Épreuve anticipée spé maths — Métropole — 12 juin 2026

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques

Voie générale — enseignement de spécialité
Métropole — 12 juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

La forme développée de l'expression $\left(3x - 2\right)^2$ est :
1. $9x^2 - 4$
2. $3x^2 - 12x + 4$
3. $9x^2 - 12x + 4$
4. $6x - 4$
Dans le repère $\left(\text{O}\,;\,\text{I}\,,\,\text{J}\right)$ ci-dessous, la droite $\left(\Delta\right)$ a pour équation :
1. $y = 2x + 2$
2. $y = -2x + 2$
3. $y = -x + 2$
4. $y = x + 2$
Dans une classe de première, $75\,\%$ des élèves étudient le grec. Les autres élèves étudient le latin : ils sont $9$. Le nombre d'élèves de cette classe de première est égal à :
1. $24$
2. $30$
3. $34$
4. $36$
Le prix d'un article augmente de $15\,\%$. Cela signifie que le prix de cet article a été multiplié par :
1. $\dfrac{15}{100}$
2. $1{,}15$
3. $0{,}85$
4. $1{,}115$
Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\dfrac{150\,000}{3\,200}$ est :
1. $5$
2. $50$
3. $500$
4. $5\,000$
Une vidéo, d'une durée de $1$ minute et $40$ secondes, contient $2\,400$ images. Le nombre d'images par seconde est égal à :
1. $60$ images/seconde
2. $24$ images/seconde
3. $120$ images/seconde
4. $15$ images/seconde
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 0{,}5(x - 3)^2 + 10$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe $\mathcal{C}$. Lequel ?
1. $A(-3\,;\,10)$
2. $B(3\,;\,10{,}5)$
3. $C(3\,;\,10)$
4. $D(0\,;\,19{,}5)$
On considère le nombre $A = \dfrac{10^{201} \times 10^{-4}}{\left(10^2\right)^{100}}$. On peut affirmer que :
1. $A = -0{,}001$
2. $A = 0{,}0001$
3. $A = 0{,}001$
4. $A = 1\,000$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 5 points

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes.

$60\,\%$ des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, $25\,\%$ ont pris une assurance.
$20\,\%$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance.

On choisit un client au hasard et on note les évènements :
$T$ : « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;
$A$ : « le client a pris une assurance ».

Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'évènement $A$.
Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$.
En déduire que la probabilité $P\left(\overline{T} \cap A\right)$ est égale à $0{,}05$.
Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

Exercice 2 — 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.

On considère un réel $u$. On considère sur $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$ : $x^2 + x - u^2 = 0$.
Affirmation : Quelle que soit la valeur du réel $u$, l'équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2^{-n}$.
Affirmation : La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - 1$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. On note $A$ le point de coordonnées $(3\,;\,3)$.
Affirmation : le point $A$ appartient à la tangente $T$.

Exercice 3 — 4 points

Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points $P(4\,;\,0)$ et $K(1\,;\,0)$. On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x\,;\,3)$.

Repère orthonormé. Sur l'axe des abscisses, le point K a pour abscisse 1 et le point P a pour abscisse 4. Le point M, d'ordonnée 3, est placé au-dessus, à l'abscisse 2,3 sur la figure.

Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.
Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.
Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM}$ est égal à $3x - 3$.
Montrer que si l'angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac{\pi}{3}$, alors le réel $x$ est solution de l'équation $(E)$ : $\sqrt{(x - 1)^2 + 9} = 2x - 2$.
Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E)$.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

Réponse c. $\left(3x - 2\right)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Réponse c. La droite $\left(\Delta\right)$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;\,2)$ (ordonnée à l'origine $2$) et l'axe des abscisses en $(2\,;\,0)$. Son coefficient directeur vaut $\dfrac{0 - 2}{2 - 0} = -1$ : son équation est $y = -x + 2$.
Réponse d. Les élèves de latin représentent $100\,\% - 75\,\% = 25\,\%$ de la classe, soit $9$ élèves. L'effectif total vaut donc $\dfrac{9}{0{,}25} = 36$ élèves.
Réponse b. Une augmentation de $15\,\%$ revient à multiplier par $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$.
Réponse b. $\dfrac{150\,000}{3\,200} \approx 46{,}9$, dont la valeur la plus proche parmi les propositions est $50$.
Réponse b. La durée est $1$ min $40$ s $= 100$ s. Le nombre d'images par seconde vaut $\dfrac{2\,400}{100} = 24$ images/seconde.
Réponse c. On teste $x = 3$ : $f(3) = 0{,}5 \times (3 - 3)^2 + 10 = 0{,}5 \times 0 + 10 = 10$. Le point $C(3\,;\,10)$ appartient donc à $\mathcal{C}$.
Réponse c. $A = \dfrac{10^{201} \times 10^{-4}}{\left(10^2\right)^{100}} = \dfrac{10^{201 - 4}}{10^{200}} = \dfrac{10^{197}}{10^{200}} = 10^{197 - 200} = 10^{-3} = 0{,}001$.

