Épreuve anticipée maths (sans spé) — Sujet zéro n° 2

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques

Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Sujet zéro
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte.

On considère $A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}$.
1. $A = 0$
2. $A = -\dfrac{1}{6}$
3. $A = \dfrac{2}{3}$
4. $A = -1$
Quatre croissants coûtent $6$ euros. Dix croissants coûtent :
1. $60$ euros
2. $8$ euros
3. $8{,}50$ euros
4. $15$ euros
Un prix a doublé. Cela signifie que le prix a augmenté de :
1. $50\,\%$
2. $100\,\%$
3. $150\,\%$
4. $200\,\%$
À l'issue d'une augmentation de $10\,\%$, un article coûte $110$ euros. Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ?
1. Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à $99$ euros.
2. Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à $120$ euros.
3. Le prix a augmenté de $10$ euros.
4. Le prix a augmenté de $11$ euros.
La masse d'un litre d'huile est égale à $900$ grammes. La masse de $750$ millilitres de cette huile est égale à :
1. $750$ g
2. $0{,}675$ kg
3. $6{,}75$ kg
4. $67{,}5$ g
Dans un repère du plan, on considère les points $A(1~;~100)$ et $B(4~;~106)$. On note $m$ le coefficient directeur de la droite $(AB)$. On peut affirmer que :
1. $m = 2$
2. $m = 0{,}5$
3. $m = -2$
4. $m = -0{,}5$
Dans un repère du plan, on considère la droite $D$ de coefficient directeur $-0{,}1$, passant par le point $A(0~;~4)$. On note $B$ le point de la droite $D$ dont l'abscisse est égale à $1$. L'ordonnée du point $B$ est égale à :
1. $3$
2. $3{,}9$
3. $4{,}1$
4. $5$
La forme développée de $(x - 3)(x + 2)$ est :
1. $x^2 - 5x + 6$
2. $x^2 - x + 6$
3. $x^2 - x - 6$
4. $x^2 - 5x - 6$
Le volume $V$ d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$. On cherche à isoler $h$. On a :
1. $h = \dfrac{V}{3\pi r^2}$
2. $h = \dfrac{\pi r^2}{3V}$
3. $h = \dfrac{\sqrt{V}}{\pi r}$
4. $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$. L'image de $-1$ par la fonction $f$ est égale à :
1. $0$
2. $2$
3. $-2$
4. $-4$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Un antécédent de $0$ par la fonction $f$ est :
1. $1$
2. $-1$
3. $0$
4. $2$
On considère les deux séries ci-dessous. Série A : $9$ ; $10$ ; $10$ ; $11$. Série B : $7$ ; $10$ ; $10$ ; $13$. Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ?
1. La moyenne de la série A est strictement supérieure à la moyenne de la série B.
2. La moyenne de la série B est strictement supérieure à la moyenne de la série A.
3. L'écart-type de la série A est strictement supérieur à l'écart-type de la série B.
4. L'écart-type de la série B est strictement supérieur à l'écart-type de la série A.

Partie 2 — 14 points

Exercice 1

On étudie la croissance d'une population de champignons.

Partie A

Au début de l'expérience, on dispose de $100$ champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants.

Temps écoulé (en minutes)	Nombre de champignons
$0$	$100$
$10$	$125$
$20$	$150$
$30$	$175$

Nuage de quatre points dans un repère : en abscisse le temps écoulé en minutes (0, 10, 20, 30), en ordonnée le nombre de champignons (50, 100, 150). Les points (0;100), (10;125), (20;150), (30;175) sont alignés et croissants.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de champignons après $n$ périodes de dix minutes. Ainsi $u_0 = 100$, $u_1 = 125$, $u_2 = 150\ldots$

Justifier que les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sont en progression arithmétique.
En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience.

Partie B

En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé $80$ minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants.

