Bac spé maths — Centres Étrangers jour 1 — juin 2026

Épreuve écrite de spécialité Mathématiques

Centres Étrangers jour 1 — session du mercredi 10 juin 2026
Durée : 4 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice autorisée

Exercice 1 — 5 points

La fédération internationale d'escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.

Pour tester la conformité de l'acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu'à la rupture.

La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d'escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames.

Son stock est composé de $60\,\%$ de lames du fournisseur A, de $12\,\%$ de lames du fournisseur B, le reste venant du fournisseur C.

Une étude qualité a montré que :

$90\,\%$ des lames du fournisseur A étaient conformes ;
$95\,\%$ des lames du fournisseur B étaient conformes ;
$85\,\%$ des lames du fournisseur C étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l'équipementier.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « La lame testée provient du fournisseur A » ;
$B$ : « La lame testée provient du fournisseur B » ;
$C$ : « La lame testée provient du fournisseur C » ;
$T$ : « La lame testée est conforme ».

On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de $T$.

Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
Déterminer $P\left(A \cap \overline{T}\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de $0{,}892$.
Sachant que la lame testée n'est pas conforme, déterminer la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une lame de l'équipementier ne soit pas conforme est égale à $0{,}108$.

Lors d'une compétition d'escrime, l'équipementier apporte un échantillon de $75$ lames provenant de son stock.

On considère qu'il les a choisies au hasard et de manière indépendante.

De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que $6$ lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.
L'équipementier affirme que la probabilité qu'il y ait strictement plus de $8$ lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à $50\,\%$.

A-t-il raison ?

Partie C

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l'équipementier est présent.

Il apporte à chaque fois un échantillon de $75$ lames.

Les variables aléatoires $X_1$, …, $X_n$, que l'on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes.

On pose $M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$.

Déterminer l'espérance $\mathrm{E}\left(M_n\right)$ et la variance $\mathrm{V}\left(M_n\right)$ de la variable aléatoire $M_n$.
Justifier l'inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{1{,}8063}{n}.$$
Déterminer une valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| < 2\right) \geqslant 0{,}95$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 — 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

On considère l'équation différentielle suivante où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
$$(E) : \quad y' + y = 2\cos(x)$$

Affirmation 1 : La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4\mathrm{e}^{-x} + \cos(x) + \sin(x)$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$ et $g(x) = \sin(x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$.

Affirmation 2 : Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un seul point d'intersection.
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$v_n = \dfrac{2n + \sin(n)}{n + 1}$$

Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ diverge.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ :
$$u_{n+1} = u_n + 2n + 1$$

Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ on a $u_n = n^2$.
On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = \mathrm{e}^{-n}$.

On pose, pour tout entier naturel $n$, $S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_n$.

Affirmation 5 : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}$.

Exercice 3 — 4 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

Cube ABCDEFGH en perspective. I est le milieu de l'arête EF, J le milieu de EH et K le milieu de AE, marqués par des croix.

On munit l'espace du repère orthonormal $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$.

Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$.

Donner les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
1. Déterminer la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ}$.
2. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.
1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$.
2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$.
1. Déterminer les coordonnées du point $L$.
2. En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$.
Soit $M$ un point de la droite $(FG)$.

On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1~;~m~;~1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.
1. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est
  $$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}.$$
2. Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?

Exercice 4 — 6 points

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
$$f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}.$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
2. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$.
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.
Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.
Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a $f''(x) = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}$.
1. Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion.
2. En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0~;~\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]$, on a $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left[\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}~;~+\infty\right[$, on a aussi $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

Partie B

On considère la suite $(I_n)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par :
$$I_n = \int_1^n \dfrac{\ln(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x.$$

Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul.
Démontrer que la suite $(I_n)$ est croissante.
On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\mathrm{d}x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous.

Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python.
```
from math import *

S = 1/(2*exp(1))
for i in range(2,10):
    S = ...
print(S)
```
Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé.
À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$,
$$I_n = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}.$$
Calculer la limite de la suite $(I_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Corrigé

Exercice 1

Partie A

Les données fournissent $P(A) = 0{,}60$, $P(B) = 0{,}12$, donc $P(C) = 1 - 0{,}60 - 0{,}12 = 0{,}28$.
Les taux de conformité donnent $P_A(T) = 0{,}90$, $P_B(T) = 0{,}95$ et $P_C(T) = 0{,}85$, d'où $P_A(\overline{T}) = 0{,}10$, $P_B(\overline{T}) = 0{,}05$ et $P_C(\overline{T}) = 0{,}15$.

