Bac spé maths — Polynésie jour 2 — juin 2026

Épreuve écrite de spécialité Mathématiques

Polynésie jour 2 — mercredi 17 juin 2026
Durée : 4 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice autorisée

Exercice 1 — 5 points

Dans cet exercice, on s'intéresse à la part des filles et des garçons s'orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale. Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans une académie donnée, la population est constituée d'élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. Les répartitions sont les suivantes :

$40\,\%$ sont des filles, $60\,\%$ sont des garçons ;
parmi les filles, $33{,}75\,\%$ envisagent des études d'ingénieur ;
parmi les garçons, $54{,}25\,\%$ envisagent des études d'ingénieur.

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :

$F$ : « l'élève est une fille » ;
$I$ : « l'élève envisage des études d'ingénieur ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire et $P(E)$ la probabilité de $E$.

Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que l'élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d'ingénieur.
Démontrer que la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à $0{,}4605$.
L'élève interrogé envisage des études d'ingénieur. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une fille ? On donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

Partie B

Dans cette partie, on considère un entier naturel $n$ non nul. On interroge uniformément au hasard dans cette académie $n$ filles en terminale, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure, qu'elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On admet que la probabilité qu'une fille souhaite devenir ingénieure est égale à $0{,}15$.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale.
2. Exprimer en fonction de $n$ l'espérance de $X$.
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu'il faut interroger pour que la probabilité de l'évènement « au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à $0{,}99$.
Dans cette question, on choisit un échantillon de $n = 29$ filles. Déterminer la probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. On donnera une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.

Partie C

On s'intéresse à dix académies françaises de tailles comparables, numérotées de $1$ à $10$. On considère $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $1\,500$ lycéennes de l'académie n°$1$, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure. On définit de la même façon les variables aléatoires $X_2, \ldots, X_{10}$ pour les académies $2$ à $10$.

On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_{10}$ sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance, égale à $225$, et la même variance, égale à $191{,}25$.

On considère la variable aléatoire $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}$.

Que représente la variable aléatoire $S$ pour les $15\,000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies ?
Calculer l'espérance et la variance de $S$.
On considère l'ensemble des $15\,000$ lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies. Argumenter pour dire si l'affirmation suivante est vraie, fausse, ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre $2\,000$ et $2\,500$ est supérieure à $0{,}95$ ».

Exercice 2 — 5 points

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in [4~;~10]$ par $f(x) = \ln\!\left(8x^3 - 1\right)$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[4~;~10]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x \in [4~;~10]$, on a : $$f'(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)\left(4x^2+2x+1\right)}.$$
1. En déduire que $f$ est croissante sur $[4~;~10]$.
2. Montrer que, pour tout $x \in [4~;~10]$, on a $4 \leqslant f(x) \leqslant 10$.
On définit la fonction $g$ pour tout $x \in [4~;~10]$ par $g(x) = f(x) - x$. On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition.
1. Montrer que, sur l'intervalle $[4~;~10]$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
2. Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$.

Partie B

On admet qu'on peut définir la suite $(u_n)$ par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A.

Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près.
1. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers le nombre $\alpha$ défini dans la partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \leqslant \alpha \leqslant 8{,}5$. On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante. On précise qu'en langage Python, l'instruction log correspond à $\ln$.

def f(x):
    return log(8 * x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur $11$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Un utilisateur exécute alpha(8.6). Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée.

Exercice 3 — 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$, on considère les points $A(-1~;~1~;~1)$, $B(1~;~-6~;~-1)$ et $C(-5~;~2~;~3)$.

1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
2. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\,(6~;~-2~;~13)$ est normal au plan $(ABC)$.
3. En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $6x - 2y + 13z - 5 = 0$.
On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$. On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.
Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = -4 + t \\ y = -11 + 6t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}.$$ Démontrer que la droite $(d)$ coupe le plan $(ABC)$ en un unique point, que l'on nommera $E$, et qui a pour coordonnées $E(-3~;~-5~;~1)$.
Soit $H(-2~;~1~;~0)$.
1. Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
2. En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$.
3. Montrer que le triangle $AHE$ est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire.

