Bac spé maths — Métropole jour 2 — septembre 2025

Épreuve écrite de spécialité Mathématiques

Métropole jour 2 — session de remplacement du mercredi 10 septembre 2025
Durée : 4 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice autorisée

Exercice 1 — 6 points

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A — Premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $ 0{,}4 $ ;
la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.

On note $ X $ la variable aléatoire qui, sur une période de $ 10 $ ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

Justifier que $ X $ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
1. Calculer la probabilité que, sur une période de $ 10 $ ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement $ 2 $ années.
2. Calculer $ P(X \leqslant 2) $. Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
Calculer $ E(X) $. Interpréter ce résultat.

Partie B — Second modèle

Après une étude d'un recueil de données plus important sur les $ 50 $ dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :

si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $ 0{,}5 $ ;
par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est $ 0{,}3 $.

On considère que l'année de référence est $ 2023 $.
On note pour tout entier naturel $ n $ :

$ E_n $ l'évènement « le phénomène El Niño est dominant l'année $ 2023+n $ » ;
$ p_n $ la probabilité de l'évènement $ E_n $.

En $ 2023 $, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $ p_0 = 0 $.

Soit $ n $ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

$Arbre pondéré à compléter, orienté horizontalement : depuis la racine, deux branches vers E_n (probabilité p_n) et E_n barre (probabilité à compléter). Depuis chaque nœud de premier niveau, deux branches vers E_{n+1} et E_{n+1} barre, toutes les probabilités à compléter.$
Justifier que $ p_1 = 0{,}3 $.
En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a :
$ p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}3 $

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.
1. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $ (p_n) $.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ p_n \leqslant \dfrac{3}{8} $.
3. Déterminer le sens de variation de la suite $ (p_n) $.
4. En déduire la convergence de la suite $ (p_n) $.
On cherche à déterminer la limite de la suite $ (p_n) $.
Soit $ (u_n) $ la suite définie par $ u_n = p_n - \dfrac{3}{8} $ pour tout entier naturel $ n $.
1. Montrer que la suite $ (u_n) $ est géométrique de raison $ 0{,}2 $ et préciser son premier terme.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a :
  $ p_n = \dfrac{3}{8}\left(1 - 0{,}2^n\right) $.
3. Calculer la limite de la suite $ (p_n) $.
4. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 — 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans une classe de $ 24 $ élèves, il y a $ 14 $ filles et $ 10 $ garçons.

Affirmation 1 :
Il est possible de constituer $ 272 $ groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f(x) = 3\sin(2x + \pi) $ et $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère donné.

Affirmation 2 :
Une équation de la tangente à $ \mathcal{C} $ au point d'abscisse $ \dfrac{\pi}{2} $ est $ y = 6x - 3\pi $.
On considère la fonction $ F $ définie sur $ ]0~;~+\infty[ $ par $ F(x) = (2x+1)\ln(x) $.

Affirmation 3 :
La fonction $ F $ est une primitive de la fonction $ f $ définie sur $ ]0~;~+\infty[ $ par $ f(x) = \dfrac{2}{x} $.
On considère la fonction $ g $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g(t) = 45\,\mathrm{e}^{0{,}06t} + 20 $.

Affirmation 4 :
La fonction $ g $ est l'unique solution de l'équation différentielle
$ (E_1)~~y' + 0{,}06\,y = 1{,}2 $ vérifiant $ g(0) = 65 $.
On considère l'équation différentielle :
$ (E_2)~:~y' - y = 3\,\mathrm{e}^{0{,}4x} $

où $ y $ est une fonction positive de la variable réelle $ x $, définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $ et $ y' $ la fonction dérivée de la fonction $ y $.

Affirmation 5 :
Les solutions de l'équation $ (E_2) $ sont des fonctions convexes sur $ \mathbb{R} $.

Exercice 3 — 4 points

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0~;~8] $ par
$ f(x) = \dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x} $

Soit $ \mathcal{C}_f $ la représentation graphique de la fonction $ f $ dans un repère orthonormé $ \left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{j}\right) $.

