Épreuve anticipée spé maths — Amérique du Nord — 1er juin 2026

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques

Voie générale — enseignement de spécialité
Amérique du Nord — 1er juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

Le nombre $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times 4$ est égal à :
1. $8$
2. $\dfrac{13}{2}$
3. $4$
4. $\dfrac{16}{8}$
Le volume de la partie visible d'un iceberg est d'environ $10\,\%$ de son volume total. Si la partie visible d'un iceberg est de $150 \text{ km}^3$, quel sera le volume total de cet iceberg ?
1. $1350 \text{ km}^3$
2. $1500 \text{ km}^3$
3. $15 \text{ km}^3$
4. $135 \text{ km}^3$
Le prix d'un article est multiplié par $0{,}845$. Cela signifie que le prix de cet article a :
1. augmenté de $84{,}5\,\%$
2. baissé de $1{,}55\,\%$
3. augmenté de $15{,}5\,\%$
4. baissé de $15{,}5\,\%$
On considère la fonction $A$ définie pour tout réel $x$ par $A(x) = (x+5)(x+8)$. Le tableau de signes de $A(x)$ sur $\mathbb{R}$ est :
Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l'alphabet. On note les évènements $V$ : « le singe choisit une voyelle » et $M$ : « le singe choisit une des lettres du mot SINGE ». Rappel : l'alphabet compte $26$ lettres, dont les voyelles A, E, I, O, U, Y. On note $P_M(V)$ la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu'il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut affirmer que $P_M(V)$ vaut :
1. $\dfrac{6}{26}$
2. $\dfrac{2}{5}$
3. $\dfrac{2}{6}$
4. $\dfrac{5}{6}$
Soit $f$ une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-dessous. Une expression algébrique de $f$ est :
1. $f(x) = -x + 30$
2. $f(x) = 30x + 3$
3. $f(x) = -10x + 30$
4. $f(x) = -\dfrac{1}{10}x + 30$
La forme développée et réduite de l'expression $(x+2)^2 - (1-x)^2$ vaut :
1. $2x^2 + 3$
2. $6x + 3$
3. $2x + 5$
4. $2x^2 + 2x + 3$
L'équation $2(x-4) - (2x+1) = 0$ admet :
1. deux solutions : $4$ et $\dfrac{1}{2}$
2. deux solutions : $4$ et $-\dfrac{1}{2}$
3. aucune solution
4. une infinité de solutions
On considère le nombre réel $E = \dfrac{2 \times 3^2}{27 \times 2^3}$. On peut affirmer que $E$ est égal à :
1. $\dfrac{1}{9}$
2. $\dfrac{1}{12}$
3. $12$
4. $\dfrac{1}{6}$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 6 points

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernables au toucher. Un jeu est proposé aux personnes présentes. Pour y participer, le joueur doit d'abord payer $1$ euro. Ensuite :

le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne ;
le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.

Voici les récompenses obtenues :

si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit $3$ euros ;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit $1$ euro ;
sinon, il ne reçoit pas d'argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que l'urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes. On note $R_1$ l'évènement « la première boule tirée est rouge » et $R_2$ l'évènement « la deuxième boule tirée est rouge ».

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation de $1$ euro.
1. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
2. Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{18}{100}$.
3. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :
  
  $k$
  
  $P(X = k)$
4. Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.

Partie B

Dans cette partie, l'urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10 - n$ boules vertes, où $n$ est un entier naturel avec $0 \leqslant n \leqslant 10$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

Démontrer que $E(Y) = \dfrac{4n^2 - 20n}{100}$. On expliquera la démarche mise en œuvre ; toute démarche, même incomplète, sera prise en compte.
Pour combien de boules rouges dans l'urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

Exercice 2 — 4 points

Pour réduire sa facture d'électricité, Camille a fait poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison. Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement. Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Lors d'une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l'heure par une fonction $f$ définie sur $[0~;~24]$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

Courbe de la puissance électrique en kW en fonction de l'heure de la journée (de 0 à 24 h) : quasi nulle jusque vers 6 h, croissante jusqu'à un maximum d'environ 8 kW vers 13 h, puis décroissante et de nouveau proche de 0 après 20 h.

Avec la précision permise par le graphique :

Donner la puissance électrique des panneaux solaires à $11$ h $00$.
Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 5$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Partie B

Le coût pour $1$ kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de $0{,}15$ € en $2020$. On admet que ce tarif augmente de $6\,\%$ chaque année. On note $c_n$ le coût en euros pour $1$ kWh consommé durant l'année $2020 + n$ ($n$ entier naturel). On a $c_0 = 0{,}15$.