Exercice 4 — 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x^2}$.

Affirmation 1 : $f$ est concave sur $]-\infty~;~0]$.
Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces numérotés de $1$ à $24$. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$, constitués chacun de $8$ rapaces.

Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est $\dfrac{24!}{(8!)^3}$.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle $y' = -y + 1$ sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 3 : La fonction $g$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - 1$ vérifie $g' = -g$.
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$.

Affirmation 4 : La suite $(u_n)$ n'admet pas de limite.
On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$.

Affirmation 5 : L'aire du domaine grisé est égale à $6{,}5$ unités d'aire.

Corrigé

Exercice 1

Partie A

On traduit l'énoncé : $P(F) = 0{,}4$, $P\!\left(\overline{F}\right) = 0{,}6$, $P_F(I) = 0{,}3375$ et $P_{\overline{F}}(I) = 0{,}5425$.
L'évènement « être une fille envisageant des études d'ingénieur » est $F \cap I$.
D'après l'arbre : $$P(F \cap I) = P(F) \times P_F(I) = 0{,}4 \times 0{,}3375 = 0{,}135.$$
D'après la formule des probabilités totales appliquée à la partition $\left\{F~;~\overline{F}\right\}$ : $$\begin{aligned} P(I) &= P(F \cap I) + P\!\left(\overline{F} \cap I\right) \\ &= 0{,}4 \times 0{,}3375 + 0{,}6 \times 0{,}5425 \\ &= 0{,}135 + 0{,}3255 \\ &= 0{,}4605. \end{aligned}$$ La probabilité que l'élève envisage des études d'ingénieur est bien $0{,}4605$.
On cherche $P_I(F)$ : $$P_I(F) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0{,}135}{0{,}4605} \approx 0{,}293.$$ Sachant que l'élève envisage des études d'ingénieur, la probabilité qu'il s'agisse d'une fille est environ $0{,}293$.

Partie B

1. On répète $n$ fois, de façon indépendante et identique, l'épreuve de Bernoulli « la fille interrogée souhaite devenir ingénieure », dont le succès a pour probabilité $p = 0{,}15$ (le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise).
  La variable $X$ compte le nombre de succès parmi ces $n$ épreuves : elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}15$, notée $\mathcal{B}(n~;~0{,}15)$.
2. L'espérance d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$, donc $\mathrm{E}(X) = 0{,}15\,n$.
L'évènement contraire de « au moins une fille souhaite devenir ingénieure » est « aucune fille ne souhaite devenir ingénieure », soit $(X = 0)$.
Comme $P(X = 0) = (1 - 0{,}15)^n = 0{,}85^{\,n}$, on cherche le plus petit entier $n$ tel que : $$1 - 0{,}85^{\,n} \geqslant 0{,}99 \iff 0{,}85^{\,n} \leqslant 0{,}01.$$ En composant par la fonction $\ln$ (croissante) et en divisant par $\ln(0{,}85) < 0$ (ce qui inverse le sens) : $$n\ln(0{,}85) \leqslant \ln(0{,}01) \iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 28{,}3.$$ Il faut interroger au moins $29$ lycéennes.
Ici $X$ suit la loi $\mathcal{B}(29~;~0{,}15)$.
Le quart des $29$ filles est $\dfrac{29}{4} = 7{,}25$, donc « au moins le quart » correspond à l'évènement $(X \geqslant 8)$.
On calcule : $$P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7) \approx 1 - 0{,}941 \approx 0{,}059.$$ La probabilité qu'au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure est environ $0{,}059$.