Partie A

Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation $ -x^2 + 7x + 8 \geqslant 0 $.
En déduire que pour tout $ x \in~]0~;~8] $, on a $ f(x) \geqslant 0 $.
Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $ \mathcal{C}_f $ est représentée ci-dessous.
Soit $ M $ le point de $ \mathcal{C}_f $ d'abscisse $ x $ avec $ x \in~]0~;~8] $.
On appelle $ N $ et $ P $ les projetés orthogonaux du point $ M $ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $ \mathcal{A}(x) $ du rectangle $ ONMP $.

Courbe de la fonction f(x) = 10 ln(-x²+7x+9)/x sur ]0;8] dans un repère orthonormé. Asymptote verticale en 0, valeurs élevées au voisinage de 0, décroissance puis chute vers 0 en x=8. Rectangle ONMP avec M sur la courbe, P sur l'axe des ordonnées et N sur l'axe des abscisses.

Donner les coordonnées des points $ N $ et $ P $ en fonction de $ x $.
Montrer que pour tout $ x $ appartenant à l'intervalle $ ]0~;~8] $,
$ \mathcal{A}(x) = 10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right) $
Existe-t-il une position du point $ M $ pour laquelle l'aire du rectangle $ ONMP $ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel strictement positif $ k $.
On souhaite déterminer la plus petite valeur de $ x $, approchée au dixième, appartenant à $ [3{,}5~;~8] $ pour laquelle l'aire $ \mathcal{A}(x) $ devient inférieure ou égale à $ k $.
Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous.
Pour rappel, en langage Python, $ \ln(x) $ s'écrit $ \log(x) $.

from math import *

def A(x) :
    return 10*log(- 1* x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k) :
    x = 3.5
    while A(x).......... :
        x = x + 0.1
    return ...........

Recopier et compléter les lignes $ 8 $ et $ 10 $ de l'algorithme.
Quel nombre renvoie alors l'instruction $ \mathtt{pluspetitevaleur(30)} $ ?
Que se passe-t-il lorsque $ k = 35 $ ? Justifier.

Exercice 4 — 5 points

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $ \left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right) $.
On considère les points
$ A(4~;~-1~;~3) $, $ B(-1~;~1~;~-2) $, $ C(0~;~4~;~5) $ et $ D(-3~;~-4~;~6) $.

1. Vérifier que les points $ A $, $ B $, $ C $ ne sont pas alignés.
  
  On admet qu'une équation cartésienne du plan $ (ABC) $ est : $ 29x + 30y - 17z = 35 $.
2. Les points $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.
L'objectif de cet exercice est de déterminer le point $ H $ se situant à égale distance des quatre points $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.
On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Soit $ P_1 $ le plan médiateur du segment $ [AB] $.
1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment $ [AB] $.
2. En déduire qu'une équation cartésienne de $ P_1 $ est : $ 5x - 2y + 5z = 10 $.
On note $ P_2 $ le plan médiateur du segment $ [CD] $.
1. Soit $ M $ un point du plan $ P_2 $ de coordonnées $ (x~;~y~;~z) $.
  Exprimer $ MC^2 $ et $ MD^2 $ en fonction des coordonnées de $ M $.
  En déduire qu'une équation cartésienne du plan $ P_2 $ est : $ -3x - 8y + z = 10 $.
2. Justifier que les plans $ P_1 $ et $ P_2 $ sont sécants.
Soit $ \Delta $ la droite dont une représentation paramétrique est :
$ \begin{cases} x = -2 - 1{,}9\,t \\ y = t \\ z = 4 + 2{,}3\,t \end{cases} \quad \text{où } t \in \mathbb{R} $

Démontrer que $ \Delta $ est la droite d'intersection de $ P_1 $ et $ P_2 $.

On note $ P_3 $ le plan médiateur du segment $ [AC] $.
On admet qu'une équation cartésienne du plan $ P_3 $ est : $ 8x - 10y - 4z = -15 $.

Démontrer que la droite $ \Delta $ et le plan $ P_3 $ sont sécants.
Justifier que le point d'intersection entre $ \Delta $ et $ P_3 $ est le point $ H $.