L'arbre complété porte donc $0{,}60$ ; $0{,}12$ ; $0{,}28$ sur les branches principales (vers $A$, $B$, $C$) et, sur les branches secondaires, $0{,}90$ et $0{,}10$ après $A$, $0{,}95$ et $0{,}05$ après $B$, $0{,}85$ et $0{,}15$ après $C$.
$P\left(A \cap \overline{T}\right) = P(A) \times P_A(\overline{T}) = 0{,}60 \times 0{,}10 = 0{,}06$.
Cela signifie que $6\,\%$ des lames vendues par l'équipementier proviennent du fournisseur A et sont non conformes.
D'après la formule des probabilités totales, $P(T) = P(A)P_A(T) + P(B)P_B(T) + P(C)P_C(T) = 0{,}60 \times 0{,}90 + 0{,}12 \times 0{,}95 + 0{,}28 \times 0{,}85 = 0{,}54 + 0{,}114 + 0{,}238 = 0{,}892$.
La probabilité que la lame testée soit conforme est donc $0{,}892$.
On cherche $P_{\overline{T}}(B)$.
On a $P(\overline{T}) = 1 - 0{,}892 = 0{,}108$ et $P\left(B \cap \overline{T}\right) = P(B) \times P_B(\overline{T}) = 0{,}12 \times 0{,}05 = 0{,}006$.
Donc $P_{\overline{T}}(B) = \dfrac{P\left(B \cap \overline{T}\right)}{P\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0{,}006}{0{,}108} = \dfrac{1}{18} \approx 0{,}056$.
Sachant que la lame n'est pas conforme, la probabilité qu'elle provienne de B est environ $0{,}056$.

Partie B

$X$ compte le nombre de lames non conformes parmi $75$ tirages indépendants assimilés à un tirage avec remise, chaque lame étant non conforme avec la probabilité $0{,}108$.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 75$ et $p = 0{,}108$.
$P(X = 6) = \dbinom{75}{6} \times 0{,}108^6 \times 0{,}892^{69} \approx 0{,}120$ au millième.
On compare $P(X > 8) = P(X \geqslant 9) = 1 - P(X \leqslant 8)$ à $0{,}5$.
À la calculatrice, $P(X \leqslant 8) \approx 0{,}578$, donc $P(X > 8) \approx 1 - 0{,}578 = 0{,}422$.
Comme $0{,}422 < 0{,}5$, l'équipementier a raison.

Partie C

Chaque $X_i$ suit la loi $\mathcal{B}(75~;~0{,}108)$, donc $\mathrm{E}(X_i) = 75 \times 0{,}108 = 8{,}1$ et $\mathrm{V}(X_i) = 75 \times 0{,}108 \times 0{,}892 = 7{,}2252$.
Par linéarité de l'espérance, $\mathrm{E}(M_n) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}(X_i) = \dfrac{1}{n} \times n \times 8{,}1 = 8{,}1$.
Les variables étant indépendantes, $\mathrm{V}(M_n) = \dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\mathrm{V}(X_i) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times 7{,}2252 = \dfrac{7{,}2252}{n}$.
Donc $\mathrm{E}(M_n) = 8{,}1$ et $\mathrm{V}(M_n) = \dfrac{7{,}2252}{n}$.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, dont l'espérance est $8{,}1$, donne pour tout réel $a > 0$ : $P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| \geqslant a\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(M_n)}{a^2}$.
Avec $a = 2$, $P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{7{,}2252/n}{4} = \dfrac{1{,}8063}{n}$, ce qui est l'inégalité demandée.
En passant à l'évènement contraire, $P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| < 2\right) = 1 - P\left(\left|M_n - 8{,}1\right| \geqslant 2\right) \geqslant 1 - \dfrac{1{,}8063}{n}$.
Il suffit donc que $1 - \dfrac{1{,}8063}{n} \geqslant 0{,}95$, soit $\dfrac{1{,}8063}{n} \leqslant 0{,}05$, c'est-à-dire $n \geqslant \dfrac{1{,}8063}{0{,}05} = 36{,}126$.
La valeur $n = 37$ convient (ainsi que toute valeur supérieure).

