Épreuve anticipée spé maths — Antilles-Guyane — 12 juin 2026

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques

Voie générale — enseignement de spécialité
Antilles-Guyane — 12 juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Une forme factorisée de l'expression $9x^2 - \dfrac{1}{9}$ est :
1. $\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)^2$
2. $\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)$
3. $\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)^2$
4. $\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)\left(9x + \dfrac{1}{3}\right)$
On considère la relation $E = \dfrac{x - y}{zt}$. Lorsque $x = 3$, $y = -2$, $z = -3$ et $t = -4$, on a :
1. $E = \dfrac{1}{12}$
2. $E = -\dfrac{5}{12}$
3. $E = \dfrac{5}{12}$
4. $E = -\dfrac{1}{12}$
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,9]$. On a représenté ci-dessous sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On note $A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}$. Laquelle de ces propositions est vraie ?
1. $A = 0$
2. $A < 0$
3. $A > 0$
4. On ne peut pas connaître le signe de $A$.
On considère l'inéquation sur $\mathbb{R}$ : $(I)\quad -2x + 2 \geqslant 0$. On note $S$ l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I)$. On peut affirmer que :
1. $S = \left]-\infty\,;\,1\right]$
2. $S = \left[1\,;\,+\infty\right[$
3. $S = \left[-1\,;\,+\infty\right[$
4. $S = \left]-\infty\,;\,-1\right]$
On considère ci-dessous le tableau de signes d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Une expression possible de $f(x)$ est :
1. $f(x) = (x + 3)(2 - x)$
2. $f(x) = (x + 2)(x - 3)$
3. $f(x) = (x - 2)(x + 3)$
4. $f(x) = (x + 2)(3 + x)$
Le prix d'un article baisse de $50\,\%$ puis augmente de $40\,\%$. Ces deux variations sont équivalentes à :
1. une baisse de $0\,\%$
2. une baisse de $70\,\%$
3. une baisse de $10\,\%$
4. une baisse de $30\,\%$
On s'intéresse aux adhérents d'une association. On sait que $40\,\%$ d'entre eux sont des hommes et qu'il y a $30$ femmes. Le nombre total d'adhérents de cette association est égal à :
1. $70$
2. $40$
3. $75$
4. $50$
On considère un réel $a$ quelconque, différent de $0$. Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?
1. $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^3$
2. $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{15}$
3. $\left(a^{10}\right)^3 = a^{13}$
4. $\dfrac{a \times a^5}{a^2} = a^4$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 5 points

On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.
En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à $10\,000$ euros.
On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année $2025 + n$.
On a donc $u_0 = 10\,000$.

1. Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.
2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$.
En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$.
2. En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030. On pourra s'aider de l'aide au calcul suivante : $0{,}9^4 = 0{,}6561$ ; $0{,}9^5 = 0{,}59049$ ; $0{,}9^6 = 0{,}531441$.
On considère le programme Python ci-dessous. Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < A$, où $A$ est un nombre réel strictement positif.
```
def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while ......... :
        U = .......
        N = N+1
    return N
```
L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$, donne les résultats suivants :
```
>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16
```
1. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel seuil(5000).
2. Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Exercice 2 — 5 points

On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.
On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins.
On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.
Une étude a permis d'établir les résultats suivants :

$60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ;
parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ;
parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes.

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

$A$ : « le spectateur est abonné » ;
$J$ : « le spectateur est jeune ».

Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
Calculer la probabilité $P(A \cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que $P(J) = 0{,}32$.
On considère l'affirmation suivante : « Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
- un spectateur non abonné paie sa place $5$ euros, quel que soit son âge ;
- un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place $2$ euros ;
- un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 3 — 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Les deux questions sont indépendantes.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points $A(2\,;\,0)$, $B(3\,;\,2)$ et $C(0\,;\,4)$.
Affirmation : Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 1)\text{e}^{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
1. Affirmation : la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
2. Affirmation : La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = 2x - 1$.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

Réponse b. On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2 - \dfrac{1}{9} = (3x)^2 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)$.
Réponse c. On a $x - y = 3 - (-2) = 5$ et $zt = (-3) \times (-4) = 12$, donc $E = \dfrac{5}{12}$.
Réponse b. La courbe donne $f(-1) = -2$, qui est négatif, alors que $f(-4)$ est positif (entre $x = -5$ et $x = -3$ la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses). Le quotient $A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}$ est donc le rapport d'un nombre positif par un nombre négatif : $A < 0$.
Réponse a. $-2x + 2 \geqslant 0 \iff -2x \geqslant -2 \iff x \leqslant 1$, donc $S = \left]-\infty\,;\,1\right]$.
Réponse c. Une expression dont le tableau de signes correspond doit s'annuler en $-3$ et en $2$ et être positive « à l'extérieur » de ces racines. C'est le cas de $f(x) = (x - 2)(x + 3)$, dont le coefficient dominant est positif (parabole tournée vers le haut, donc positive en dehors des racines $-3$ et $2$).
Réponse d. Baisser de $50\,\%$ revient à multiplier par $0{,}5$, augmenter de $40\,\%$ à multiplier par $1{,}4$. Au total, le prix est multiplié par $0{,}5 \times 1{,}4 = 0{,}7$, ce qui correspond à une baisse de $30\,\%$.
Réponse d. Si $40\,\%$ des adhérents sont des hommes, alors $60\,\%$ sont des femmes, soit $30$ personnes. L'effectif total vaut donc $\dfrac{30}{0{,}6} = 50$ adhérents.
Réponse d. $\dfrac{a \times a^5}{a^2} = \dfrac{a^6}{a^2} = a^{6 - 2} = a^4$. Les autres égalités sont fausses : $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^{13}$, $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{28}$ et $\left(a^{10}\right)^3 = a^{30}$.