Partie C

La variable $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}$ représente le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les $15\,000$ lycéennes interrogées sur l'ensemble des dix académies.
Par linéarité de l'espérance : $$\mathrm{E}(S) = \mathrm{E}(X_1) + \cdots + \mathrm{E}(X_{10}) = 10 \times 225 = 2\,250.$$ Comme les variables $X_1, \ldots, X_{10}$ sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme des variances : $$\mathrm{V}(S) = \mathrm{V}(X_1) + \cdots + \mathrm{V}(X_{10}) = 10 \times 191{,}25 = 1\,912{,}5.$$
L'évènement « $2\,000 < S < 2\,500$ » s'écrit aussi « $|S - 2\,250| < 250$ » puisque $\mathrm{E}(S) = 2\,250$.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne : $$\begin{aligned} P\big(|S - 2\,250| < 250\big) &\geqslant 1 - \dfrac{\mathrm{V}(S)}{250^2} \\ &= 1 - \dfrac{1\,912{,}5}{62\,500} \\ &= 1 - 0{,}0306 \\ &= 0{,}9694. \end{aligned}$$ On a donc $P\big(2\,000 < S < 2\,500\big) \geqslant 0{,}9694 > 0{,}95$.
L'affirmation est vraie : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit que cette probabilité dépasse $0{,}95$.

Exercice 2

Partie A

Pour tout $x \in [4~;~10]$, on a $8x^3 - 1 > 0$, donc $f(x) = \ln\!\left(8x^3 - 1\right)$ est bien définie et $$f'(x) = \dfrac{\left(8x^3 - 1\right)'}{8x^3 - 1} = \dfrac{24x^2}{8x^3 - 1}.$$ Or $8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)\left(4x^2 + 2x + 1\right)$ (identité $a^3 - b^3$).
D'où, pour tout $x \in [4~;~10]$ : $$f'(x) = \dfrac{24x^2}{(2x - 1)\left(4x^2 + 2x + 1\right)}.$$
1. Sur $[4~;~10]$, on a $24x^2 > 0$, $2x - 1 > 0$ et $4x^2 + 2x + 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[4~;~10]$.
2. Comme $f$ est croissante sur $[4~;~10]$, pour tout $x$ de cet intervalle on a $f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(10)$.
  Or $f(4) = \ln(8 \times 64 - 1) = \ln(511) \approx 6{,}24$ et $f(10) = \ln(8 \times 1000 - 1) = \ln(7\,999) \approx 8{,}99$.
  Ainsi $4 \leqslant f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(10) \leqslant 10$, donc $4 \leqslant f(x) \leqslant 10$.
1. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[4~;~10]$.
  On calcule $g(4) = f(4) - 4 \approx 6{,}24 - 4 = 2{,}24 > 0$ et $g(10) = f(10) - 10 \approx 8{,}99 - 10 = -1{,}01 < 0$.
  Comme $0$ est compris entre $g(10)$ et $g(4)$, le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction strictement monotone, assure que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[4~;~10]$.
2. À la calculatrice, $g(8{,}499) \approx 0{,}0001 > 0$ et $g(8{,}500) \approx -0{,}0006 < 0$.
  On en déduit l'encadrement $8{,}499 < \alpha < 8{,}500$, soit $\alpha \approx 8{,}499$ à $10^{-3}$ près.

Partie B

On a $u_1 = f(u_0) = f(5) = \ln(8 \times 125 - 1) = \ln(999) \approx 6{,}9$.
1. On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$ » et on raisonne par récurrence.
  Initialisation : $u_0 = 5$ et $u_1 = \ln(999) \approx 6{,}9$, donc $4 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 10$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
  Hérédité : supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie, soit $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
  La fonction $f$ est croissante sur $[4~;~10]$, donc $f(4) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(10)$, c'est-à-dire $f(4) \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(10)$.
  Or $f(4) = \ln(511) \approx 6{,}24 \geqslant 4$ et $f(10) = \ln(7\,999) \approx 8{,}99 \leqslant 10$.
  On obtient $4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
  Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
2. La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée par $10$.
  D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge.
La fonction $f$ est continue sur $[4~;~10]$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
En passant à la limite, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$, c'est-à-dire $g(\ell) = f(\ell) - \ell = 0$.
D'après la récurrence précédente, $4 \leqslant u_n \leqslant 10$, donc par passage à la limite $\ell \in [4~;~10]$.
Or $\alpha$ est l'unique solution de $g(x) = 0$ sur $[4~;~10]$, donc $\ell = \alpha$ : la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.

