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Épreuve anticipée · sans spé

Épreuve anticipée maths (sans spé) — Sujet zéro n° 1

Session Sujet 0
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Sujet zéro
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte.

  1. L'opération qui permet de calculer $25\,\%$ de $480$ est :

    1. $\dfrac{480}{25 \times 100}$
    2. $25 \times 480 \times 0{,}1$
    3. $\dfrac{480 \times 100}{25}$
    4. $\dfrac{1}{4} \times 480$

  2. Voici trois nombres : $A = \dfrac{1}{5}$, $B = \dfrac{19}{100}$ et $C = 0{,}21$. Le classement par ordre croissant de ces trois nombres est :

    1. $A < B < C$
    2. $A < C < B$
    3. $B < A < C$
    4. $C < B < A$

  3. Voici quatre nombres : $A = \left(\dfrac{1}{5}\right)^2$, $B = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$, $C = 0{,}05$ et $D = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3$. Le plus grand de ces quatre nombres est :

    1. $A$
    2. $B$
    3. $C$
    4. $D$

  4. Un article augmente de $10\,\%$ puis il augmente encore de $10\,\%$. Après ces deux augmentations il a augmenté de :

    1. $(10\,\%)^2$
    2. $19\,\%$
    3. $20\,\%$
    4. $21\,\%$

  5. Le tiers d'un quart correspond à la fraction :

    1. $\dfrac{1}{7}$
    2. $\dfrac{3}{4}$
    3. $\dfrac{1}{3} \times 4$
    4. $\dfrac{1}{12}$

  6. On considère $A = 10 + 0{,}1 + \dfrac{1}{1000}$. On a :

    1. $A = \dfrac{20^{-1}}{1000}$
    2. $A = \dfrac{1}{1000}$
    3. $A = 10{,}101$
    4. $A = 10{,}110$

  7. On considère $A = 10^{10} + 10^{-10}$. $A$ est environ égal à :

    1. $10^0$
    2. $0$
    3. $10^{10}$
    4. $100^0$

  8. Une durée de $100$ minutes correspond à :

    1. $1$ heure
    2. $1{,}40$ heure
    3. $\dfrac{5}{3}$ heure
    4. $2$ heures

  9. On considère une droite $D$ représentée ci-contre.

    Droite D dans un repère d'origine O. La droite est croissante de pente 1, coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée -3 et l'axe des abscisses au point d'abscisse 3 ; elle représente la droite d'équation y = x - 3.

    La seule équation pouvant correspondre à l'équation réduite de la droite $D$ est :

    1. $y = x + 3$
    2. $y = x - 3$
    3. $y = -x + 3$
    4. $y = -x - 3$

  10. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 7 - \dfrac{1}{2}(x - 3)^2$. L'image de $3$ par la fonction $f$ est égale à :

    1. $7 - \dfrac{1}{2}$
    2. $7 - \dfrac{1}{2}(9 + 9)$
    3. $7$
    4. $0$

  11. Quand on développe $(x - 3)^2$ on obtient :

    1. $x^2 + 9$
    2. $x^2 - 9$
    3. $x^2 + 6x - 9$
    4. $x^2 - 6x + 9$

  12. Voici deux séries de valeurs : Série A : $1$ ; $2$ ; $3$ et Série B : $0{,}5$ ; $2$ ; $100$. Une seule de ces affirmations est exacte :

    1. Les deux séries ont la même moyenne et la même médiane.
    2. Les deux séries ont la même moyenne mais pas la même médiane.
    3. Les deux séries ont la même médiane mais pas la même moyenne.
    4. Les deux séries n'ont ni la même moyenne ni la même médiane.

Partie 2 — 14 points

Exercice 1


Albert a acquis un étang d'une surface de $2\,000$ m². Le jour de son anniversaire, un dimanche, il installe des nénuphars sur une surface de $200$ m².

  1. Le dimanche d'après, la surface des nénuphars a augmenté de $40$ m².

    1. Quel pourcentage d'augmentation cela représente-t-il ?
    2. Quelle est à présent la surface occupée par les nénuphars ?

  2. Dans cette question, on suppose que la surface occupée par les nénuphars augmente de $40$ m² chaque semaine, depuis la date de l'anniversaire, tant que cela est possible.

