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Épreuve anticipée · spé

Épreuve anticipée spé maths — Sujet zéro n° 2

Session Sujet 0
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement de spécialité
Sujet zéro
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte.

  1. On considère l'arbre de probabilité ci-contre. On cherche la probabilité de l'évènement $B$. On a :

    Arbre de probabilité à deux niveaux : la branche vers A porte la probabilité 0,4, puis A se subdivise en B (probabilité 0,3) et B barre ; la branche vers A barre se subdivise en B et B barre (probabilité 0,9).
    1. $P(B) = 0{,}18$
    2. $P(B) = 0{,}12$
    3. $P(B) = 0{,}66$
    4. $P(B) = 0{,}3$

  2. Une tablette coûte $200$ euros. Son prix diminue de $30\,\%$. Le prix après cette diminution est :

    1. $140$ euros
    2. $170$ euros
    3. $194$ euros
    4. $197$ euros

  3. Une réduction de $50\,\%$ suivie d'une augmentation de $50\,\%$ équivaut à :

    1. une réduction de $50\,\%$
    2. une réduction de $25\,\%$
    3. une augmentation de $25\,\%$
    4. une augmentation de $75\,\%$

  4. Dans un lycée, le quart des élèves sont internes ; parmi eux, la moitié sont des filles. La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :

    1. $4\,\%$
    2. $12{,}5\,\%$
    3. $25\,\%$
    4. $50\,\%$

  5. On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a :

    1. $N = 2^5$
    2. $N = 20\,000$
    3. $N = \dfrac{1}{10^5}$
    4. $N = 4 \times 10^5$

  6. Un appareil a besoin d'une énergie de $7{,}5 \times 10^6$ Joules (J) pour se mettre en route. À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ? Données : $1$ kWh $= 3{,}6 \times 10^6$ J.

    1. $0{,}5$ kWh
    2. $2{,}08$ kWh
    3. $5{,}3$ kWh
    4. $20{,}35$ kWh

  7. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points $A(0~;~-1)$ et $B(2~;~5)$. Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

    1. $-\dfrac{1}{2}$
    2. $2$
    3. $3$
    4. $\dfrac{1}{3}$

  8. On a représenté ci-contre une droite $D$. Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est :

    Dans un repère orthogonal, une droite D décroissante passant par l'origine, de pente négative voisine de -2.
    1. $2x - y = 0$
    2. $2x + y + 1 = 0$
    3. $y = x^2 - (x+1)^2 + 1$
    4. $y = 2x - 1$

  9. On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\mathbb{R}$. On a :

    1. $\mathcal{S} = \{-5~;~5\}$
    2. $\mathcal{S} = \{-\sqrt{5}~;~\sqrt{5}\}$
    3. $\mathcal{S} = \{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\}$
    4. $\mathcal{S} = \varnothing$

  10. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 15)(x + 2)$ admet pour tableau de signes :

    1. Tableau de signes : x de moins infini à plus infini, valeurs remarquables -2 et 5 ; f(x) positive, zéro en -2, négative, zéro en 5, positive.
    2. Tableau de signes : x de moins infini à plus infini, valeurs remarquables -2 et 5 ; f(x) négative, zéro en -2, positive, zéro en 5, négative.
    3. Tableau de signes : x de moins infini à plus infini, valeurs remarquables -5 et 2 ; f(x) positive, zéro en -5, négative, zéro en 2, positive.
    4. Tableau de signes : x de moins infini à plus infini, valeurs remarquables -5 et 2 ; f(x) négative, zéro en -5, positive, zéro en 2, négative.

  11. L'expression développée de $(2x + 0{,}5)^2$ est :

    1. $4x^2 + x + 0{,}25$
    2. $4x^2 + 4x + 2$
    3. $4x^2 + 2x + 0{,}25$
    4. $4x^2 + 2x + 1$

  12. Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse $v$ (en m/s) de la manière suivante :
    $$a = \dfrac{v^2}{R}.$$
    L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est :

    1. $v = aR^2$
    2. $v = \sqrt{aR}$
    3. $v = \sqrt{\dfrac{a}{R}}$
    4. $v = \dfrac{a^2}{R}$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1


En 2020, une ville comptait $10\,000$ habitants. On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi :
$$\begin{cases} u_{n+1} = 1{,}08\,u_n - 300 ~,~ n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 10\,000 \end{cases}$$
où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020 + n$.
  1. Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.