Partie C

La fonction renvoie le nombre d'itérations nécessaires pour que le terme de la suite dépasse $8{,}499$.
Le résultat $11$ signifie que $u_{11}$ est le premier terme de la suite $(u_n)$ supérieur ou égal à $8{,}499$ : il faut donc $11$ étapes pour que la suite atteigne ce seuil.
La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\alpha$, avec $\alpha \leqslant 8{,}5 < 8{,}6$.
Tous ses termes restent donc strictement inférieurs à $8{,}6$, si bien que la condition « $u < 8{,}6$ » de la boucle while est toujours vérifiée : la boucle ne s'arrête jamais et aucune valeur n'est renvoyée.

Exercice 3

1. On a $\overrightarrow{AB}\,(2~;~-7~;~-2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-4~;~1~;~2)$.
  Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : de $\dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ on tirerait $\dfrac{-7}{1} = -\dfrac{1}{2}$, ce qui est faux.
  Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
2. On calcule : $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 6 \times 2 + (-2) \times (-7) + 13 \times (-2) = 12 + 14 - 26 = 0,$$ $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times (-4) + (-2) \times 1 + 13 \times 2 = -24 - 2 + 26 = 0.$$ Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c'est un vecteur normal à ce plan.
3. Le plan $(ABC)$ admet une équation de la forme $6x - 2y + 13z + d = 0$.
  Le point $A(-1~;~1~;~1)$ y appartient : $6 \times (-1) - 2 \times 1 + 13 \times 1 + d = 0$, soit $5 + d = 0$, d'où $d = -5$.
  Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x - 2y + 13z - 5 = 0$.
Un vecteur normal du plan $(ABC)$ est $\vec{n}\,(6~;~-2~;~13)$ et un vecteur normal du plan $(P) : 8x - 2y - 4z + 18 = 0$ est $\vec{n'}\,(8~;~-2~;~-4)$.
On calcule : $$\vec{n} \cdot \vec{n'} = 6 \times 8 + (-2) \times (-2) + 13 \times (-4) = 48 + 4 - 52 = 0.$$ Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires.
En remplaçant les coordonnées d'un point de $(d)$ dans l'équation du plan $(ABC)$ : $$6(-4 + t) - 2(-11 + 6t) + 13(2 - t) - 5 = 0,$$ soit $-24 + 6t + 22 - 12t + 26 - 13t - 5 = 0$, c'est-à-dire $19 - 19t = 0$, d'où $t = 1$ (unique solution).
La droite coupe donc le plan en un unique point $E$, obtenu pour $t = 1$ : $x = -4 + 1 = -3$, $y = -11 + 6 = -5$, $z = 2 - 1 = 1$.
Ainsi $E(-3~;~-5~;~1)$.
1. La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\,(1~;~6~;~-1)$.
  Pour $H(-2~;~1~;~0)$, on cherche $t$ tel que $-4 + t = -2$, soit $t = 2$ ; on vérifie $-11 + 6 \times 2 = 1$ et $2 - 2 = 0$ : donc $H$ appartient à $(d)$.
  De plus $\overrightarrow{AH}\,(-1~;~0~;~-1)$ et $$\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = -1 \times 1 + 0 \times 6 + (-1) \times (-1) = -1 + 0 + 1 = 0,$$ donc $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $(d)$.
  Étant le point de $(d)$ tel que $\overrightarrow{AH} \perp (d)$, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.
2. La distance de $A$ à la droite $(d)$ est la longueur $AH$ : $$AH = \big\|\overrightarrow{AH}\big\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.$$
3. Les points $H$ et $E$ appartiennent à $(d)$, donc $\overrightarrow{HE}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
  Or $\overrightarrow{AH}$ est orthogonal à $(d)$, donc $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{HE}$ : le triangle $AHE$ est rectangle en $H$.
  On a $\overrightarrow{HE}\,(-1~;~-6~;~1)$, donc $HE = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + 1^2} = \sqrt{38}$.
  L'aire du triangle rectangle $AHE$ vaut alors : $$\dfrac{1}{2} \times AH \times HE = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{38} = \dfrac{1}{2}\sqrt{76} = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{19} = \sqrt{19}.$$ L'aire du triangle $AHE$ est $\sqrt{19}$ unités d'aire.