    1. Quelle sera la surface occupée par les nénuphars $10$ semaines après l'anniversaire ?
    2. Est-il possible qu'un dimanche, la surface occupée par les nénuphars soit égale à $580$ m² ? Justifier.
    3. Au bout de combien de semaines, l'étang sera-t-il entièrement recouvert de nénuphars ?

  3. Dans cette question, on suppose que la surface occupée par les nénuphars augmente de $20\,\%$ chaque semaine, depuis la date de l'anniversaire, tant que cela est possible.

    1. Quelle sera la surface occupée par les nénuphars $2$ semaines après l'anniversaire ?
    2. On considère un entier naturel $n$. Déterminer, en fonction de $n$, la surface occupée par les nénuphars $n$ semaines après l'anniversaire ?

    3. Au bout de combien de semaines, l'étang sera-t-il entièrement recouvert par les nénuphars ? On pourra s'aider du tableau ci-dessous.

      $n =$ $0$ $1$ $2$ $5$ $10$ $12$ $13$ $14$ $15$
      $1{,}2^n \approx$ $1$ $1{,}2$ $1{,}44$ $2{,}49$ $6{,}19$ $8{,}92$ $10{,}70$ $12{,}84$ $15{,}40$
  4. Réaliser sur votre copie un schéma sur lequel apparaissent l'allure des nuages de points traduisant la progression de la surface occupée par les nénuphars, aussi bien dans le cas de la question 2 que dans le cas de la question 3, et faire figurer le moment où, dans chacun des cas, l'étang est recouvert par les nénuphars.

Exercice 2


Un vendeur de voitures possède un stock de $1\,000$ voitures dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau ci-dessous.
  Blanche Noire Rouge TOTAL
Française $150$ $x$ $400$ $750$
Étrangère $100$ $50$ $100$ $250$
TOTAL $250$ $250$ $500$ $1\,000$
  1. Indiquer ce que représente $x$ et déterminer sa valeur.
  2. Quel est le pourcentage de voitures noires parmi les voitures du stock ?
  3. Quel est le pourcentage de voitures noires étrangères parmi les voitures du stock ?
  4. Quel est le pourcentage de voitures blanches parmi les voitures françaises ?
  5. Quel est le pourcentage de voitures françaises parmi les voitures blanches ?

  6. Alice et Benoît jouent au jeu suivant.

    • Alice choisit au hasard une voiture parmi les voitures Françaises. Elle remporte $1$ euro si ce n'est pas une voiture rouge.
    • Benoît choisit au hasard une voiture parmi les voitures Blanches. Il remporte $1$ euro si c'est une voiture étrangère.

    Lequel des deux a le plus de chance de remporter $1$ euro ?

Exercice 3

  • Sur un axe gradué en mètres, on organise une course entre une tortue et un escargot.
  • La tortue part du point d'abscisse $x = 0$. Elle se déplace vers la droite à une vitesse de $2$ mètres par minute.
  • L'escargot part du point d'abscisse $x = 12$. Il se déplace vers la droite à une vitesse de $50$ centimètres par minute.
  • Les deux concurrents partent en même temps.

À quel endroit la tortue rattrapera-t-elle l'escargot ?
Toute trace de recherche, même infructueuse, sera prise en compte.

Axe horizontal gradué en mètres de 0 à 14. Une tortue est posée au point d'abscisse 0 et un escargot au point d'abscisse 12, tous deux se déplaçant vers la droite.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse d : $25\,\%$ de $480$ correspond à $\dfrac{1}{4} \times 480 = 120$.
  2. Réponse c : $A = 0{,}20$, $B = 0{,}19$, $C = 0{,}21$, donc $B < A < C$.
  3. Réponse c : $A = 0{,}04$, $B = 0{,}03125$, $D \approx 0{,}037$ et $C = 0{,}05$ est le plus grand.
  4. Réponse d : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit une hausse globale de $21\,\%$.
  5. Réponse d : le tiers d'un quart vaut $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$.
  6. Réponse c : $10 + 0{,}1 + 0{,}001 = 10{,}101$.
  7. Réponse c : $10^{-10}$ est négligeable devant $10^{10}$, donc $A \approx 10^{10}$.
  8. Réponse c : $100$ min $= \dfrac{100}{60}$ h $= \dfrac{5}{3}$ h.
  9. Réponse b : la droite est croissante (coefficient directeur $1$) et coupe l'axe des ordonnées en $-3$, d'où $y = x - 3$.
  10. Réponse c : $f(3) = 7 - \dfrac{1}{2}(3-3)^2 = 7$.
  11. Réponse d : $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
  12. Réponse c : les deux séries ont pour médiane $2$, mais la moyenne de A vaut $2$ alors que celle de B vaut $\dfrac{102{,}5}{3} \approx 34{,}2$.