Partie 2

Exercice 1

1. Diminuer de $10\,\%$ revient à multiplier par $0{,}9$. En janvier 2026, la valeur est $u_1 = 10\,000 \times 0{,}9 = 9\,000$ euros.
2. Chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par $1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$. On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$.
La relation $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$ montre que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}9$ (et de premier terme $u_0 = 10\,000$).
1. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, on a $u_n = u_0 \times q^n$, soit $u_n = 10\,000 \times 0{,}9^n$.
2. Janvier 2030 correspond à l'année $2025 + 5$, donc à $n = 5$. On a $u_5 = 10\,000 \times 0{,}9^5 = 10\,000 \times 0{,}59049 = 5\,904{,}9$. La voiture vaut donc environ $5\,904{,}90$ euros en janvier 2030.
La boucle doit se poursuivre tant que la valeur $U$ reste supérieure ou égale au seuil $A$, et à chaque étape la valeur est multipliée par $0{,}9$ :
```
def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while U >= A :
        U = 0.9*U
        N = N+1
    return N
```
1. L'appel seuil(5000) renvoie $7$ : cela signifie que $n = 7$ est le plus petit entier tel que $u_n < 5\,000$. Autrement dit, c'est en janvier $2025 + 7 = 2032$ que la valeur de la voiture devient pour la première fois inférieure à $5\,000$ euros, soit la moitié de sa valeur initiale.
2. La voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale lorsque sa valeur deviendra inférieure au quart de $10\,000$ euros, c'est-à-dire inférieure à $2\,500$ euros. On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 2\,500$ : c'est l'appel seuil(2500), qui renvoie $14$. Cela correspond à l'année $2025 + 14 = 2039$. C'est donc à partir de janvier 2039 que la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Exercice 2

On traduit l'énoncé : $P(A) = 0{,}6$ et $P\left(\overline{A}\right) = 0{,}4$ ; parmi les abonnés, $40\,\%$ sont jeunes donc $P_A(J) = 0{,}4$ et $P_A\left(\overline{J}\right) = 0{,}6$ ; parmi les non-abonnés, $20\,\%$ sont jeunes donc $P_{\overline{A}}(J) = 0{,}2$ et $P_{\overline{A}}\left(\overline{J}\right) = 0{,}8$.
$P(A \cap J) = P(A) \times P_A(J) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$. Cela signifie que $24\,\%$ des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.
Les événements $A$ et $\overline{A}$ formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne $P(J) = P(A \cap J) + P\left(\overline{A} \cap J\right) = 0{,}24 + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(J) = 0{,}24 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}08 = 0{,}32$.
La probabilité qu'un spectateur jeune soit abonné est $P_J(A) = \dfrac{P(A \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0{,}24}{0{,}32} = 0{,}75$. Comme $0{,}75 > 0{,}5$, il y a bien plus d'une chance sur deux qu'un spectateur jeune soit abonné : l'affirmation est exacte.
La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $2$ et $5$ (en euros). Un spectateur non abonné paie $5$ euros : $P(X = 5) = P\left(\overline{A}\right) = 0{,}4$. Un spectateur abonné et non jeune paie $2$ euros : $P(X = 2) = P\left(A \cap \overline{J}\right) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$. Un spectateur abonné et jeune ne paie rien : $P(X = 0) = P(A \cap J) = 0{,}24$.

a. La loi de probabilité de $X$ est donc :

$x_i$ $0$ $2$ $5$

$P(X = x_i)$ $0{,}24$ $0{,}36$ $0{,}4$

b. $E(X) = 0 \times 0{,}24 + 2 \times 0{,}36 + 5 \times 0{,}4 = 0 + 0{,}72 + 2 = 2{,}72$. En moyenne, un spectateur paie donc $2{,}72$ euros sa place de cinéma.

Exercice 3

Affirmation fausse. On calcule les coordonnées des deux vecteurs : $\overrightarrow{AB}\,(3 - 2\,;\,2 - 0)$, soit $\overrightarrow{AB}\,(1\,;\,2)$, et $\overrightarrow{AC}\,(0 - 2\,;\,4 - 0)$, soit $\overrightarrow{AC}\,(-2\,;\,4)$. Leur produit scalaire vaut $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6$. Ce produit scalaire n'est pas nul, donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires.
1. Affirmation fausse. La fonction $f$ est un produit ; sa dérivée est $f'(x) = 3 \times \text{e}^{x} + (3x - 1) \times \text{e}^{x} = (3x + 2)\,\text{e}^{x}$. Comme $\text{e}^{x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3x + 2$, qui est négatif pour $x < -\dfrac{2}{3}$. La fonction $f$ n'est donc pas croissante sur $\mathbb{R}$ : elle est d'abord décroissante, puis croissante.
2. Affirmation vraie. La tangente au point d'abscisse $0$ a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$. Or $f(0) = (3 \times 0 - 1)\,\text{e}^{0} = -1$ et $f'(0) = (3 \times 0 + 2)\,\text{e}^{0} = 2$. L'équation de la tangente est donc $y = 2x - 1$, ce qui correspond bien à l'affirmation.

$x_i$	$0$	$2$	$5$
$P(X = x_i)$	$0{,}24$	$0{,}36$	$0{,}4$