Exercice 4

Affirmation 1 — Vraie. La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
On a $f'(x) = \mathrm{e}^{x^2} + x \times 2x\,\mathrm{e}^{x^2} = \left(1 + 2x^2\right)\mathrm{e}^{x^2}$, puis $$\begin{aligned} f''(x) &= 4x\,\mathrm{e}^{x^2} + \left(1 + 2x^2\right) \times 2x\,\mathrm{e}^{x^2} \\ &= 2x\left(3 + 2x^2\right)\mathrm{e}^{x^2}. \end{aligned}$$ Sur $]-\infty~;~0]$, on a $2x \leqslant 0$, tandis que $3 + 2x^2 > 0$ et $\mathrm{e}^{x^2} > 0$ : donc $f''(x) \leqslant 0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty~;~0]$.
Affirmation 2 — Vraie. Répartir $24$ rapaces dans trois groupes ordonnés de $8$ revient à choisir successivement les $8$ rapaces du groupe $1$ parmi $24$, puis les $8$ du groupe $2$ parmi les $16$ restants, les $8$ derniers formant le groupe $3$ : $$\dbinom{24}{8} \times \dbinom{16}{8} \times \dbinom{8}{8} = \dfrac{24!}{8!\,16!} \times \dfrac{16!}{8!\,8!} \times 1 = \dfrac{24!}{8!\,8!\,8!} = \dfrac{24!}{(8!)^3}.$$ Le nombre de répartitions est bien $\dfrac{24!}{(8!)^3}$.
Affirmation 3 — Vraie. La fonction $g$ définie par $g(x) = f(x) - 1$ est dérivable et $g'(x) = f'(x)$.
Comme $f$ est solution de $y' = -y + 1$, on a $f'(x) = -f(x) + 1$.
Or $f(x) = g(x) + 1$, donc $$g'(x) = f'(x) = -f(x) + 1 = -\big(g(x) + 1\big) + 1 = -g(x).$$ Ainsi $g' = -g$.
Affirmation 4 — Fausse. Pour tout entier $n \geqslant 1$, $\left|\dfrac{\sin(n)}{n}\right| \leqslant \dfrac{1}{n}$ car $|\sin(n)| \leqslant 1$.
Comme $\dfrac{1}{n} \to 0$ quand $n \to +\infty$, le théorème d'encadrement (des gendarmes) donne $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
La suite $(u_n)$ admet donc une limite (égale à $0$) : l'affirmation est fausse.
Affirmation 5 — Fausse. Les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite vérifient $-x^2 + 4x + 1 = x + 1$, soit $-x^2 + 3x = 0$, c'est-à-dire $x(3 - x) = 0$ : on obtient $x = 0$ et $x = 3$.
Sur $[0~;~3]$, la parabole est au-dessus de la droite, donc l'aire du domaine grisé est : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_0^3 \big[(-x^2 + 4x + 1) - (x + 1)\big]\,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^3 \left(-x^2 + 3x\right)\mathrm{d}x \\ &= \left[-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2}\right]_0^3 \\ &= -9 + \dfrac{27}{2} \\ &= \dfrac{9}{2}. \end{aligned}$$ L'aire vaut donc $\dfrac{9}{2} = 4{,}5$ unités d'aire, et non $6{,}5$ : l'affirmation est fausse.