Équation trigonométrique

On pose $X=\sin\left(x\right)$. L'équation devient alors une équation du second degré en $X$ :

On calcule le discriminant :

Le discriminant est strictement positif, l'équation admet donc deux solutions :

On revient à l'inconnue $x$ avec $X=\sin\left(x\right)$ :

Comme $\sin\left(x\right)\in\left[-1;1\right]$ pour tout réel $x$, l'équation $\sin\left(x\right)=4$ n'a aucune solution.

Il reste à résoudre $\sin\left(x\right)=\dfrac{1}{2}$. Comme $\dfrac{1}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$, l'équation s'écrit :

D'après le cours, cela équivaut à :

L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ ;\ \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\ \middle|\ k\in\mathbb{Z}\right\}$.