Corrigé

Exercice 1

Partie A — Premier modèle

On répète $10$ fois de manière indépendante (selon l'énoncé) une même épreuve de Bernoulli de succès « El Niño dominant cette année-là », de probabilité $0{,}4$. $X$ compte le nombre de succès, elle suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~0{,}4)$.
1. $P(X = 2) = \dbinom{10}{2} \times 0{,}4^2 \times 0{,}6^8 = 45 \times 0{,}16 \times 0{,}6^8 \approx 0{,}121$ à $10^{-3}$ près.
2. À la calculatrice : $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}167$. La probabilité que, sur une période de $10$ ans, le phénomène El Niño soit dominant au plus $2$ années est d'environ $16{,}7\,\%$.
$E(X) = n \times p = 10 \times 0{,}4 = 4$. En moyenne, sur des périodes de $10$ ans, le phénomène El Niño est dominant pendant $4$ années.

Partie B — Second modèle

D'après l'énoncé : $P_{E_n}(E_{n+1}) = 0{,}5$ et $P_{\overline{E_n}}(E_{n+1}) = 0{,}3$ ; on en déduit $P(\overline{E_n}) = 1 - p_n$, $P_{E_n}(\overline{E_{n+1}}) = 0{,}5$ et $P_{\overline{E_n}}(\overline{E_{n+1}}) = 0{,}7$.

$Arbre pondéré complet : depuis la racine, branche p_n vers E_n et branche 1-p_n vers E_n barre. Depuis E_n, branches 0,5 vers E_{n+1} et 0,5 vers E_{n+1} barre. Depuis E_n barre, branches 0,3 vers E_{n+1} et 0,7 vers E_{n+1} barre.$
D'après la formule des probabilités totales :
$p_1 = P(E_1) = P(E_0) \times P_{E_0}(E_1) + P(\overline{E_0}) \times P_{\overline{E_0}}(E_1) = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 = 0{,}3$.
De la même façon, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$p_{n+1} = p_n \times 0{,}5 + (1 - p_n) \times 0{,}3 = 0{,}5\, p_n + 0{,}3 - 0{,}3\, p_n = 0{,}2\, p_n + 0{,}3$.
1. Premiers termes : $p_0 = 0$, $p_1 = 0{,}3$, $p_2 = 0{,}36$, $p_3 = 0{,}372$, $p_4 = 0{,}3744$… La suite semble croissante et converger vers une limite proche de $0{,}375 = \dfrac{3}{8}$.
2. Démonstration par récurrence de $P(n)$ : « $p_n \leqslant \dfrac{3}{8}$ ».
  
  Initialisation. $p_0 = 0 \leqslant \dfrac{3}{8}$.
  
  Hérédité. Si $p_n \leqslant \dfrac{3}{8}$, alors $p_{n+1} = 0{,}2\, p_n + 0{,}3 \leqslant 0{,}2 \times \dfrac{3}{8} + 0{,}3 = \dfrac{3}{40} + \dfrac{12}{40} = \dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8}$.
  
  Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $p_n \leqslant \dfrac{3}{8}$.
3. $p_{n+1} - p_n = 0{,}2\, p_n + 0{,}3 - p_n = 0{,}3 - 0{,}8\, p_n$. Comme $p_n \leqslant \dfrac{3}{8}$, $0{,}8\, p_n \leqslant 0{,}8 \times \dfrac{3}{8} = 0{,}3$, donc $p_{n+1} - p_n \geqslant 0$.
  
  La suite $(p_n)$ est croissante.
4. $(p_n)$ est croissante et majorée par $\dfrac{3}{8}$, donc elle converge.
1. $u_{n+1} = p_{n+1} - \dfrac{3}{8} = 0{,}2\, p_n + 0{,}3 - \dfrac{3}{8} = 0{,}2\, p_n - 0{,}075 = 0{,}2\left(p_n - \dfrac{3}{8}\right) = 0{,}2\, u_n$.
  
