Bac spé maths — Asie jour 2 — juin 2026

Épreuve écrite de spécialité Mathématiques

Asie jour 2 — session du mercredi 10 juin 2026
Durée : 4 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice autorisée

Exercice 1 — 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$ par $f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3}$.

Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous.
En déduire que pour tout $x \in [0~;~1]$, on a $f(x) \in [0~;~1]$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$\begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3} \end{cases} \quad \text{pour tout entier naturel } n.$$

En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. En admettant que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~1]$, montrer que $\ell = 1$.
On donne ci-dessous une fonction `seuil` écrite en langage Python.
```
def seuil(h):
    n = 0
    u = 0
    while u < 1 - h:
        n = n + 1
        u = (u - 2)/(2*u - 3)
    return n
```
L'appel `seuil(0.0001)` renvoie la valeur $5000$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
1. Donner les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ sous forme de fractions irréductibles.
2. Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.

Exercice 2 — 5 points

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice. On arrondira, si nécessaire, les résultats à $10^{-3}$ près.

Dans cet exercice, on s'intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basket-ball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s'effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d'un joueur sont de $49{,}2\,\%$ lors d'une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d'un lancer-franc.

Au cours d'un match, ce joueur tente $16$ lancers-francs. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et l'interpréter dans le contexte de cet exercice.
Calculer $P(X = 5)$.
Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Partie B

On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que $0 \leqslant p \leqslant 1$. On se place dans le cas où le joueur effectue $3$ lancers-francs. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$.
Exprimer $P(Y = 2)$ en fonction de $p$.
Donner la loi de probabilité de $Y$. Présenter la réponse sous forme de tableau.
Montrer que $P(Y \geqslant 2) = -2p^3 + 3p^2$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = -2x^3 + 3x^2$.
1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ et dresser son tableau de variations en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l'intervalle.
2. En déduire l'existence d'une unique valeur $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~1]$ telle que $f(\alpha) = 0{,}9$.
3. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette valeur $\alpha$.
4. Interpréter la valeur de $\alpha$ dans le contexte de l'exercice.

Exercice 3 — 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$, on considère les points
$$A(1~;~2~;~3),\quad B(-1~;~3~;~1),\quad C(2~;~1~;~6) \quad \text{et} \quad D(3~;~-2~;~-1).$$

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
3. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$.
2. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
3. En déduire que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{2}$.
1. Montrer que $\cos\left(\widehat{BAC}\right) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$.
2. En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{BAC}\right)$.
3. Montrer que l'aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur qui lui est associée.

Exercice 4 — 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation. Les quatre questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^5$.

Affirmation 1 : la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.
Une urne contient $32$ jetons numérotés de $1$ à $32$, indiscernables au toucher. On tire simultanément $5$ jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.

Affirmation 2 : le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de $8$ est égal à $103\,096$.
On considère l'arbre de probabilités ci-dessous.

Affirmation 3 : $P_B\left(\overline{A}\right) = \dfrac{9}{50}$.
On considère l'équation différentielle $(E)~:~y' + y = \mathrm{e}^{-x}\cos(x)$, où $y$ est une fonction de la variable $x$, dérivable sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 4 : la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 5 : les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = C\,\mathrm{e}^{-x}\sin(x)$, où $C$ est une constante réelle.

Corrigé

Exercice 1

Partie A

$f$ est dérivable sur $\left]-\infty~;~\dfrac{3}{2}\right[$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas.
Pour tout $x < \dfrac{3}{2}$ :
$$f'(x) = \dfrac{1\times(2x-3) - (x-2)\times 2}{(2x-3)^2} = \dfrac{2x - 3 - 2x + 4}{(2x-3)^2} = \dfrac{1}{(2x-3)^2} > 0.$$
La fonction $f$ est donc strictement croissante.
En $-\infty$, $f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3} \sim \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = \dfrac{1}{2}$.
Lorsque $x \to \dfrac{3}{2}^-$, le numérateur tend vers $-\dfrac{1}{2} < 0$ et le dénominateur $2x - 3 \to 0^-$, donc $f(x) \to +\infty$.
Ces résultats justifient le tableau.
$f$ est croissante sur $[0~;~1]$, donc $f([0~;~1]) = [f(0)~;~f(1)]$.
Or $f(0) = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3}$ et $f(1) = \dfrac{-1}{-1} = 1$.
Ainsi $f([0~;~1]) = \left[\dfrac{2}{3}~;~1\right] \subset [0~;~1]$.
Pour tout $x \in [0~;~1]$, on a bien $f(x) \in [0~;~1]$.