Interprétation : à partir de $37$ compétitions, il y a au moins $95\,\%$ de chances que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon s'écarte de moins de $2$ de sa valeur moyenne $8{,}1$, c'est-à-dire soit compris entre $6{,}1$ et $10{,}1$.
Cela illustre la loi des grands nombres : la moyenne $M_n$ se concentre autour de l'espérance $8{,}1$ lorsque $n$ augmente.

Exercice 2

Affirmation 1 : vraie. Pour $f(x) = 4\mathrm{e}^{-x} + \cos(x) + \sin(x)$, on a $f'(x) = -4\mathrm{e}^{-x} - \sin(x) + \cos(x)$.
Alors $f'(x) + f(x) = \left(-4\mathrm{e}^{-x} - \sin x + \cos x\right) + \left(4\mathrm{e}^{-x} + \cos x + \sin x\right) = 2\cos(x)$.
La fonction $f$ vérifie bien $(E)$.
Affirmation 2 : vraie. Un point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ vérifie $2x = \sin(x)$.
Posons $h(x) = 2x - \sin(x)$ sur $\mathbb{R}$ ; alors $h'(x) = 2 - \cos(x) \geqslant 2 - 1 = 1 > 0$, donc $h$ est strictement croissante : elle s'annule au plus une fois.
Or $h(0) = 0$, donc $x = 0$ est l'unique solution.
Les courbes ont un seul point d'intersection, l'origine $O(0~;~0)$.
Affirmation 3 : fausse. Pour tout $n$, $v_n = \dfrac{2n + \sin(n)}{n+1} = \dfrac{2n}{n+1} + \dfrac{\sin(n)}{n+1}$.
D'une part $\dfrac{2n}{n+1} = 2 - \dfrac{2}{n+1} \to 2$.
D'autre part $\left|\dfrac{\sin(n)}{n+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{n+1} \to 0$, donc par encadrement $\dfrac{\sin(n)}{n+1} \to 0$.
Ainsi $v_n \to 2$ : la suite $(v_n)$ converge, elle ne diverge donc pas.
Affirmation 4 : vraie. Démontrons par récurrence que $u_n = n^2$ pour tout $n \geqslant 1$.
Initialisation : $u_1 = 1 = 1^2$.
Hérédité : si $u_n = n^2$, alors $u_{n+1} = u_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.
Conclusion : pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n = n^2$.
Affirmation 5 : vraie. Pour tout $n$, $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{-k} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{k}$ est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q = \dfrac{1}{\mathrm{e}}$, avec $0 < q < 1$.
Donc $S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Comme $0 < q < 1$, $q^{n+1} \to 0$, d'où $S_n \to \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}} = \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}$.
L'affirmation est exacte.

Exercice 3

Dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$, le cube est de côté $1$ et ses sommets ont pour coordonnées $A(0~;~0~;~0)$, $B(1~;~0~;~0)$, $C(1~;~1~;~0)$, $D(0~;~1~;~0)$, $E(0~;~0~;~1)$, $F(1~;~0~;~1)$, $G(1~;~1~;~1)$, $H(0~;~1~;~1)$.