Temps écoulé (en minutes)	Nombre de champignons
$0$	$100$
$40$	$200$
$80$	$400$
$120$	$800$

Soit $n$ un entier naturel. On note $v_n$ le nombre de champignons, après $n$ périodes de quarante minutes. Ainsi $v_0 = 100$, $v_1 = 200$, $v_2 = 400\ldots$

Montrer que les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ sont en progression géométrique.
On suppose que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$. Indiquer sans justifier lequel des $4$ graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $(v_n)$.
Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ?
Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ $18\,000$ champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi ?

Aide au calcul

$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
$2^8 = 256$
$2^9 = 512$
$2^{10} = 1024$

Exercice 2

Remarque

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans un lycée comptant $2000$ élèves, on donne la répartition des effectifs suivant le sexe et le choix de la LV1.

	Fille	Garçon
Anglais	$712$	$728$
Autre LV1	$288$	$272$

Un élève affirme « Dans ce lycée, il y a autant de filles que de garçons ». A-t-il raison ? Justifier.

On choisit au hasard, de manière équiprobable, un élève dans ce lycée. On considère les événements suivants :

$F$ : « l'élève est une fille » ;
$A$ : « l'élève a choisi Anglais pour LV1 ».

Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme d'une fraction qu'il n'est pas demandé de simplifier.

Déterminer la probabilité de l'événement $A \cap F$.
Déterminer la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $F$ est réalisé.
Les événements $A$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier.
On sait que l'élève choisi est un garçon. On considère l'affirmation suivante : « La probabilité qu'il ait choisi Anglais pour LV1 est plus de trois fois plus grande que la probabilité qu'il n'ait pas choisi Anglais pour LV1 ». Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.

Partie B

On dispose d'une pièce de monnaie truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile lors d'un lancer est égale à $\dfrac{1}{4}$.

Déterminer la probabilité d'obtenir face.
On lance trois fois de suite cette pièce de monnaie, les trois lancers étant indépendants, et on note pour chaque lancer le résultat (pile ou face) obtenu.
1. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers ?
3. Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile ?

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

Réponse b : $A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3-4}{6} = -\dfrac{1}{6}$.
Réponse d : un croissant coûte $6 \div 4 = 1{,}5$ €, donc $10$ croissants coûtent $15$ €.
Réponse b : doubler revient à multiplier par $2$, soit une hausse de $100\,\%$.
Réponse c : le prix avant hausse vaut $110 \div 1{,}1 = 100$ €, l'augmentation est donc de $10$ €.
Réponse b : $0{,}75 \times 900 = 675$ g $= 0{,}675$ kg.
Réponse a : $m = \dfrac{106 - 100}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.
Réponse b : $y_B = 4 + (-0{,}1) \times 1 = 3{,}9$.
Réponse c : $(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$.
Réponse d : $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ donne $h = \dfrac{3V}{\pi r^2}$.
Réponse d : $f(-1) = -2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -2 - 3 + 1 = -4$.
Réponse a : $f(1) = 2 - 5 + 3 = 0$, donc $1$ est un antécédent de $0$.
Réponse d : les deux séries ont la même moyenne $10$, mais B ($7{,}10{,}10{,}13$) est plus dispersée que A ($9{,}10{,}10{,}11$), donc son écart-type est plus grand.

Partie 2

Exercice 1

Partie A

On calcule les différences successives : $u_1 - u_0 = 125 - 100 = 25$, $u_2 - u_1 = 150 - 125 = 25$ et $u_3 - u_2 = 175 - 150 = 25$. Ces différences sont constantes et égales à $25$ : les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sont donc en progression arithmétique de raison $25$.
En conservant ce rythme, la suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $25$, d'où $u_n = 100 + 25n$. Deux heures représentent $120$ minutes, soit $120 \div 10 = 12$ périodes de dix minutes : on calcule $u_{12} = 100 + 25 \times 12 = 100 + 300 = 400$. Comme $400 = 4 \times 100$, la population aura bien quadruplé deux heures après le début de l'expérience.