  2. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3750$.

    1. Déterminer $v_0$.
    2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1{,}08\,v_n$.
    3. En déduire la nature de la suite $(v_n)$.
    4. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    5. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 6250 \times 1{,}08^n + 3750$.

  3. Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2 :

    $= 6250*1{,}08\hat{}\,\text{A2} + 3750$

    $n$ $u_n$
    $0$ $10000$
    $1$ $10500$
    $2$ $11040$
    $3$ $11623{,}2$
    $4$ $12253{,}056$
    $5$ $12933{,}30048$
    $6$ $13667{,}96452$
    $7$ $14461{,}40168$
    $8$ $15318{,}31284$
    $9$ $16243{,}77812$
    $10$ $17243{,}28123$
    $11$ $18322{,}74373$
    $12$ $19488{,}56323$
    $13$ $20747{,}64829$
    $14$ $22107{,}46015$
    $15$ $23576{,}05696$
    $16$ $25162{,}14152$
    $17$ $26875{,}11284$
    $18$ $28725{,}12187$
    $19$ $30723{,}13162$

    La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra $19\,000$ habitants. La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

Aide au calcul

$10\,000 - 3\,750 = 6\,250$ ;
$1{,}08 \times 4\,050 = 4\,374$ ;
$\dfrac{4\,050}{1{,}08} = 3\,750$ ;
$3\,750 \times 1{,}08 = 4\,050$.

Exercice 2


Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A


On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5~;~3]$ par :
$$P(x) = 2x^2 + x - 10.$$
    1. Déterminer les racines de $P$.
    2. En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = P(x)$.
  2. Établir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$.

Partie B


On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
Courbe représentative C_f d'une fonction f sur l'intervalle [-5 ; 3] dans un repère orthogonal. La courbe part d'environ 13 en x = -5, monte jusqu'à un maximum voisin de 18 vers x = -3,5, redescend en traversant l'axe des abscisses, atteint un minimum d'environ -11 au point A d'abscisse 2 où la tangente T est horizontale, puis remonte jusqu'à environ 11 en x = 3.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $2$ est horizontale.

  1. Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.
  2. Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$.
  3. On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5~;~3]$
    $$f(x) = (4x^2 - 14x + 8)\,\mathrm{e}^{0{,}5x}.$$
    Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~3]$, on a
    $$f'(x) = P(x)\,\mathrm{e}^{0{,}5x}.$$
  4. En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5~;~3]$. Il n'est pas demandé de calculer les images.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse a : $P(\overline{A}) = 0{,}6$ et $P_{\overline A}(B) = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$, donc $P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}6 \times 0{,}1 = 0{,}12 + 0{,}06 = 0{,}18$.
  2. Réponse a : une baisse de $30\,\%$ revient à multiplier par $0{,}7$, soit $200 \times 0{,}7 = 140$ euros.
  3. Réponse b : $0{,}5 \times 1{,}5 = 0{,}75$, ce qui correspond à une réduction de $25\,\%$.
  4. Réponse b : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%$.
  5. Réponse d : $N = \dfrac{10^7}{25} = \dfrac{10\,000\,000}{25} = 400\,000 = 4 \times 10^5$.
  6. Réponse b : $\dfrac{7{,}5 \times 10^6}{3{,}6 \times 10^6} = \dfrac{7{,}5}{3{,}6} \approx 2{,}08$ kWh.
  7. Réponse c : le coefficient directeur vaut $\dfrac{5 - (-1)}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = 3$.
  8. Réponse c : la droite passe par l'origine (ordonnée à l'origine nulle) avec une pente négative. Or $x^2 - (x+1)^2 + 1 = x^2 - x^2 - 2x - 1 + 1 = -2x$, soit $y = -2x$, qui convient.
  9. Réponse c : $x^2 = 10 \iff x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$, donc $\mathcal{S} = \{-\sqrt{10}~;~\sqrt{10}\}$.
  10. Réponse a : les racines sont $5$ (annule $3x - 15$) et $-2$ (annule $x + 2$) ; le coefficient dominant étant positif, $f(x)$ est positif à l'extérieur des racines $-2$ et $5$, négatif entre les deux.
  11. Réponse c : $(2x + 0{,}5)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 0{,}5 + 0{,}5^2 = 4x^2 + 2x + 0{,}25$.
  12. Réponse b : de $a = \dfrac{v^2}{R}$ on tire $v^2 = aR$, donc $v = \sqrt{aR}$ (avec $v > 0$).