$I$ est le milieu de $[EF]$, donc $I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ ; $J$ est le milieu de $[EH]$, donc $J\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$ ; $K$ est le milieu de $[AE]$, donc $K\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
1. $\overrightarrow{AI}\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ et $\overrightarrow{AJ}\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$, donc $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\times 0 + 0 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times 1 = 1$.
2. $\left\|\overrightarrow{AI}\right\| = \left\|\overrightarrow{AJ}\right\| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
  Donc $\cos\widehat{IAJ} = \dfrac{\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}}{\left\|\overrightarrow{AI}\right\| \times \left\|\overrightarrow{AJ}\right\|} = \dfrac{1}{5/4} = \dfrac{4}{5}$, d'où $\widehat{IAJ} = \arccos\left(\dfrac{4}{5}\right) \approx 36{,}9^{\circ}$.
1. $\overrightarrow{KC}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$.
  On a $\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{AI} = 1 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times 0 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)\times 1 = 0$ et $\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{AJ} = 1 \times 0 + 1 \times \dfrac{1}{2} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)\times 1 = 0$.
  Comme $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AJ}$ ne sont pas colinéaires, ils dirigent le plan $(AIJ)$ ; orthogonal à ces deux vecteurs, $\overrightarrow{KC}$ est normal au plan $(AIJ)$.
2. Le plan $(AIJ)$ admet $\overrightarrow{KC}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$ pour vecteur normal, donc une équation de la forme $x + y - \dfrac{1}{2}z + d = 0$.
  Comme $A(0~;~0~;~0)$ appartient au plan, $d = 0$.
  Une équation cartésienne est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$.
1. $L$ est le projeté orthogonal de $C(1~;~1~;~0)$ sur $(AIJ)$ : il appartient à la droite passant par $C$ et dirigée par $\overrightarrow{KC}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$, donc $L\left(1 + t~;~1 + t~;~-\dfrac{1}{2}t\right)$ pour un réel $t$.
  En reportant dans l'équation du plan : $(1 + t) + (1 + t) - \dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}t\right) = 0$, soit $2 + \dfrac{9}{4}t = 0$, donc $t = -\dfrac{8}{9}$.
  On obtient $L\left(\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{1}{9}~;~\dfrac{4}{9}\right)$.
2. La distance de $C$ au plan est $CL = |t| \times \left\|\overrightarrow{KC}\right\|$.
  Or $\left\|\overrightarrow{KC}\right\| = \sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{3}{2}$, donc $CL = \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3}$.
1. $\overrightarrow{IM} = M - I = \left(1 - \dfrac{1}{2}~;~m - 0~;~1 - 1\right) = \left(\dfrac{1}{2}~;~m~;~0\right)$.
  La droite $(IM)$ passe par $I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ et est dirigée par $\overrightarrow{IM}$, d'où la représentation paramétrique $\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$, qui est bien celle de l'énoncé.
2. La droite $(KC)$ passe par $K\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et est dirigée par $\overrightarrow{KC}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$ ; un point de $(KC)$ s'écrit donc $\left(t~;~t~;~\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}t\right)$ avec $t \in \mathbb{R}$.
  Les vecteurs directeurs $\overrightarrow{IM}\left(\dfrac{1}{2}~;~m~;~0\right)$ et $\overrightarrow{KC}\left(1~;~1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$ ne sont jamais colinéaires (la troisième coordonnée de $\overrightarrow{IM}$ est nulle, celle de $\overrightarrow{KC}$ ne l'est pas) : les droites $(IM)$ et $(KC)$ ne sont jamais parallèles, donc elles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes.
  Un point commun aux deux droites vérifie, en égalant les deux représentations paramétriques, $\dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} = t$, $\;ms = t\;$ et $\;1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}t$.
  La dernière équation donne $t = -1$, puis la première donne $s = -3$.
  En reportant dans la deuxième, on obtient $-3m = -1$, soit $m = \dfrac{1}{3}$.
  On ne peut donc pas affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires pour toute valeur de $m$ : elles le sont seulement lorsque $m = \dfrac{1}{3}$ (elles se coupent alors au point de coordonnées $(-1~;~-1~;~1)$), et sont non coplanaires sinon.