  $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$, de premier terme $u_0 = p_0 - \dfrac{3}{8} = -\dfrac{3}{8}$.
2. $u_n = u_0 \times 0{,}2^n = -\dfrac{3}{8} \times 0{,}2^n$, donc $p_n = u_n + \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8} - \dfrac{3}{8} \times 0{,}2^n = \dfrac{3}{8}(1 - 0{,}2^n)$.
3. Comme $0 < 0{,}2 < 1$, $0{,}2^n \to 0$, donc $p_n \to \dfrac{3}{8}$.
4. À long terme, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant une année donnée se stabilise autour de $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$, soit environ $37{,}5\,\%$.

Exercice 2

Affirmation 1 : la réponse dépend de la lecture de l'énoncé.

Choisir un groupe de $4$ élèves composé de $2$ filles et $2$ garçons revient à choisir $2$ filles parmi $14$ et indépendamment $2$ garçons parmi $10$, soit :
$$\dbinom{14}{2} \times \dbinom{10}{2} = 91 \times 45 = 4\,095 \text{ groupes possibles.}$$

Lecture 1 (la plus courante en bac) : « il est possible de constituer $272$ groupes » signifie « le nombre exact de groupes différents est $272$ ». Comme $4\,095 \neq 272$, l'affirmation est alors FAUSSE.

Lecture 2 (interprétation littérale) : « il est possible de constituer $272$ groupes différents » signifie « il existe (au moins) $272$ groupes différents ». Comme $272 < 4\,095$, on peut effectivement choisir $272$ groupes distincts parmi les $4\,095$ possibles : l'affirmation est alors VRAIE.

L'énoncé étant ambigu, les deux justifications sont recevables tant que le calcul exact ($4\,095$) est explicité.
Affirmation 2 : VRAIE.
$f(x) = 3\sin(2x + \pi)$. $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin(2\pi) = 0$ ; $f'(x) = 6\cos(2x + \pi)$, donc $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 6\cos(2\pi) = 6$.

L'équation de la tangente en $\dfrac{\pi}{2}$ est $y = f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 6x - 3\pi$.
Affirmation 3 : FAUSSE.
$F(x) = (2x + 1)\ln(x)$, donc $F'(x) = 2\ln(x) + (2x + 1) \times \dfrac{1}{x} = 2\ln(x) + 2 + \dfrac{1}{x}$, qui n'est pas égal à $\dfrac{2}{x}$. $F$ n'est donc pas une primitive de $f$.
Affirmation 4 : FAUSSE.
Avec $g(t) = 45\,\mathrm{e}^{0{,}06 t} + 20$, on a $g'(t) = 2{,}7\,\mathrm{e}^{0{,}06 t}$, et
$g'(t) + 0{,}06\, g(t) = 2{,}7\,\mathrm{e}^{0{,}06 t} + 2{,}7\,\mathrm{e}^{0{,}06 t} + 1{,}2 = 5{,}4\,\mathrm{e}^{0{,}06 t} + 1{,}2 \neq 1{,}2$.

Donc $g$ n'est pas solution de $(E_1)$. (La vraie solution est $t \mapsto 45\,\mathrm{e}^{-0{,}06 t} + 20$, avec un signe négatif dans l'exponentielle.)
Affirmation 5 : VRAIE.
Si $y$ est une solution positive de $(E_2)$, alors $y' = y + 3\,\mathrm{e}^{0{,}4 x}$. Comme $y > 0$ et $3\,\mathrm{e}^{0{,}4 x} > 0$, on a $y' > 0$.

En dérivant l'équation $(E_2)$ : $y'' - y' = 1{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}4 x}$, soit $y'' = y' + 1{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}4 x}$. Comme $y' > 0$ et $1{,}2\,\mathrm{e}^{0{,}4 x} > 0$, on a $y'' > 0$ : $y$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3

Partie A

$-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0 \Leftrightarrow x^2 - 7x - 8 \leqslant 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 49 + 32 = 81$, donc les racines sont $x = \dfrac{7 \pm 9}{2}$, soit $x = -1$ ou $x = 8$. Le trinôme $x^2 - 7x - 8$ est négatif entre ses racines : $-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in [-1~;~8]$.
Pour $x \in {]0~;~8]} \subset [-1~;~8]$ : $-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$, donc $-x^2 + 7x + 9 = (-x^2 + 7x + 8) + 1 \geqslant 1$. Ainsi $\ln(-x^2 + 7x + 9) \geqslant \ln(1) = 0$. Comme $x > 0$, $f(x) = \dfrac{10\ln(-x^2 + 7x + 9)}{x} \geqslant 0$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ est entièrement située au-dessus (ou sur) l'axe des abscisses sur $]0~;~8]$.