Déterminer la nature de la suite $(c_n)$. On précisera sa raison.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
Donner le calcul permettant d'obtenir le coût pour $1$ kWh consommé en $2030$. Il n'est pas demandé d'effectuer ce calcul.
On admet que, chaque année depuis $2020$, l'utilisation des panneaux solaires a permis à Camille d'éviter l'achat de $2\,000$ kWh par an. L'installation des panneaux en janvier $2020$ a coûté $7\,000$ €. On considère le programme Python ci-dessous.
```
n = 0
c = 0.15
S = 0
while S < 7000 :
    S = S + c*2000
    n = n+1
    c = 1.06*c
print(n)
```
1. Dans le contexte de l'énoncé, que représentent les variables $c$ et $S$ du programme ?
2. On exécute le programme : il affiche $16$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Exercice 3 — 4 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (4x - 4)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 5$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = (-2x + 6)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$.
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, préciser les coordonnées exactes de ces points.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

Réponse b. La multiplication est prioritaire : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\times 4 = \dfrac{1}{2} + 6 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{12}{2} = \dfrac{13}{2}$.
Réponse b. La partie visible représente $10\,\%$ du total, donc $0{,}10 \times V = 150$, d'où $V = \dfrac{150}{0{,}10} = 1500 \text{ km}^3$.
Réponse d. Multiplier par $0{,}845 = 1 - 0{,}155$ correspond à une baisse de $15{,}5\,\%$.
Réponse c. $A(x) = (x+5)(x+8)$ s'annule en $-8$ et $-5$ ; c'est un polynôme du second degré de coefficient dominant positif, donc positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : $+\,,\,0\,,\,-\,,\,0\,,\,+$.
Réponse b. Le mot SINGE contient $5$ lettres distinctes (S, I, N, G, E), dont $2$ voyelles (I et E). Sachant que la lettre appartient à SINGE, $P_M(V) = \dfrac{2}{5}$.
Réponse c. La droite passe par $(0\,;\,30)$ (ordonnée à l'origine $30$) et par $(3\,;\,0)$. Le coefficient directeur vaut $\dfrac{0-30}{3-0} = -10$, d'où $f(x) = -10x + 30$.
Réponse b. $(x+2)^2 - (1-x)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (1 - 2x + x^2) = 6x + 3$.
Réponse c. $2(x-4) - (2x+1) = 2x - 8 - 2x - 1 = -9$. L'équation $-9 = 0$ n'a aucune solution.
Réponse b. $E = \dfrac{2 \times 3^2}{27 \times 2^3} = \dfrac{2 \times 9}{27 \times 8} = \dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}$.

Partie 2

Exercice 1

Partie A. L'urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes, avec remise. À chaque tirage, $P(R) = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ et $P(\overline{R}) = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$.

Les deux tirages sont identiques et indépendants (remise) ; chaque branche du premier niveau et du second niveau porte la probabilité $0{,}1$ pour $R$ et $0{,}9$ pour $\overline{R}$ :
1. Le joueur paie $1$ € puis reçoit : $3$ € si deux rouges (gain $3-1 = 2$), $1$ € si deux vertes (gain $1-1 = 0$), rien sinon (gain $0-1 = -1$). Donc $X$ prend les valeurs $-1$, $0$ et $2$.
2. L'évènement $(X = -1)$ correspond à « une boule de chaque couleur », soit $R_1 \cap \overline{R_2}$ ou $\overline{R_1} \cap R_2$. Par indépendance : $P(X=-1) = 0{,}1 \times 0{,}9 + 0{,}9 \times 0{,}1 = 2 \times 0{,}09 = 0{,}18 = \dfrac{18}{100}$.
3. $P(X=2) = P(R_1 \cap R_2) = 0{,}1 \times 0{,}1 = \dfrac{1}{100}$ et $P(X=0) = P(\overline{R_1} \cap \overline{R_2}) = 0{,}9 \times 0{,}9 = \dfrac{81}{100}$. La loi de probabilité de $X$ est :
  
  $k$ $-1$ $0$ $2$
  
  $P(X=k)$ $\dfrac{18}{100}$ $\dfrac{81}{100}$ $\dfrac{1}{100}$
4. $E(X) = (-1)\times \dfrac{18}{100} + 0 \times \dfrac{81}{100} + 2 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{-18 + 0 + 2}{100} = \dfrac{-16}{100} = -0{,}16$. En moyenne, le joueur perd $0{,}16$ € par partie : le jeu lui est défavorable (et favorable au forain).