Exercice 4

Partie A

1. Quand $x \to 0^+$, $\ln(x) \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$, donc $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2} \to -\infty$.
  Quand $x \to +\infty$, $f(x) = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$ ; par croissance comparée $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ et $\dfrac{1}{x} \to 0$, donc $f(x) \to 0$.
2. La droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$, et la droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables.
Avec $u(x) = \ln x$ et $v(x) = x^2$ : $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2 - \ln x \times 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$.
Pour $x > 0$, $x^3 > 0$ donc $f'(x)$ a le signe de $1 - 2\ln(x)$.
Or $1 - 2\ln x > 0 \iff \ln x < \dfrac{1}{2} \iff x < \sqrt{\mathrm{e}}$.
Donc $f$ est croissante sur $\left]0~;~\sqrt{\mathrm{e}}\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt{\mathrm{e}}~;~+\infty\right[$, avec un maximum en $\sqrt{\mathrm{e}}$ : $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) = \dfrac{\ln\sqrt{\mathrm{e}}}{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)^2} = \dfrac{1/2}{\mathrm{e}} = \dfrac{1}{2\mathrm{e}}$.
$f(1) = \dfrac{\ln 1}{1} = 0$ et $f'(1) = \dfrac{1 - 2\ln 1}{1} = 1$.
La tangente $\Delta$ au point $A$ d'abscisse $1$ a pour équation $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = x - 1$.
$f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}$.
Avec $u(x) = 1 - 2\ln x$ ($u'(x) = -\dfrac{2}{x}$) et $v(x) = x^3$ ($v'(x) = 3x^2$) : $f''(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{-\dfrac{2}{x}\times x^3 - (1 - 2\ln x)\times 3x^2}{x^6} = \dfrac{-2x^2 - 3x^2(1 - 2\ln x)}{x^6} = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}$.
1. Pour $x > 0$, $x^4 > 0$ donc $f''(x)$ a le signe de $-5 + 6\ln(x)$.
  Or $-5 + 6\ln x > 0 \iff \ln x > \dfrac{5}{6} \iff x > \mathrm{e}^{5/6}$.
  Ainsi $f$ est concave sur $\left]0~;~\mathrm{e}^{5/6}\right]$ et convexe sur $\left[\mathrm{e}^{5/6}~;~+\infty\right[$.
  La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $x = \mathrm{e}^{5/6}$ : $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(\mathrm{e}^{5/6}~;~\dfrac{5}{6}\mathrm{e}^{-5/3}\right)$, car $f\left(\mathrm{e}^{5/6}\right) = \dfrac{5/6}{\mathrm{e}^{5/3}}$.
2. Sur $\left]0~;~\mathrm{e}^{5/6}\right]$, $f$ est concave, donc $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.
  Comme $1 \in \left]0~;~\mathrm{e}^{5/6}\right]$, la courbe est en particulier sous sa tangente $\Delta : y = x - 1$ : pour tout $x \in \left]0~;~\mathrm{e}^{5/6}\right]$, $f(x) \leqslant x - 1$, c'est-à-dire $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.
Sur $\left[\mathrm{e}^{5/6}~;~+\infty\right[$, on a $x \geqslant \mathrm{e}^{5/6} > \sqrt{\mathrm{e}} > 1{,}6$, donc $x - 1 > 0{,}6$.
Par ailleurs, d'après le tableau de variation, $f(x) \leqslant \dfrac{1}{2\mathrm{e}} < 0{,}2$ pour tout $x > 0$.
Ainsi, pour tout $x \in \left[\mathrm{e}^{5/6}~;~+\infty\right[$ : $\dfrac{\ln(x)}{x^2} = f(x) < 0{,}2 < 0{,}6 < x - 1$, donc $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$.

Partie B

Pour $n \geqslant 1$ et $x \in [1~;~n]$, on a $x \geqslant 1$ donc $\ln(x) \geqslant 0$ et $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2} \geqslant 0$.
Ainsi $I_n$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = n$.
Pour tout $n \geqslant 1$, $I_{n+1} - I_n = \displaystyle\int_n^{n+1}\dfrac{\ln(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x$.
Sur $[n~;~n+1]$, $x \geqslant 1$ donc $\dfrac{\ln(x)}{x^2} \geqslant 0$, et l'intégrale d'une fonction positive sur cet intervalle est positive : $I_{n+1} - I_n \geqslant 0$.
La suite $(I_n)$ est donc croissante.
Les rectangles ont une largeur de $1$.
Sur $[1~;~2]$, le maximum de $f$ vaut $\dfrac{1}{2\mathrm{e}}$ (atteint en $\sqrt{\mathrm{e}}$) ; sur chaque intervalle $[i~;~i+1]$ avec $i \geqslant 2$, $f$ est décroissante et son maximum est $f(i) = \dfrac{\ln(i)}{i^2}$.
La somme des aires des rectangles vaut donc $\dfrac{1}{2\mathrm{e}} + \displaystyle\sum_{i=2}^{9}\dfrac{\ln(i)}{i^2}$.
Le script complété est :
```
from math import *

S = 1/(2*exp(1))
for i in range(2,10):
    S = S + log(i)/i**2
print(S)
```
On effectue une intégration par parties sur $I_n = \displaystyle\int_1^n \ln(x)\times\dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$ en posant $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x^2}$, d'où $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = -\dfrac{1}{x}$.
Alors $I_n = \left[-\dfrac{\ln(x)}{x}\right]_1^n - \displaystyle\int_1^n \left(-\dfrac{1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^n = -\dfrac{\ln(n)}{n} - \dfrac{1}{n} + 1 = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}$.
$I_n = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n} = 1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{\ln(n)}{n}$.
Quand $n \to +\infty$, $\dfrac{1}{n} \to 0$ et, par croissance comparée, $\dfrac{\ln(n)}{n} \to 0$.
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = 1$.