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Épreuve anticipée · sans spé

Épreuve anticipée maths (sans spé) — Sujet zéro n° 3

Session Sujet 0
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Sujet zéro
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte.

  1. Donner un ordre de grandeur de $101 \times 99$ :

    1. $100$
    2. $1\,000$
    3. $10\,000$
    4. $100\,000$

  2. Un prix augmente de $20\,\%$ puis diminue de $20\,\%$. Après ces deux évolutions, on peut affirmer que :

    1. Le prix est égal à sa valeur de départ.
    2. Le prix est strictement supérieur à sa valeur de départ.
    3. Le prix est strictement inférieur à sa valeur de départ.
    4. On ne peut pas savoir : cela dépend de la valeur de départ.

  3. Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $2{,}3\,\%$ ?

    1. $1{,}23$
    2. $0{,}977$
    3. $0{,}77$
    4. $1{,}023$

  4. Dans un lycée, $50$ élèves étudient le Grec, ce qui représente $4\,\%$ du nombre d'élèves inscrits dans ce lycée. Le nombre d'élèves inscrits dans ce lycée est égal à :

    1. $2$
    2. $200$
    3. $125$
    4. $1\,250$

  5. Le volume d'un glacier diminue de $3\,\%$ chaque année. Si $V(n)$ désigne le volume du glacier pour l'année $n$, on a :

    1. $V(n+1) = V(n) - 0{,}03$
    2. $V(n+1) = 0{,}03 \times V(n)$
    3. $V(n+1) = 0{,}97 \times V(n)$
    4. $V(n+1) = V(n) - 0{,}97$

  6. Dans un repère du plan on a représenté une droite. Le coefficient directeur de cette droite est égal à :

    Droite D décroissante dans un repère orthonormé gradué de -2 à 3 en abscisses et de -4 à 4 en ordonnées. La droite coupe l'axe des ordonnées en 2 et a pour coefficient directeur -3.
    1. $-3$
    2. $-1$
    3. $2$
    4. $3$

  7. Dix stylos coûtent en tout $13$ euros. Le prix de trois stylos est égal à :

    1. $3{,}60$ euros
    2. $6{,}90$ euros
    3. $3{,}90$ euros
    4. $6{,}50$ euros

  8. Une athlète parcourt $1$ km en $5$ minutes. Quelle est sa vitesse moyenne ?

    1. $8$ km/h
    2. $10$ km/h
    3. $12$ km/h
    4. $14$ km/h

  9. Sur $60$ personnes présentes à une exposition, on distingue trois groupes :

    • groupe A : $30$ personnes ;
    • groupe B : $12$ personnes ;
    • groupe C : les autres.

    Quelle représentation décrit la situation ?

    Quatre diagrammes circulaires nommés a, b, c et d, chacun partagé en trois secteurs noir, gris et bleu clair. a est partagé en trois secteurs égaux ; b a un demi-disque noir, un secteur gris et un petit secteur bleu ; c a un grand secteur gris, un secteur noir et un petit secteur bleu ; d a un demi-disque noir et deux quarts gris et bleu.

  10. On considère les deux séries ci-dessous.

    Série A : $9~;~10~;~10~;~11$ — Série B : $7~;~10~;~10~;~13$

    Une seule des quatre propositions suivantes est vraie.

    1. La moyenne de la série A est strictement supérieure à la moyenne de la série B.
    2. La moyenne de la série B est strictement supérieure à la moyenne de la série A.
    3. L'écart-type de la série A est strictement supérieur à l'écart-type de la série B.
    4. L'écart-type de la série B est strictement supérieur à l'écart-type de la série A.