Partie 2

Exercice 1

  1. $u_1$ représente le nombre d'habitants de la ville en 2021 (année $2020 + 1$). On calcule $u_1 = 1{,}08 \times 10\,000 - 300 = 10\,800 - 300 = 10\,500$ habitants.
    1. $v_0 = u_0 - 3750 = 10\,000 - 3750 = 6250$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = u_{n+1} - 3750 = 1{,}08\,u_n - 300 - 3750 = 1{,}08\,u_n - 4050$. Comme $1{,}08 \times 3750 = 4050$, on a $v_{n+1} = 1{,}08\,u_n - 1{,}08 \times 3750 = 1{,}08\,(u_n - 3750) = 1{,}08\,v_n$.
    3. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 1{,}08$ et de premier terme $v_0 = 6250$.
    4. Pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times q^n = 6250 \times 1{,}08^n$.
    5. Comme $v_n = u_n - 3750$, on a $u_n = v_n + 3750 = 6250 \times 1{,}08^n + 3750$.
  3. On cherche le premier rang $n$ tel que $u_n \geqslant 19\,000$. D'après le tableau, $u_{11} = 18\,322{,}7\ldots < 19\,000$ et $u_{12} = 19\,488{,}6\ldots \geqslant 19\,000$. La population atteint donc $19\,000$ habitants en l'année $2020 + 12 = 2032$. La construction durant deux ans, elle doit commencer en $2032 - 2 = 2030$, soit à partir de l'année 2030.

Exercice 2


Partie A
    1. On résout $2x^2 + x - 10 = 0$. Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-10) = 1 + 80 = 81 > 0$, donc $\sqrt{\Delta} = 9$. Les racines sont $x_1 = \dfrac{-1 - 9}{4} = -\dfrac{10}{4} = -2{,}5$ et $x_2 = \dfrac{-1 + 9}{4} = \dfrac{8}{4} = 2$.
    2. L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d'équation $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2{,}5 + 2}{2} = -\dfrac{1}{4}$, soit $x = -0{,}25$.

  2. Le coefficient dominant de $P$ est $2 > 0$ : $P(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Sur $[-5~;~3]$, le tableau de signes est :

    Tableau de signes de P sur l'intervalle de -5 à 3 : P(x) est positive de -5 à -2,5 où elle s'annule, négative de -2,5 à 2 où elle s'annule, puis positive de 2 à 3.

Partie B

  1. La tangente $T$ au point $A$ d'abscisse $2$ est horizontale, donc le nombre dérivé y est nul : $f'(2) = 0$.
  2. Graphiquement, $f'(x) < 0$ là où $f$ est strictement décroissante, c'est-à-dire sur l'intervalle ouvert $\left]-2{,}5~;~2\right[$.
  3. La fonction $f$ est un produit de la forme $f = u \times v$ avec $u(x) = 4x^2 - 14x + 8$ et $v(x) = \mathrm{e}^{0{,}5x}$. On a $u'(x) = 8x - 14$ et $v'(x) = 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$. D'après la formule $(uv)' = u'v + uv'$ :
    $$f'(x) = (8x - 14)\,\mathrm{e}^{0{,}5x} + (4x^2 - 14x + 8) \times 0{,}5\,\mathrm{e}^{0{,}5x}.$$
    En factorisant par $\mathrm{e}^{0{,}5x}$ : $f'(x) = \mathrm{e}^{0{,}5x}\big[(8x - 14) + (2x^2 - 7x + 4)\big] = \mathrm{e}^{0{,}5x}\,(2x^2 + x - 10) = P(x)\,\mathrm{e}^{0{,}5x}$.

  4. Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{0{,}5x} > 0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $P(x)$, déterminé en partie A. Ainsi $f$ est croissante sur $[-5~;~-2{,}5]$, décroissante sur $[-2{,}5~;~2]$ puis croissante sur $[2~;~3]$.

    Tableau de variation de f sur l'intervalle de -5 à 3 : f croît de -5 jusqu'à un maximum en x = -2,5, décroît jusqu'à un minimum en x = 2, puis croît jusqu'à x = 3.
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