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Épreuve anticipée · spé

Épreuve anticipée spé maths — Centres Étrangers — 8 juin 2026

Centres Étrangers
Session 8 juin 2026
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement de spécialité
Centres Étrangers — 8 juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

  1. Soient $A$ et $B$ deux évènements. On donne l'arbre de probabilités ci-dessous.

    Arbre de probabilités à deux niveaux : depuis la racine, branche A de probabilité 0,4 et branche A barre de probabilité 0,6 ; la branche A se subdivise en B (0,2) et B barre (0,8) ; la branche A barre se subdivise en B (0,7) et B barre (0,3).

    On peut alors affirmer que $P\left(\overline{A} \cap B\right)$ est égale à :

    1. $1{,}3$
    2. $0{,}42$
    3. $0{,}7$
    4. $0{,}18$

  2. Dans un lycée, $150$ élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente $\dfrac{3}{5}$ de l'ensemble des élèves de première générale. Le nombre d'élèves en première générale dans ce lycée est :

    1. $90$
    2. $200$
    3. $250$
    4. $300$

  3. On considère les nombres $A = \dfrac{1}{3}$ et $B = \dfrac{5}{6}$. Le nombre $\dfrac{A}{B} + 1$ est égal à :

    1. $\dfrac{7}{5}$
    2. $\dfrac{3}{5}$
    3. $\dfrac{23}{18}$
    4. $\dfrac{7}{3}$

  4. Dans un repère orthonormé $\left(\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\right)$, la droite $d$ d'équation réduite $y = \dfrac{1}{3}x + 1$ est représentée par :

    1. Repère orthonormé avec une droite bleue passant par l'origine décalée, de coefficient directeur 1 et d'ordonnée à l'origine 3.
    2. Repère orthonormé avec une droite bleue de coefficient directeur 3 et d'ordonnée à l'origine 1.
    3. Repère orthonormé avec une droite bleue de coefficient directeur un tiers et d'ordonnée à l'origine 1.
    4. Repère orthonormé avec une droite bleue de coefficient directeur 2 et d'ordonnée à l'origine 1.

  5. La forme développée de $\left(x^3 - 1\right)^2$ est :

    1. $x^6 - 1$
    2. $x^6 - 2x^3 + 1$
    3. $x^5 - 2x^3 + 1$
    4. $x^6 + 2x^3 - 1$

  6. L'évolution globale correspondant à une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $50\,\%$ est une baisse de :

    1. $10\,\%$
    2. $30\,\%$
    3. $40\,\%$
    4. $60\,\%$

  7. Ce tableau donne les résultats partiels d'un sondage dans une classe de première comptant $25$ élèves :

      16 ans ou moins Plus de 16 ans
    Suivent la spécialité Mathématiques $8$  
    Ne suivent pas la spécialité Mathématiques $7$ $4$

    On interroge un élève de cette classe au hasard. La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu'il est âgé de plus de $16$ ans est :

    1. $\dfrac{3}{7}$
    2. $\dfrac{6}{25}$
    3. $6$
    4. $\dfrac{3}{5}$

  8. Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $x = \dfrac{5}{2+y}$. On peut affirmer que :

    1. $y = \dfrac{10}{2x - 5}$
    2. $y = \dfrac{5}{2+x}$
    3. $y = 5 - 2x$
    4. $y = \dfrac{5}{x} - 2$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 5 points


Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d'ombrage et de résistance à la sécheresse.

Partie A


Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure $1$ mètre. On suppose que, chaque année, la hauteur de l'arbre augmente de $40$ cm. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0 = 1$.
    1. Calculer $u_1$.
    2. Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  4. Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il $9$ mètres de haut ?

Partie B


Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe $4$ nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe $8$ nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double, comme représenté sur le schéma ci-dessous :
Schéma de croissance d'un arbre sur trois années : à l'année 0 un tronc et deux branches ; à l'année 1 quatre nouvelles branches apparaissent au bout des deux premières ; à l'année 2 huit nouvelles branches s'ajoutent encore, le nombre de nouvelles branches doublant chaque année.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède $2$ branches, ainsi on pose $v_0 = 2$.

  1. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? Justifier.
    1. Un an après la plantation, l'arbre a produit $4$ nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à $6$. Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à $30$.