  11. Le volume $V$ d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon $r$ est égal à $V = \pi r^2 h$. On cherche à isoler $h$. On a :

    1. $h = \sqrt{\dfrac{V}{\pi r^2}}$
    2. $h = \dfrac{\pi r^2}{V}$
    3. $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$
    4. $h = \dfrac{r^2}{\pi V}$

  12. Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-4~;~4]$ dont la représentation graphique est donnée ci-contre. L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est :

    Courbe rouge d'une fonction définie sur [-4 ; 4] dans un repère orthonormé, présentant un creux à gauche, une bosse au centre et un petit creux à droite, qui coupe l'axe des abscisses en x = -3, -1, 1 et 2.
    1. $\mathcal{S} = \{0\}$
    2. $\mathcal{S} = [-3~;~2]$
    3. $\mathcal{S} = \{-3~;~-1~;~1~;~2\}$
    4. $\mathcal{S} = \{1{,}5\}$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1


Victor sort un plat du four. La température du plat est alors égale à $180\,°\text{C}$. Il place ce plat dans une pièce dont la température est égale à $25\,°\text{C}$. Le plat refroidit. Le plat ne pourra être servi que lorsque sa température sera devenue inférieure ou égale à $40\,°\text{C}$.

On étudie le refroidissement du plat selon deux modèles mathématiques.

Partie A : Premier modèle


On suppose que la baisse de la température du plat est proportionnelle à la durée du refroidissement, c'est-à-dire au nombre de minutes écoulées depuis la sortie du four.

On constate que $3$ minutes après la sortie du four, la température du plat est égale à $105\,°\text{C}$.

  1. De combien de degrés le plat a-t-il baissé en $3$ minutes ? En $1$ minute ?
  2. Vérifier que la température du plat, $5$ minutes après la sortie du four, est égale à $55\,°\text{C}$.
  3. Selon ce modèle, quelle serait la température du plat, $8$ minutes après la sortie du four ? Ce premier modèle semble-t-il pertinent ?

Partie B : Second modèle


On dispose toujours des données suivantes :
  • la température de la pièce est égale à $25\,°\text{C}$ ;
  • la température du plat à la sortie du four est égale à $180\,°\text{C}$ ;
  • la température du plat, $3$ minutes après la sortie du four, est égale à $105\,°\text{C}$.

Pour tout entier naturel $n$ on note $U_n$ la différence entre la température du plat et la température de la pièce, $n$ minutes après la sortie du four.

Exemple

$3$ minutes après la sortie du four, l'écart avec la température de la pièce est égal à $105 - 25 = 80$. On a donc $U_3 = 80$.

  1. Justifier que $U_0 = 155$.

  2. On suppose que chaque minute la différence $U_n$ diminue de $20\,\%$.

    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1} = 0{,}8\,U_n$.
    2. En déduire la nature de la suite $(U_n)$ et donner sa raison.
    3. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

    4. On dispose des données suivantes :

      $n$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$ $13$ $14$ $15$
      $U_n$ arrondi à $10^{-1}$ $80$ $64$ $51{,}2$ $41$ $32{,}8$ $26{,}2$ $21$ $16{,}8$ $13{,}4$ $10{,}7$ $8{,}6$ $6{,}9$ $5{,}5$

      Au bout de combien de minutes Victor pourra-t-il servir le plat ?

Exercice 2


Un village propose aux participants de la fête du sport deux épreuves : une randonnée et un cross. Il n'est pas possible de s'inscrire aux deux épreuves à la fois.

On dispose des informations suivantes :

  • $90\,\%$ des participants ont choisi la randonnée ; parmi eux, $5\,\%$ sont licenciés dans un club ;
  • $10\,\%$ des participants ont choisi le cross ; parmi eux, $40\,\%$ sont licenciés dans un club.

Un journaliste interroge un participant au hasard. On considère les évènements suivants :

  • $R$ : « Le participant a choisi la randonnée » ;
  • $L$ : « Le participant est licencié dans un club ».

  1. Par simple lecture de l'énoncé, indiquer :

    1. La probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club sachant qu'il a choisi la randonnée.
    2. La probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club sachant qu'il a choisi le cross.

    En prenant connaissance de ces deux probabilités, le journaliste estime que s'il choisit un participant parmi ceux qui sont licenciés dans un club, la probabilité qu'il ait effectué le cross sera largement supérieure à $50\,\%$. L'objectif des questions suivantes est de vérifier si cette intuition est correcte.

  2. Représenter la situation par un arbre de probabilité.
    1. Déterminer la probabilité que le participant interrogé ait choisi le cross et soit licencié dans un club.
    2. Vérifier que la probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club est égale à $\dfrac{850}{10\,000}$, soit $8{,}5\,\%$.
  4. Le journaliste interroge un participant licencié dans un club. Déterminer la probabilité que ce participant ait choisi le cross. L'intuition du journaliste est-elle correcte ?