Partie B. L'urne contient $n$ boules rouges et $10-n$ vertes, donc à chaque tirage $P(R) = \dfrac{n}{10}$ et $P(\overline{R}) = \dfrac{10-n}{10}$.

La variable $Y$ prend les mêmes valeurs $-1$, $0$, $2$. Par indépendance des deux tirages avec remise : $P(Y=2) = \left(\dfrac{n}{10}\right)^2 = \dfrac{n^2}{100}$, $P(Y=0) = \left(\dfrac{10-n}{10}\right)^2$ et $P(Y=-1) = 2 \times \dfrac{n}{10} \times \dfrac{10-n}{10} = \dfrac{2n(10-n)}{100}$. D'où $E(Y) = 2 \times \dfrac{n^2}{100} + 0 - 1 \times \dfrac{2n(10-n)}{100} = \dfrac{2n^2 - 2n(10-n)}{100} = \dfrac{2n^2 - 20n + 2n^2}{100} = \dfrac{4n^2 - 20n}{100}$.
Le jeu est équitable lorsque $E(Y) = 0$, c'est-à-dire $4n^2 - 20n = 0$, soit $4n(n-5) = 0$. D'où $n = 0$ ou $n = 5$. La valeur $n=0$ (aucune boule rouge) est un cas dégénéré sans intérêt pratique : le jeu est donc équitable pour $n = 5$ boules rouges dans l'urne.

Exercice 2

Partie A.

À $11$ h, la lecture graphique donne une puissance d'environ $5$ kW.
On cherche les abscisses pour lesquelles la courbe est strictement au-dessus de la droite d'équation $y = 5$. Graphiquement, $f(x) > 5$ pour $x \in \,]11\,;\,15[$ (valeurs approchées). Cela signifie que la puissance des panneaux dépasse $5$ kW entre environ $11$ h et $15$ h, autour du maximum de la journée.

Partie B.

Le tarif augmente de $6\,\%$ chaque année : on multiplie par $1{,}06$ d'une année à la suivante, donc $c_{n+1} = 1{,}06\,c_n$. La suite $(c_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}06$ et de premier terme $c_0 = 0{,}15$.
Pour une suite géométrique : $c_n = c_0 \times q^n = 0{,}15 \times 1{,}06^{\,n}$.
L'année $2030$ correspond à $n = 10$, donc le coût d'$1$ kWh est $c_{10} = 0{,}15 \times 1{,}06^{\,10}$ euros.
1. La variable $c$ représente le coût (en euros) d'$1$ kWh pour l'année en cours ($c_n$), mis à jour à chaque tour de boucle. La variable $S$ représente le montant total (en euros) économisé depuis $2020$ grâce aux panneaux, cumulé année après année.
2. La boucle s'arrête dès que les économies cumulées $S$ atteignent ou dépassent $7\,000$ €, coût de l'installation. L'affichage de $16$ signifie qu'il faut $16$ ans pour que les économies réalisées remboursent l'investissement : l'installation est rentabilisée en $2036$ (soit $2020 + 16$).

Exercice 3

On a $f(x) = (4x - 4)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 5$ sur $\mathbb{R}$.

$f$ est un produit (plus une constante). En posant $u(x) = 4x - 4$ et $v(x) = \mathrm{e}^{-0{,}5x}$, on a $u'(x) = 4$ et $v'(x) = -0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$. Alors $f'(x) = u'v + uv' = 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + (4x-4)\times(-0{,}5)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} = \mathrm{e}^{-0{,}5x}\big[4 - 0{,}5(4x-4)\big] = \mathrm{e}^{-0{,}5x}\big[4 - 2x + 2\big] = (-2x + 6)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$.
Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-0{,}5x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-2x + 6$. Or $-2x + 6 > 0 \iff x < 3$. Ainsi $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,3[$, $f'(3) = 0$ et $f'(x) < 0$ sur $]3\,;\,+\infty[$. La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty\,;\,3]$ puis décroissante sur $[3\,;\,+\infty[$, avec un maximum en $x = 3$ valant $f(3) = (12 - 4)\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5 = 8\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5$.
La tangente est horizontale aux points où $f'(x) = 0$. Or $f'(x) = 0 \iff -2x + 6 = 0 \iff x = 3$. Il existe donc un unique point à tangente horizontale, de coordonnées $\big(3\,;\,8\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5\big)$.

$k$	$-1$	$0$	$2$
$P(X=k)$	$\dfrac{18}{100}$	$\dfrac{81}{100}$	$\dfrac{1}{100}$

$k$
$P(X = k)$