    2. On donne le programme ci-dessous écrit en langage Python. Rappel : [code lang="python" inline]for i in range(n)[/code] permet de répéter $n$ fois un ensemble d'instructions.

      v = 2
total = 2
for i in range(10):
    v = 2 * v
    total = total + v
print(total)

      La valeur affichée par ce programme est $4\,094$. Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ?

Exercice 2 — 3 points


On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-1\,;\,5)$, $B(3\,;\,5)$ et $C(4\,;\,0)$.
    1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
    2. En déduire la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
    1. Montrer que $AC = 5\sqrt{2}$.

    On admet que $AB = 4$.

    1. Écrire l'expression permettant de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de l'angle $\widehat{BAC}$.
    2. En déduire une mesure, en radian, de l'angle $\widehat{BAC}$.

Remarque

Aide aux calculs : $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Exercice 3 — 6 points


Soit $f$ une fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$. On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(1\,;\,20)$. La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3\,;\,10)$.
Courbe représentative de f sur l'intervalle 0 exclu à plus l'infini, décroissante puis croissante avec un minimum vers x = 1,5, passant par le point A(1 ; 20). La droite T_A, tangente en A, est tracée en rouge et passe par les points A(1 ; 20) et B(3 ; 10) : elle est décroissante.
    1. Donner $f(1)$.
    2. Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    3. Justifier que l'équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $y = -5x + 25$.

Pour la suite de l'exercice, la fonction $f$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x^2 + 7x + 9}{x}$. On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

    1. Démontrer que, pour tout $x \in \,]0\,;\,+\infty[$, on a $f'(x) = \dfrac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}$.
    2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
    3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
  2. Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}_f$ parallèle à la droite d'équation $y = 3x + 5$ ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse b. D'après la formule des probabilités composées le long de la branche $\overline{A}$ puis $B$ : $P\left(\overline{A} \cap B\right) = P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42$.
  2. Réponse c. Si $N$ est le nombre total d'élèves, alors $\dfrac{3}{5} N = 150$, d'où $N = 150 \times \dfrac{5}{3} = 250$.
  3. Réponse a. $\dfrac{A}{B} = \dfrac{1/3}{5/6} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$, donc $\dfrac{A}{B} + 1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{7}{5}$.
  4. Réponse c. La droite $d$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{3}$ (faible pente positive) et pour ordonnée à l'origine $1$ : elle passe par $(0\,;\,1)$ et « monte » de $1$ quand $x$ augmente de $3$. Seul le graphique c convient.
  5. Réponse b. $\left(x^3 - 1\right)^2 = \left(x^3\right)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 = x^6 - 2x^3 + 1$.
  6. Réponse c. Une hausse de $20\,\%$ revient à multiplier par $1{,}2$ et une baisse de $50\,\%$ à multiplier par $0{,}5$. Le coefficient global vaut $1{,}2 \times 0{,}5 = 0{,}6$, soit une baisse de $40\,\%$.
  7. Réponse d. La classe compte $25$ élèves : le nombre d'élèves qui suivent la spécialité et ont plus de $16$ ans vaut $25 - 8 - 7 - 4 = 6$. Parmi les élèves de plus de $16$ ans (au nombre de $6 + 4 = 10$), $6$ suivent la spécialité. Donc la probabilité cherchée est $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
  8. Réponse d. De $x = \dfrac{5}{2+y}$ on tire $x(2+y) = 5$, donc $2 + y = \dfrac{5}{x}$ (car $x > 0$), d'où $y = \dfrac{5}{x} - 2$.

Partie 2

Exercice 1


Partie A. Chaque année, la hauteur augmente de $40$ cm $= 0{,}4$ m, avec $u_0 = 1$.
    1. $u_1 = u_0 + 0{,}4 = 1 + 0{,}4 = 1{,}4$. L'arbre mesure $1{,}4$ m un an après la plantation.
    2. $u_2 = u_1 + 0{,}4 = 1{,}4 + 0{,}4 = 1{,}8$. Deux ans après la plantation, l'arbre mesure $1{,}8$ m.
  2. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $0{,}4$ : $u_{n+1} = u_n + 0{,}4$. La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r = 0{,}4$ et de premier terme $u_0 = 1$.
  3. Pour une suite arithmétique : $u_n = u_0 + n\,r = 1 + 0{,}4\,n$.
  4. On cherche $n$ tel que $u_n = 9$, soit $1 + 0{,}4\,n = 9$, d'où $0{,}4\,n = 8$ et $n = \dfrac{8}{0{,}4} = 20$. Le mûrier atteindra $9$ mètres de haut $20$ ans après sa plantation.