Partie B

$N$ est le projeté orthogonal de $M(x~;~f(x))$ sur l'axe des abscisses : $N(x~;~0)$. $P$ est le projeté orthogonal sur l'axe des ordonnées : $P(0~;~f(x))$.
$ONMP$ est un rectangle de côtés $ON = x$ et $OP = f(x)$. Comme $f \geqslant 0$ sur $]0~;~8]$ :
$\mathcal{A}(x) = ON \times OP = x \times \dfrac{10\ln(-x^2 + 7x + 9)}{x} = 10\ln(-x^2 + 7x + 9)$.
$\mathcal{A}$ est dérivable sur $]0~;~8]$ (le logarithme est dérivable, et $-x^2 + 7x + 9 > 0$ sur cet intervalle car $-x^2 + 7x + 9 \geqslant 1 > 0$) :
$\mathcal{A}'(x) = 10 \times \dfrac{-2x + 7}{-x^2 + 7x + 9}$. Le dénominateur étant strictement positif, $\mathcal{A}'(x)$ a le signe de $-2x + 7$.

$\mathcal{A}'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$. Pour $x < 3{,}5$, $\mathcal{A}'(x) > 0$ ($\mathcal{A}$ croissante) ; pour $x > 3{,}5$, $\mathcal{A}'(x) < 0$ ($\mathcal{A}$ décroissante).

L'aire $\mathcal{A}(x)$ est maximale pour $x = 3{,}5$, et vaut alors $\mathcal{A}(3{,}5) = 10\ln(21{,}25) \approx 30{,}57$ unités d'aire.

Partie C

L'algorithme parcourt $[3{,}5~;~8]$ par pas de $0{,}1$ en partant de $3{,}5$, et cherche le premier $x$ pour lequel $\mathcal{A}(x) \leqslant k$. Tant que $\mathcal{A}(x) > k$, on continue ; dès que $\mathcal{A}(x) \leqslant k$, on renvoie $x$.

Ligne 8 : `while A(x) > k :` — Ligne 10 : `return x`.
Calculs de l'aire au pas de $0{,}1$ : $\mathcal{A}(3{,}5) \approx 30{,}57$, $\mathcal{A}(4{,}5) \approx 30{,}08$, $\mathcal{A}(4{,}6) \approx 29{,}98$. Le premier $x$ pour lequel $\mathcal{A}(x) \leqslant 30$ est donc $x = 4{,}6$.

`pluspetitevaleur(30)` renvoie $4{,}6$.
Pour $k = 35$ : le maximum de $\mathcal{A}$ sur $[3{,}5~;~8]$ est $\mathcal{A}(3{,}5) \approx 30{,}57 < 35$. Donc dès le départ, $\mathcal{A}(3{,}5) \leqslant 35$ : on n'entre pas dans la boucle `while`, et l'algorithme renvoie immédiatement $x = 3{,}5$.

Remarque : L'algorithme renvoie bien la plus petite valeur de l'intervalle, mais ce résultat n'apporte pas d'information utile : $\mathcal{A}(x) \leqslant 35$ est en fait vérifié pour tout $x \in [3{,}5~;~8]$.

Exercice 4

1. $\overrightarrow{AB}(-5~;~2~;~-5)$ et $\overrightarrow{AC}(-4~;~5~;~2)$. Les premières coordonnées donnent $\dfrac{-5}{-4} = 1{,}25$, les secondes $\dfrac{2}{5} = 0{,}4$ : les rapports diffèrent, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
2. Test de $D(-3~;~-4~;~6)$ dans l'équation $29 x + 30 y - 17 z - 35 = 0$ :
  $29 \times (-3) + 30 \times (-4) - 17 \times 6 - 35 = -87 - 120 - 102 - 35 = -344 \neq 0$.
  
