^2 = 5{,}5^2 + 4{,}8^2 = 30{,}25 + 23{,}04 = 53{,}29 $. Comme $ AD^2 = AE^2 + DE^2 $, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ AED $ est rectangle en $ E $.
2. Le triangle $ AED $ est rectangle en $ E $, donc son aire vaut $ \dfrac{AE \times DE}{2} = \dfrac{5{,}5 \times 4{,}8}{2} = \dfrac{26{,}4}{2} = $ $ \mathbf{13{,}2} $ cm².
3. La droite $ (BC) $ est perpendiculaire à $ (BE) $ (triangle $ ABC $ rectangle en $ B $) et la droite $ (ED) $ est perpendiculaire à $ (AE) $ (triangle $ AED $ rectangle en $ E $). Comme $ B $, $ A $ et $ E $ sont alignés, $ (BE) $ et $ (AE) $ sont une même droite. Deux droites perpendiculaires à une même droite étant parallèles entre elles, $ (BC)~/\!/~(ED) $.
4. Les droites $ (BC) $ et $ (ED) $ sont parallèles, les points $ B $, $ A $, $ E $ d'une part et $ C $, $ A $, $ D $ d'autre part sont alignés. D'après le théorème de Thalès : $ \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{BC}{ED} $, soit $ \dfrac{AB}{5{,}5} = \dfrac{7{,}2}{4{,}8} $. On en déduit $ AB = \dfrac{5{,}5 \times 7{,}2}{4{,}8} = \dfrac{39{,}6}{4{,}8} = $ $ \mathbf{8{,}25} $ cm.
5. Les droites $ (BC) $ et $ (ED) $ sont parallèles et la droite $ (CD) $ est sécante : les angles $ \widehat{ACB} $ et $ \widehat{ADE} $ sont alternes-internes, donc égaux. Ainsi $ \widehat{ADE} \approx $ $ \mathbf{49°} $.

Exercice 2.

1. $ f(-4) = (-4-1)(-4+3) = (-5) \times (-1) = $ $ \mathbf{5} $.
2. On résout $ g(x) = 2 $, c'est-à-dire $ 2x + 1 = 2 $, soit $ 2x = 1 $ et $ x = $ $ \mathbf{0{,}5} $. L'antécédent de $ 2 $ par $ g $ est $ 0{,}5 $.
3. 1. La cellule $ B1 $ contient la valeur de $ x $, donc on saisit en $ B3 $ la formule $ \mathbf{=2*B1+1} $.
   2. Dans le tableau, $ f $ et $ g $ prennent la même valeur $ 5 $ pour $ x = 2 $ : une solution de $ f(x) = g(x) $ est $ \mathbf{x = 2} $.
4. 1. La fonction $ g $ est affine : elle est représentée par une droite, soit $ \mathcal{C}_2 $. La fonction $ f $ est représentée par la parabole $ \mathcal{C}_1 $.
   2. Les courbes se coupent aux points d'abscisses $ \mathbf{-2} $ et $ \mathbf{2} $ : ce sont les deux solutions de $ f(x) = g(x) $.
5. Résoudre $ f(x) = g(x) $ revient à résoudre $ (x-1)(x+3) = 2x+1 $, c'est-à-dire $ x^2 + 2x - 3 = 2x + 1 $, soit $ x^2 - 4 = 0 $. Les deux équations ont donc les mêmes solutions : Lola a raison (les solutions sont $ -2 $ et $ 2 $).

Exercice 3.

Partie A

1. $ 50\,000 - (28\,000 + 12\,000 + 8\,000) = 50\,000 - 48\,000 = $ $ \mathbf{2\,000} $ images dans la catégorie « Autres ».
2. $ 90\% $ de $ 28\,000 $ : $ 0{,}90 \times 28\,000 = $ $ \mathbf{25\,200} $ images reconnues correctement.
3. La proportion est $ \dfrac{5\,600}{8\,000} = 0{,}70 = $ $ \mathbf{70\%} $.
4. $ P(\text{« Objet du quotidien »}) = \dfrac{28\,000}{50\,000} = $ $ \mathbf{0{,}56} $.

Partie B

5. Pour l'IA : $ 82\,000 $ GWh $ = 82\,000 \times 10^{9} $ Wh $ = $ $ \mathbf{8{,}2 \times 10^{13}} $ Wh. Pour un collège : $ 200\,000 $ kWh $ = 200\,000 \times 10^{3} $ Wh $ = $ $ \mathbf{2 \times 10^{8}} $ Wh.
6. $ \dfrac{8{,}2 \times 10^{13}}{2 \times 10^{8}} = 4{,}1 \times 10^{5} = $ $ \mathbf{410\,000} $ collèges.
7. Les $ 7\,100 $ collèges consomment ensemble $ 7\,100 \times 2 \times 10^{8} = 1{,}42 \times 10^{12} $ Wh par an. Le nombre d'années vaut $ \dfrac{8{,}2 \times 10^{13}}{1{,}42 \times 10^{12}} \approx 57{,}7 $, soit environ $ 57 $ ans.

Exercice 4.

1. Le Bloc 1 commence par « aller à x : $ 0 $ y : $ 0 $ », donc après son exécution le lutin est au point de coordonnées $ \mathbf{(0~;~0)} $.
2. Pour un carré, on répète $ 4 $ fois et on tourne de $ \dfrac{360°}{4} = 90° $ : $ \mathbf{A = 4} $ et $ \mathbf{B = 90} $. Pour un triangle équilatéral, on répète $ 3 $ fois et on tourne de $ \dfrac{360°}{3} = 120° $ : $ \mathbf{C = 3} $ et $ \mathbf{D = 120} $.

3. On associe chaque programme à sa figure :

   • Programme 1 (un triangle puis $ 3 $ carrés répartis tous les $ 120° $) $ \rightarrow $ Figure B.
   • Programme 2 (un carré puis $ 4 $ triangles répartis tous les $ 90° $) $ \rightarrow $ Figure C.
   • Programme 3 (un grand triangle partagé en petits triangles) $ \rightarrow $ Figure A.