Exercice 3


Indiquer si les affirmations sont vraies ou fausses. La justification est obligatoire.

Les deux questions sont indépendantes.

  1. Un employé reçoit des appels téléphoniques. On estime que la probabilité qu'un appel dure plus de cinq minutes est égale à $0{,}3$. On suppose que les durées des différents appels sont indépendantes.

    Ce matin, l'employé reçoit deux appels.

    Affirmation 1 : La probabilité que les deux appels durent tous les deux plus de cinq minutes est égale à $0{,}09$.

    Affirmation 2 : La probabilité qu'un appel exactement sur les deux dure plus de cinq minutes est égale à $0{,}21$.

  2. Le gérant d'une piscine s'intéresse à la présence de bactéries dans l'eau. Il effectue un prélèvement. Ce prélèvement montre que la concentration de bactéries est égale à $1\,000$ bactéries par millilitre. Le seuil maximal autorisé est égal à $1\,500$ bactéries par millilitre.

    On admet que la concentration de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 1{,}1^{\,t}$, où $f(t)$ désigne la concentration, en milliers de bactéries par millilitre, et $t$ désigne la durée, en heure, écoulée depuis que le prélèvement a été effectué.

    Affirmation 3 : La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

    Affirmation 4 : La concentration de bactéries deux heures après le prélèvement est inférieure au seuil maximal autorisé.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse c. $101 \approx 100$ et $99 \approx 100$, donc $101 \times 99 \approx 100 \times 100 = 10\,000$.
  2. Réponse c. Augmenter de $20\,\%$ puis diminuer de $20\,\%$ revient à multiplier par $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96 < 1$ : le prix final est inférieur au prix de départ.
  3. Réponse b. Diminuer de $2{,}3\,\%$, c'est multiplier par $1 - 0{,}023 = 0{,}977$.
  4. Réponse d. Si $N$ est l'effectif total, $0{,}04 \times N = 50$, donc $N = \dfrac{50}{0{,}04} = 1\,250$.
  5. Réponse c. Une baisse de $3\,\%$ correspond à une multiplication par $0{,}97$ : $V(n+1) = 0{,}97 \times V(n)$.
  6. Réponse a. La droite coupe l'axe des ordonnées en $2$ et passe par exemple par le point $(1\,;\,-1)$ : le coefficient directeur vaut $\dfrac{-1 - 2}{1 - 0} = -3$.
  7. Réponse c. Un stylo coûte $\dfrac{13}{10} = 1{,}3$ euro, donc trois stylos coûtent $3 \times 1{,}3 = 3{,}9$ euros.
  8. Réponse c. $1$ km en $5$ min, soit en une heure ($60$ min) $\dfrac{60}{5} = 12$ fois plus : la vitesse est de $12$ km/h.
  9. Réponse b. Le groupe C compte $60 - 30 - 12 = 18$ personnes. Le groupe A représente la moitié des présents ($30$ sur $60$), d'où un demi-disque ; les groupes B ($12$) et C ($18$) se partagent l'autre moitié en deux secteurs inégaux : seul le diagramme b correspond.
  10. Réponse d. Les deux moyennes valent $\dfrac{40}{4} = 10$ : a et b sont fausses. La série B ($7\,;\,13$) est plus dispersée autour de $10$ que la série A ($9\,;\,11$), donc son écart-type est plus grand.
  11. Réponse c. De $V = \pi r^2 h$ on tire $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$.
  12. Réponse c. La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = -3$, $x = -1$, $x = 1$ et $x = 2$ : $\mathcal{S} = \{-3\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}$.

Partie 2

Exercice 1


Partie A : premier modèle
  1. En $3$ minutes, la température passe de $180\,°\text{C}$ à $105\,°\text{C}$ : elle a baissé de $180 - 105 = 75\,°\text{C}$. La baisse étant proportionnelle à la durée, en $1$ minute elle baisse de $\dfrac{75}{3} = 25\,°\text{C}$.
  2. Au bout de $5$ minutes, la baisse totale vaut $5 \times 25 = 125\,°\text{C}$, donc la température est $180 - 125 = 55\,°\text{C}$.
  3. Au bout de $8$ minutes, la baisse vaudrait $8 \times 25 = 200\,°\text{C}$, ce qui donnerait une température de $180 - 200 = -20\,°\text{C}$. Une température négative, inférieure à celle de la pièce ($25\,°\text{C}$), est impossible : ce premier modèle n'est pas pertinent.

