Inégalité de Markov Pour $X$ variable aléatoire positive et $a > 0$ : $\textcolor{#b91c1c}{P(X \geqslant a) \leqslant \dfrac{E(X)}{a}}$. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Pour $X$ d'espérance $\mu$, de variance $V(X)$, et tout $\delta > 0$ : $\textcolor{#b91c1c}{P(|X - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}}$. Inégalité de concentration (moyenne empirique) Soient $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes, de même loi (espérance $\mu$, variance $V(X)$). Avec $\textcolor{#1d4ed8}{M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}}$ : $E(M_n) = \mu$, $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$, et pour tout $\delta > 0$ : Loi des grands nombres Conséquence : $\textcolor{#b91c1c}{P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \longrightarrow 0}$ quand $n \to +\infty$.À retenir
$X$ est d'autant plus concentrée autour de $\mu$ que $V(X)$ est petite.
$\textcolor{#b91c1c}{P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{n\,\delta^2}}$.
La moyenne empirique $M_n$ se concentre autour de $\mu$. Pour $X \sim \mathcal{B}(p)$ : la fréquence des succès tend vers $p$.
$\textcolor{#e11d48}{\blacksquare}$ Markov : majoration simple $P(X \geqslant 20) \leqslant \dfrac{E(X)}{20} = \dfrac{4}{20} = \textcolor{#b91c1c}{0{,}2}$. $\textcolor{#0284c7}{\blacksquare}$ Bienaymé-Tchebychev $P(|X - 10| \geqslant 5) \leqslant \dfrac{4}{5^2} = \dfrac{4}{25} = \textcolor{#b91c1c}{0{,}16}$. $\textcolor{#f97316}{\blacksquare}$ Concentration d'une fréquence binomiale Ici $V(X) = p(1 - p) = 0{,}25$. L'inégalité de concentration donne $P(|M_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant \dfrac{0{,}25}{n \times 0{,}05^2} = \dfrac{100}{n}$.Exemple type
Une variable $X$ positive vérifie $E(X) = 4$. Majorer $P(X \geqslant 20)$.
$X$ d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V(X) = 4$. Majorer $P(|X - 10| \geqslant 5)$.
On lance $n$ fois une pièce équilibrée ($p = 0{,}5$). $M_n$ = fréquence de Pile. Combien de lancers garantir $P(|M_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}05$ ?
On veut $\dfrac{100}{n} \leqslant 0{,}05$, soit $\textcolor{#b91c1c}{n \geqslant 2000}$.
Pièges classiques