Partie B. Le nombre de nouvelles branches double chaque année, avec $v_0 = 2$.

  1. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $2$ : $v_{n+1} = 2\,v_n$. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 2$.
    1. On a $v_0 = 2$, $v_1 = 4$, $v_2 = 2 \times 4 = 8$ et $v_3 = 2 \times 8 = 16$. Le nombre total de branches trois ans après la plantation est la somme des nouvelles branches apparues chaque année : $v_0 + v_1 + v_2 + v_3 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30$.
    2. À chaque tour de boucle, v est doublé (nombre de nouvelles branches de l'année) et total cumule le nombre total de branches. Après les $10$ tours de boucle, total $= v_0 + v_1 + \dots + v_{10} = 2 + 4 + 8 + \dots + 2\,048 = 4\,094$. La valeur $4\,094$ représente le nombre total de branches de l'arbre $10$ ans après la plantation.

Exercice 2

    1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4-(-1) \\ 0-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$.
    2. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 5 + 0 \times (-5) = 20$.
    3. $AC = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$.
    4. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} = 4 \times 5\sqrt{2} \times \cos\widehat{BAC} = 20\sqrt{2}\,\cos\widehat{BAC}$. En égalant les deux expressions : $20\sqrt{2}\,\cos\widehat{BAC} = 20$, donc $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{20}{20\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Or $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc une mesure de l'angle est $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{4}$ radian.

Exercice 3

    1. Le point $A(1\,;\,20)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, donc $f(1) = 20$.
    2. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$. Cette droite passe par $A(1\,;\,20)$ et $B(3\,;\,10)$, donc $f'(1) = \dfrac{10 - 20}{3 - 1} = \dfrac{-10}{2} = -5$.
    3. L'équation réduite de la tangente en $A$ est $y = f'(1)(x - 1) + f(1) = -5(x - 1) + 20 = -5x + 5 + 20 = -5x + 25$.

Pour la suite, $f(x) = \dfrac{4x^2 + 7x + 9}{x} = 4x + 7 + \dfrac{9}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
[list type="numbered-list" start="2"]
2.

  1. En dérivant $f(x) = 4x + 7 + 9x^{-1}$ : $f'(x) = 4 + 9 \times (-1) x^{-2} = 4 - \dfrac{9}{x^2} = \dfrac{4x^2 - 9}{x^2} = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2}$.
  2. Pour tout $x \in \,]0\,;\,+\infty[$ : $x^2 > 0$ et $2x + 3 > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x - 3$, qui s'annule en $x = \dfrac{3}{2}$ : $f'(x) < 0$ sur $\left]0\,;\,\dfrac{3}{2}\right[$, $f'\!\left(\dfrac{3}{2}\right) = 0$ et $f'(x) > 0$ sur $\left]\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$.

  3. La fonction $f$ est donc décroissante sur $\left]0\,;\,\dfrac{3}{2}\right]$ puis croissante sur $\left[\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$. Elle admet un minimum en $x = \dfrac{3}{2}$ valant $f\!\left(\dfrac{3}{2}\right) = 4 \times \dfrac{3}{2} + 7 + \dfrac{9}{3/2} = 6 + 7 + 6 = 19$.

    Tableau de variations de f sur 0 exclu à plus l'infini : f prime négative avant trois demis, nulle en trois demis, positive après ; f décroissante puis croissante avec un minimum égal à 19 en x égal trois demis.
  4. Une tangente parallèle à la droite d'équation $y = 3x + 5$ a pour coefficient directeur $3$. On cherche donc $x \in \,]0\,;\,+\infty[$ tel que $f'(x) = 3$, soit $\dfrac{4x^2 - 9}{x^2} = 3$, c'est-à-dire $4x^2 - 9 = 3x^2$, d'où $x^2 = 9$ et $x = 3$ (car $x > 0$). Une telle tangente existe : elle touche $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$, où $f(3) = 4 \times 3 + 7 + \dfrac{9}{3} = 12 + 7 + 3 = 22$, soit le point de coordonnées $(3\,;\,22)$.
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