Partie B

On démontre par récurrence la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$ ».

Initialisation. $u_0 = 0$ et $u_1 = f(u_0) = f(0) = \dfrac{2}{3}$.
On a $0 \leqslant 0 \leqslant \dfrac{2}{3} \leqslant 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie : $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~1]$ et l'image de $[0~;~1]$ est incluse dans $[0~;~1]$ (Partie A).
En appliquant $f$, qui conserve l'ordre :
$$f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1), \quad \text{soit} \quad \dfrac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1.$$
A fortiori $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$.
La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n \leqslant u_{n+1}$) et majorée par $1$.
D'après le théorème de convergence monotone, elle converge.
La fonction $f$ étant continue sur $[0~;~1]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.
On résout $f(x) = x$ :
$$\begin{aligned} \dfrac{x-2}{2x-3} = x &\iff x - 2 = x(2x - 3) \iff 2x^2 - 4x + 2 = 0 \\ &\iff 2(x-1)^2 = 0 \iff x = 1. \end{aligned}$$
La seule solution est $x = 1$, donc $\ell = 1$.
L'appel `seuil(0.0001)` renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999$.
Cette valeur étant $5000$, cela signifie qu'il faut $5000$ termes pour que la suite $(u_n)$, qui converge vers $1$, atteigne pour la première fois $0{,}9999$ : la convergence vers $1$ est très lente.
1. $u_0 = 0$ ; $u_1 = f(0) = \dfrac{2}{3}$ ; $u_2 = f\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{\dfrac{2}{3} - 2}{2\times\dfrac{2}{3} - 3} = \dfrac{-\dfrac{4}{3}}{-\dfrac{5}{3}} = \dfrac{4}{5}$ ; $u_3 = f\!\left(\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{\dfrac{4}{5} - 2}{2\times\dfrac{4}{5} - 3} = \dfrac{-\dfrac{6}{5}}{-\dfrac{7}{5}} = \dfrac{6}{7}$.
2. Les termes $\dfrac{0}{1},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{4}{5},~\dfrac{6}{7}$ suggèrent la conjecture : pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2n}{2n+1}$.
  
  Démonstration par récurrence. Initialisation : $\dfrac{2\times 0}{2\times 0 + 1} = 0 = u_0$, vrai.
  Hérédité : supposons $u_n = \dfrac{2n}{2n+1}$.
  Alors
  $$\begin{aligned} u_n - 2 &= \dfrac{2n - 2(2n+1)}{2n+1} = \dfrac{-2n - 2}{2n+1}, \\ 2u_n - 3 &= \dfrac{4n - 3(2n+1)}{2n+1} = \dfrac{-2n - 3}{2n+1}, \end{aligned}$$
  donc
  $$u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3} = \dfrac{-2n-2}{-2n-3} = \dfrac{2n+2}{2n+3} = \dfrac{2(n+1)}{2(n+1)+1}.$$
  La propriété est héréditaire ; elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$, et $u_n = \dfrac{2n}{2n+1}$.

Exercice 2

Partie A

Le joueur effectue $16$ lancers identiques et indépendants.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli dont le succès « réussir le lancer » a pour probabilité $0{,}492$.
La variable $X$, qui compte le nombre de succès, suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(16~;~0{,}492)$.
$E(X) = n\times p = 16\times 0{,}492 = 7{,}872$.
En moyenne, sur un grand nombre de matchs de $16$ lancers, le joueur réussit environ $7{,}87$ lancers-francs.
$P(X = 5) = \dbinom{16}{5}\times 0{,}492^5\times 0{,}508^{11} \approx 0{,}073$.
$P(X \geqslant 6) = 1 - P(X \leqslant 5) \approx 1 - 0{,}117 \approx 0{,}883$.