Partie B

On calcule les quotients successifs : $\dfrac{v_1}{v_0} = \dfrac{200}{100} = 2$, $\dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{400}{200} = 2$ et $\dfrac{v_3}{v_2} = \dfrac{800}{400} = 2$. Ces quotients sont constants et égaux à $2$ : les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ sont donc en progression géométrique de raison $2$.
Le graphique 1 : une suite géométrique de raison $2 > 1$ et de premier terme positif est croissante, et sa croissance s'accélère (concavité tournée vers le haut).
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 100$ et de raison $2$, d'où $v_n = 100 \times 2^n$. Quatre heures représentent $240$ minutes, soit $240 \div 40 = 6$ périodes de quarante minutes : $v_6 = 100 \times 2^6 = 100 \times 64 = 6\,400$. Quatre heures après le début de l'expérience, on comptera $6\,400$ champignons.
Cinq heures représentent $300$ minutes, soit $300 \div 40 = 7{,}5$ périodes : le nombre cherché se situe donc entre $v_7$ et $v_8$. Or $v_7 = 100 \times 2^7 = 12\,800$ et $v_8 = 100 \times 2^8 = 25\,600$. Comme $12\,800 < 18\,000 < 25\,600$, la valeur observée est bien comprise entre deux termes consécutifs du modèle : c'est cohérent avec le modèle géométrique choisi.

Exercice 2

Partie A

Le nombre de filles est $712 + 288 = 1\,000$ et le nombre de garçons est $728 + 272 = 1\,000$. Il y a donc autant de filles que de garçons : l'élève a raison.
L'événement $A \cap F$ correspond aux filles ayant choisi l'anglais, soit $712$ élèves. On a donc $P(A \cap F) = \dfrac{712}{2000}$.
Sachant que l'élève est une fille (il y en a $1\,000$), $712$ ont choisi l'anglais, d'où $P_F(A) = \dfrac{712}{1000}$.
Le nombre d'élèves ayant choisi l'anglais est $712 + 728 = 1\,440$, donc $P(A) = \dfrac{1440}{2000} = 0{,}72$ et $P(F) = \dfrac{1000}{2000} = 0{,}5$. On compare : $P(A \cap F) = \dfrac{712}{2000} = 0{,}356$ tandis que $P(A) \times P(F) = 0{,}72 \times 0{,}5 = 0{,}36$. Comme $0{,}356 \neq 0{,}36$, les événements $A$ et $F$ ne sont pas indépendants.
Parmi les $1\,000$ garçons, $728$ ont choisi l'anglais et $272$ ne l'ont pas choisi. La probabilité qu'un garçon ait choisi l'anglais est $\dfrac{728}{1000}$ et celle qu'il ne l'ait pas choisi est $\dfrac{272}{1000}$. Trois fois cette dernière vaut $3 \times \dfrac{272}{1000} = \dfrac{816}{1000}$. Or $\dfrac{728}{1000} < \dfrac{816}{1000}$ : la probabilité d'avoir choisi l'anglais n'est même pas trois fois plus grande. L'affirmation est donc fausse.

Partie B

Pile et face étant les deux seules issues, $P(\text{face}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
1. On répète trois fois l'épreuve à deux issues $P$ (pile, probabilité $\dfrac{1}{4}$) et $F$ (face, probabilité $\dfrac{3}{4}$). L'arbre comporte trois niveaux de branchements, chaque nœud se séparant en une branche $P$ pondérée par $\dfrac{1}{4}$ et une branche $F$ pondérée par $\dfrac{3}{4}$.
2. Obtenir exactement une fois pile correspond aux issues $PFF$, $FPF$ et $FFP$, chacune de probabilité $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64}$. Comme ces trois issues sont incompatibles, la probabilité cherchée est $3 \times \dfrac{9}{64} = \dfrac{27}{64}$.
3. Ne jamais obtenir pile, c'est obtenir trois fois face : la probabilité vaut $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$.