Épreuve anticipée spé maths — Sujet zéro n° 1

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques

Partie 1 — Automatismes — 6 points

1. L'inverse du double de $5$ est égal à :

   1. $\dfrac{2}{5}$
   2. $\dfrac{1}{10}$
   3. $\dfrac{5}{2}$
   4. $10$

2. On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}$. Lorsque $a = \dfrac{1}{2}$, $b = 3$, $c = 4$, $d = -\dfrac{1}{4}$, la valeur de $F$ est égale à :

   1. $-\dfrac{5}{2}$
   2. $-\dfrac{3}{2}$
   3. $\dfrac{5}{2}$
   4. $\dfrac{3}{2}$

3. Le prix d'un article est multiplié par $0{,}975$. Cela signifie que le prix de cet article a connu :

   1. une baisse de $2{,}5\,\%$
   2. une augmentation de $97{,}5\,\%$
   3. une baisse de $25\,\%$
   4. une augmentation de $0{,}975\,\%$

4. Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$. À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que :

   1. $P_1 = P$
   2. $P_1 > P$
   3. $P_1 < P$
   4. Cela dépend de $P$

5. On lance un dé à $4$ faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :

   Face numéro 1	Face numéro 2	Face numéro 3	Face numéro 4
   $0{,}5$	$\dfrac{1}{6}$	$0{,}2$	$x$

   On peut affirmer que :

   1. $x = \dfrac{2}{15}$
   2. $x = \dfrac{2}{3}$
   3. $x = 0{,}4$
   4. $x = 0{,}1$

6. On considère $x$, $y$, $u$ des réels non nuls tels que $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{u}$. On peut affirmer que :

   1. $u = \dfrac{xy}{x+y}$
   2. $u = \dfrac{x+y}{xy}$
   3. $u = xy$
   4. $u = x+y$

7. On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^2$. On note $(\mathcal{I})$ l'inéquation, sur $\mathbb{R}$, $x^2 \geqslant 10$. L'inéquation $(\mathcal{I})$ est équivalente à :

   
   1. $-\sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$
   2. $x \leqslant -\sqrt{10}$ ou $x \geqslant \sqrt{10}$
   3. $x \geqslant \sqrt{10}$
   4. $x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$

8. On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé. Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est :

   
   1. $y = -\dfrac{3}{2}x + 2$
   2. $y = \dfrac{2}{3}x + 2$
   3. $2x - 3y - 6 = 0$
   4. $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$

9. On considère trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :
   $f_1 : x \longmapsto x^2 - (1-x)^2$ $f_2 : x \longmapsto \dfrac{x}{2} - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $f_3 : x \longmapsto \dfrac{5 - \dfrac{2}{3}x}{0{,}7}$
   Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont :

   1. aucune
   2. toutes
   3. uniquement la fonction $f_1$
   4. uniquement les fonctions $f_2$ et $f_3$

10. On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$. Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$. Laquelle ?

    
    1. $x \longmapsto x^2 - 10$
    2. $x \longmapsto -x^2 - 10$
    3. $x \longmapsto -x^2 + 10$
    4. $x \longmapsto -x^2 + 10x$

11. On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$. Les points $A$, $B$, $R$ et $S$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. Leurs abscisses sont notées respectivement $x_A$, $x_B$, $x_R$ et $x_S$. L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :

    
    1. $x_A$ et $x_B$
    2. $x_A$ et $x_R$
    3. $x_A$ et $x_S$
    4. $x_A$, $x_B$ et $x_S$

12. Voici une série de notes avec les coefficients associés.

    Note	$10$	$8$	$16$
    Coefficient	$1$	$2$	$x$

    On note $m$ la moyenne de cette série. Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ?

    1. impossible
    2. $x = 10^{-3}$
    3. $x = 3$
    4. $x = 19$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1

On dispose des données suivantes :

• Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté $4$ ;
• On a $A(4~;~0)$, $B(4~;~4)$, $C(0~;~4)$, $I(4~;~3)$ ;
• Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$ ;
• On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D(2~;~2)$ et de rayon $0{,}5$.

1. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OC}$.
   2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$.
2. 1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
   2. Calculer la longueur $OI$.
   3. En déduire que $OH = 2{,}4$.
3. 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.
   2. Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est :
      $$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7{,}75 = 0.$$
   3. Le point $M(1{,}5~;~2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.

Exercice 2

1. On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^2 - 5x + 4$. On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.

   1. Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.

   2. On considère un entier naturel $n$ quelconque. On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$. On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(A_n A_{n+1})$.

      Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$.

   3. Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?

2. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0{,}5~;~8]$ par
   $$f(x) = x - 5 + \dfrac{4}{x}.$$
   On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

   1. Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0{,}5~;~8]$ on a $f(x) = \dfrac{g(x)}{x}$.
   2. À l'aide de la question 1.a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
   3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0{,}5~;~8]$. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0{,}5~;~8]$ on a :
      $$f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$
   4. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0{,}5~;~8]$.
   5. Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2.b et 2.d.