Partie B

$Y$ compte le nombre de lancers réussis parmi $3$ : les valeurs prises sont $0$, $1$, $2$ et $3$.
$Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$, donc $P(Y = 2) = \dbinom{3}{2}p^2(1-p) = 3p^2(1-p)$.
Loi de probabilité de $Y$ :

$k$ $0$ $1$ $2$ $3$

$P(Y = k)$ $(1-p)^3$ $3p(1-p)^2$ $3p^2(1-p)$ $p^3$
$P(Y \geqslant 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = 3p^2(1-p) + p^3 = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = -2p^3 + 3p^2$.
1. $f$ est dérivable sur $[0~;~1]$ et $f'(x) = -6x^2 + 6x = 6x(1 - x)$.
  Sur $[0~;~1]$, $6x \geqslant 0$ et $1 - x \geqslant 0$, donc $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est croissante.
  Aux bornes, $f(0) = 0$ et $f(1) = -2 + 3 = 1$.
2. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0~;~1]$, avec $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$.
  Comme $0{,}9 \in [0~;~1] = [f(0)~;~f(1)]$, le théorème des valeurs intermédiaires (appliqué à une fonction strictement monotone) garantit l'existence d'une unique valeur $\alpha \in [0~;~1]$ telle que $f(\alpha) = 0{,}9$.
3. À la calculatrice, $f(0{,}80) \approx 0{,}896 < 0{,}9$ et $f(0{,}81) \approx 0{,}905 > 0{,}9$.
  Donc $0{,}80 < \alpha < 0{,}81$.
4. $\alpha \approx 0{,}80$ est la probabilité de réussite d'un lancer-franc pour laquelle la probabilité de réussir au moins $2$ lancers sur $3$ vaut exactement $0{,}9$.
  Autrement dit, pour avoir $90\,\%$ de chances de réussir au moins deux lancers sur trois, le joueur doit réussir chaque lancer avec une probabilité d'environ $0{,}80$.

Exercice 3

1. $\overrightarrow{AB}\,(-2~;~1~;~-2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(1~;~-1~;~3)$.
  Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (si $\dfrac{-2}{1} = \dfrac{1}{-1}$ était vrai, on aurait $-2 = -1$, faux), donc les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. $\vec{n}\,(1~;~4~;~1)$ vérifie $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} = -2 + 4 - 2 = 0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 1 - 4 + 3 = 0$.
  Orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, $\vec{n}$ en est un vecteur normal.
3. Une équation de $(ABC)$ est de la forme $x + 4y + z + d = 0$.
  Avec $A(1~;~2~;~3)$ : $1 + 8 + 3 + d = 0$, donc $d = -12$.
  Une équation cartésienne est $x + 4y + z - 12 = 0$.
1. La droite $(d)$ passe par $D(3~;~-2~;~-1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{n}\,(1~;~4~;~1)$.
  Une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = 3 + t \\ y = -2 + 4t \\ z = -1 + t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$.
2. $H$ est l'intersection de $(d)$ et de $(ABC)$ : $(3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) - 12 = 0$, soit $-18 + 18t = 0$, donc $t = 1$.
  On obtient $H(4~;~2~;~0)$.
3. $\overrightarrow{DH}\,(1~;~4~;~1)$, donc $DH = \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
  La distance de $D$ au plan $(ABC)$ est $3\sqrt{2}$.
1. $\cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AC}\right\|}$.
  Or $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -2 - 1 - 6 = -9$, $\left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{4+1+4} = 3$ et $\left\|\overrightarrow{AC}\right\| = \sqrt{1+1+9} = \sqrt{11}$.
  Donc
  $$\cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{-3}{\sqrt{11}} = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}.$$
2. Comme $\widehat{BAC} \in [0~;~\pi]$, on a $\sin\left(\widehat{BAC}\right) \geqslant 0$.
  Donc
  $$\sin\left(\widehat{BAC}\right) = \sqrt{1 - \cos^2\left(\widehat{BAC}\right)} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{11}} = \sqrt{\dfrac{2}{11}} = \dfrac{\sqrt{22}}{11}.$$
3. L'aire du triangle vaut
  $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \dfrac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\right\|\times\left\|\overrightarrow{AC}\right\|\times\sin\left(\widehat{BAC}\right) \\ &= \dfrac{1}{2}\times 3\times\sqrt{11}\times\dfrac{\sqrt{22}}{11} = \dfrac{3\sqrt{242}}{22} = \dfrac{3\times 11\sqrt{2}}{22} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}$$
On prend pour base le triangle $ABC$, d'aire $\mathcal{B} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ ; la hauteur associée est la distance de $D$ au plan $(ABC)$, soit $h = 3\sqrt{2}$.
Donc
$$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{9\times 2}{2} = \dfrac{1}{3}\times 9 = 3.$$
Le volume du tétraèdre $ABCD$ vaut $3$ unités de volume.