  Donc $D \notin (ABC)$ : les points $A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas coplanaires.
1. Milieu de $[AB]$ : $I = \left(\dfrac{4 + (-1)}{2}~;~\dfrac{-1 + 1}{2}~;~\dfrac{3 + (-2)}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
2. Le plan médiateur de $[AB]$ passe par $I$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{AB}(-5~;~2~;~-5)$ (ou tout vecteur colinéaire). On obtient :
  $-5\left(x - \dfrac{3}{2}\right) + 2(y - 0) - 5\left(z - \dfrac{1}{2}\right) = 0$, soit $-5 x + 2 y - 5 z + 10 = 0$, c'est-à-dire $5 x - 2 y + 5 z = 10$.
1. $MC^2 = (x - 0)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = x^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2$.
  $MD^2 = (x + 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 6)^2$.
  
  $M \in P_2$ si et seulement si $MC^2 = MD^2$, soit après développement :
  $x^2 + y^2 - 8 y + 16 + z^2 - 10 z + 25 = x^2 + 6 x + 9 + y^2 + 8 y + 16 + z^2 - 12 z + 36$.
  
  En simplifiant : $0 = 6 x + 16 y - 2 z + 20$, soit en divisant par $-2$ : $-3 x - 8 y + z = 10$.
2. Un vecteur normal à $P_1$ est $\vec{n_1}(5~;~-2~;~5)$ et un vecteur normal à $P_2$ est $\vec{n_2}(-3~;~-8~;~1)$. Si ces vecteurs étaient colinéaires, $\dfrac{5}{-3}$ et $\dfrac{-2}{-8} = \dfrac{1}{4}$ seraient égaux, ce qui est faux. Donc $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas colinéaires : les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
Vérifions que pour tout $t \in \mathbb{R}$, le point $(-2 - 1{,}9\, t~;~t~;~4 + 2{,}3\, t)$ appartient à $P_1 \cap P_2$.

Dans $P_1$ : $5(-2 - 1{,}9\, t) - 2 t + 5(4 + 2{,}3\, t) = -10 - 9{,}5\, t - 2 t + 20 + 11{,}5\, t = 10$ ✓.

Dans $P_2$ : $-3(-2 - 1{,}9\, t) - 8 t + (4 + 2{,}3\, t) = 6 + 5{,}7\, t - 8 t + 4 + 2{,}3\, t = 10$ ✓.

Donc $\Delta \subset P_1 \cap P_2$. Or $P_1$ et $P_2$ étant sécants (3.b), leur intersection est une droite. $\Delta$ étant une droite incluse dans cette droite, $\Delta = P_1 \cap P_2$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(-1{,}9~;~1~;~2{,}3)$ et un vecteur normal à $P_3$ est $\vec{n_3}(8~;~-10~;~-4)$. On calcule :
$\vec{u} \cdot \vec{n_3} = -1{,}9 \times 8 + 1 \times (-10) + 2{,}3 \times (-4) = -15{,}2 - 10 - 9{,}2 = -34{,}4 \neq 0$.

$\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\vec{n_3}$, donc $\Delta$ n'est pas parallèle à $P_3$ : $\Delta$ et $P_3$ sont sécants.
Notons $H$ le point d'intersection de $\Delta$ et $P_3$.

$H \in \Delta = P_1 \cap P_2$, donc $H \in P_1$ et $H \in P_2$. Comme $P_1$ est le plan médiateur de $[AB]$ : $HA = HB$. Comme $P_2$ est le plan médiateur de $[CD]$ : $HC = HD$.

De plus, $H \in P_3$, plan médiateur de $[AC]$ : $HA = HC$.

Par conséquent, $HA = HB = HC = HD$ : $H$ est à égale distance des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$. Par unicité (admise dans l'énoncé), $H$ est bien le point recherché.