Partie B : second modèle

  1. À la sortie du four ($n = 0$), la température du plat vaut $180\,°\text{C}$ ; l'écart avec la pièce est $U_0 = 180 - 25 = 155$.

    1. Diminuer de $20\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}20 = 0{,}8$, donc pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = 0{,}8\,U_n$.
    2. Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par le même nombre $0{,}8$ : la suite $(U_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}8$ et de premier terme $U_0 = 155$.
    3. Pour une suite géométrique, $U_n = U_0 \times q^n$, donc $U_n = 155 \times 0{,}8^{\,n}$.
    4. Le plat peut être servi lorsque sa température est inférieure ou égale à $40\,°\text{C}$, c'est-à-dire lorsque l'écart $U_n$ est inférieur ou égal à $40 - 25 = 15$. D'après le tableau, $U_{10} = 16{,}8 > 15$ alors que $U_{11} = 13{,}4 \le 15$. Victor pourra servir le plat au bout de 11 minutes (la température vaut alors environ $25 + 13{,}4 = 38{,}4\,°\text{C}$).

Exercice 2

    1. La probabilité d'être licencié sachant qu'on a choisi la randonnée est $P_R(L) = 0{,}05$.
    2. La probabilité d'être licencié sachant qu'on a choisi le cross est $P_{\overline{R}}(L) = 0{,}40$.

  2. L'arbre de probabilité résume la situation :

    Arbre de probabilité à deux niveaux : premier niveau R de probabilité 0,9 et cross R-barre de probabilité 0,1 ; sous R, L à 0,05 et L-barre à 0,95 ; sous R-barre, L à 0,4 et L-barre à 0,6.
    1. La probabilité de choisir le cross et d'être licencié est $P(\overline{R} \cap L) = P(\overline{R}) \times P_{\overline{R}}(L) = 0{,}1 \times 0{,}4 = 0{,}04$.
    2. D'après la formule des probabilités totales, $P(L) = P(R \cap L) + P(\overline{R} \cap L) = 0{,}9 \times 0{,}05 + 0{,}1 \times 0{,}4 = 0{,}045 + 0{,}04 = 0{,}085$, soit $\dfrac{850}{10\,000} = 8{,}5\,\%$.
  4. On cherche $P_L(\overline{R}) = \dfrac{P(\overline{R} \cap L)}{P(L)} = \dfrac{0{,}04}{0{,}085} = \dfrac{8}{17} \approx 0{,}47$, soit environ $47\,\%$. Cette probabilité est inférieure à 50 % : l'intuition du journaliste est incorrecte.

Exercice 3

  1. Les durées des deux appels sont indépendantes, et chaque appel dure plus de cinq minutes avec la probabilité $0{,}3$ (donc cinq minutes au plus avec la probabilité $0{,}7$).

    Affirmation 1 : VRAIE. La probabilité que les deux appels durent chacun plus de cinq minutes est $0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$.

    Affirmation 2 : FAUSSE. « Exactement un appel sur les deux » correspond à deux cas (le premier long et le second court, ou l'inverse) : $0{,}3 \times 0{,}7 + 0{,}7 \times 0{,}3 = 2 \times 0{,}21 = 0{,}42$, et non $0{,}21$.

  2. La fonction $f$ est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(t) = 1{,}1^{\,t}$.

    Affirmation 3 : VRAIE. La fonction $t \mapsto a^{\,t}$ avec $a = 1{,}1 > 1$ est strictement croissante : $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

    Affirmation 4 : VRAIE. Deux heures après le prélèvement, $f(2) = 1{,}1^{2} = 1{,}21$, soit $1\,210$ bactéries par millilitre. Comme $1\,210 < 1\,500$, la concentration est inférieure au seuil maximal autorisé.

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