Exercice 4

Affirmation 1 — Fausse. $f'(x) = 5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^4 = -\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^4$, puis
$$f''(x) = -\dfrac{5}{2}\times 4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^3 = 5\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^3.$$
$f''(x)$ a le signe de $-\dfrac{1}{2}x + 3$, positif pour $x < 6$ et négatif pour $x > 6$.
La dérivée seconde change de signe : $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$ (elle est convexe sur $]-\infty~;~6]$ et concave sur $[6~;~+\infty[$).
Affirmation 2 — Vraie. Les multiples de $8$ entre $1$ et $32$ sont $8$, $16$, $24$, $32$ : il y en a $4$, et donc $28$ jetons qui n'en sont pas.
Le nombre total de tirages de $5$ jetons est $\dbinom{32}{5} = 201\,376$ et le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de $8$ est $\dbinom{28}{5} = 98\,280$.
Par passage au complémentaire, le nombre de tirages contenant au moins un multiple de $8$ est
$$\dbinom{32}{5} - \dbinom{28}{5} = 201\,376 - 98\,280 = 103\,096.$$
Affirmation 3 — Fausse. L'arbre donne $P(A) = \dfrac{2}{5}$, $P_A(B) = \dfrac{1}{4}$ et $P_{\overline{A}}\!\left(\overline{B}\right) = \dfrac{7}{10}$, d'où $P\!\left(\overline{A}\right) = \dfrac{3}{5}$ et $P_{\overline{A}}(B) = \dfrac{3}{10}$.
Par la formule des probabilités totales :
$$P(B) = \dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{10} + \dfrac{9}{50} = \dfrac{5}{50} + \dfrac{9}{50} = \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}.$$
Alors
$$P_B\!\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\!\left(\overline{A}\cap B\right)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{10}}{\dfrac{7}{25}} = \dfrac{\dfrac{9}{50}}{\dfrac{7}{25}} = \dfrac{9}{50}\times\dfrac{25}{7} = \dfrac{9}{14}.$$
On obtient $\dfrac{9}{14}$ et non $\dfrac{9}{50}$ (qui n'est autre que $P\!\left(\overline{A}\cap B\right)$) : l'affirmation est fausse.
Affirmation 4 — Vraie. $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\sin x + \mathrm{e}^{-x}\cos x = \mathrm{e}^{-x}(\cos x - \sin x)$.
Alors
$$h'(x) + h(x) = \mathrm{e}^{-x}(\cos x - \sin x) + \mathrm{e}^{-x}\sin x = \mathrm{e}^{-x}\cos x,$$
donc $h$ est bien solution de $(E)$.

Affirmation 5 — Fausse. Les solutions de l'équation homogène $y' + y = 0$ sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{-x}$.
D'après l'affirmation 4, $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin x$ est une solution particulière de $(E)$.
Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions
$$x \mapsto \mathrm{e}^{-x}\sin x + C\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}\big(\sin x + C\big), \quad C \in \mathbb{R},$$
et non $k(x) = C\mathrm{e}^{-x}\sin x$ (qui n'est d'ailleurs solution que pour $C = 1$).
L'affirmation est fausse.

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(Y = k)$	$(1-p)^3$	$3p(1-p)^2$	$3p^2(1-p)$	$p^3$