Partie 2

Exercice 1

On peut renseigner directement les probabilités lisibles dans l'énoncé : $P(T) = 0{,}6$ et $P\left(\overline{T}\right) = 0{,}4$ pour les deux premières branches ; et, comme $25\,\%$ des clients ayant loué une bicyclette traditionnelle ont pris une assurance, $P_T(A) = 0{,}25$ et $P_T\left(\overline{A}\right) = 0{,}75$ pour les deux branches du haut. Les probabilités issues de $\overline{T}$ ne se lisent pas dans l'énoncé : on les laisse vides car elles seront déterminées dans les questions suivantes.
L'énoncé indique que $20\,\%$ de l'ensemble des clients ont pris une assurance, donc $P(A) = 0{,}20$.
$P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15$.
D'après la formule des probabilités totales, $P(A) = P(T \cap A) + P\left(\overline{T} \cap A\right)$, donc $P\left(\overline{T} \cap A\right) = P(A) - P(T \cap A) = 0{,}20 - 0{,}15 = 0{,}05$.
La probabilité cherchée est $P_{\overline{T}}(A) = \dfrac{P\left(\overline{T} \cap A\right)}{P\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0{,}05}{0{,}4} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}$.

Exercice 2

Affirmation vraie. Le discriminant de $x^2 + x - u^2 = 0$ est $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times \left(-u^2\right) = 1 + 4u^2$. Comme $4u^2 \geqslant 0$, on a $\Delta \geqslant 1 > 0$ quelle que soit la valeur de $u$ : l'équation possède donc toujours deux solutions réelles distinctes.
Affirmation vraie. Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{-n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$. La suite est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ (et de premier terme $u_0 = 1$).
Affirmation vraie. On a $f(x) = \text{e}^x - 1$, donc $f(0) = \text{e}^0 - 1 = 0$ et $f'(x) = \text{e}^x$, d'où $f'(0) = 1$. La tangente $T$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0) = x$. Pour le point $A(3\,;\,3)$ : $y = 3$ et $x = 3$, donc $A$ vérifie $y = x$ : il appartient bien à $T$.

Exercice 3

$\overrightarrow{KP}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$, donc $KP = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
$\overrightarrow{KM}\begin{pmatrix} x - 1 \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, donc $KM = \sqrt{(x - 1)^2 + 3^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 9}$.
$\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = 3 \times (x - 1) + 0 \times 3 = 3(x - 1) = 3x - 3$.
Le produit scalaire s'écrit aussi $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = KP \times KM \times \cos\widehat{PKM}$. Si $\widehat{PKM} = \dfrac{\pi}{3}$, alors $\cos\widehat{PKM} = \dfrac{1}{2}$, d'où $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = 3 \times \sqrt{(x - 1)^2 + 9} \times \dfrac{1}{2}$. En égalant aux deux expressions du produit scalaire : $3x - 3 = \dfrac{3}{2}\sqrt{(x - 1)^2 + 9}$. En divisant par $3$ puis en multipliant par $2$ : $2(x - 1) = \sqrt{(x - 1)^2 + 9}$, soit $\sqrt{(x - 1)^2 + 9} = 2x - 2$. C'est bien l'équation $(E)$.
Pour $x = 1 + \sqrt{3}$ : d'une part $(x - 1)^2 + 9 = \left(\sqrt{3}\right)^2 + 9 = 3 + 9 = 12$, donc $\sqrt{(x - 1)^2 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. D'autre part $2x - 2 = 2\left(1 + \sqrt{3}\right) - 2 = 2\sqrt{3}$. Les deux membres sont égaux : $1 + \sqrt{3}$ est bien solution de $(E)$.