Partie 2


Exercice 1

  1. Augmentation de $40$ m² à partir de $200$ m².

    1. Le pourcentage d'augmentation est $\dfrac{40}{200} = 0{,}20 = 20\,\%$.
    2. La surface occupée est désormais $200 + 40 = 240$ m².

  2. La surface augmente de $40$ m² chaque semaine : on note $u_n$ la surface (en m²) $n$ semaines après l'anniversaire, avec $u_0 = 200$. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $40$, donc $u_n = 200 + 40n$.

    1. Après $10$ semaines : $u_{10} = 200 + 40 \times 10 = 600$ m².
    2. On cherche $n$ tel que $200 + 40n = 580$, soit $40n = 380$ et $n = 9{,}5$. Comme $n$ n'est pas un entier, il est impossible que la surface soit exactement de $580$ m² un dimanche.
    3. L'étang est recouvert lorsque $u_n \geqslant 2000$, soit $200 + 40n \geqslant 2000$, donc $40n \geqslant 1800$ et $n \geqslant 45$. L'étang est entièrement recouvert au bout de $45$ semaines.

  3. La surface augmente de $20\,\%$ chaque semaine : on note $v_n$ la surface (en m²) $n$ semaines après l'anniversaire, avec $v_0 = 200$. Multiplier par $1{,}20$ chaque semaine donne une suite géométrique de raison $1{,}2$.

    1. Après $2$ semaines : $v_2 = 200 \times 1{,}2^2 = 200 \times 1{,}44 = 288$ m².
    2. La suite $(v_n)$ étant géométrique de premier terme $200$ et de raison $1{,}2$, on a $v_n = 200 \times 1{,}2^n$.
    3. L'étang est recouvert lorsque $v_n \geqslant 2000$, soit $200 \times 1{,}2^n \geqslant 2000$, c'est-à-dire $1{,}2^n \geqslant 10$. D'après le tableau, $1{,}2^{12} \approx 8{,}92 < 10$ et $1{,}2^{13} \approx 10{,}70 \geqslant 10$. L'étang est donc entièrement recouvert au bout de $13$ semaines.
  4. Dans le cas de la question 2 (croissance arithmétique), les points sont alignés : le nuage de points suit une droite, et l'étang ($2000$ m²) est atteint à la $45^\text{e}$ semaine. Dans le cas de la question 3 (croissance géométrique de raison $1{,}2 > 1$), les points suivent une courbe exponentielle d'abord lente puis très rapide, et l'étang est atteint dès la $13^\text{e}$ semaine. La croissance exponentielle (question 3) recouvre donc l'étang bien plus tôt que la croissance linéaire (question 2).

Exercice 2

  1. $x$ représente le nombre de voitures noires françaises. Sur la ligne « Française » : $150 + x + 400 = 750$, donc $x = 750 - 550 = 200$. (On retrouve la cohérence sur la colonne « Noire » : $200 + 50 = 250$.)
  2. Il y a $250$ voitures noires sur $1\,000$, soit $\dfrac{250}{1000} = 25\,\%$ de voitures noires.
  3. Il y a $50$ voitures noires étrangères sur $1\,000$, soit $\dfrac{50}{1000} = 5\,\%$.
  4. Parmi les $750$ voitures françaises, $150$ sont blanches, soit $\dfrac{150}{750} = 0{,}20 = 20\,\%$.
  5. Parmi les $250$ voitures blanches, $150$ sont françaises, soit $\dfrac{150}{250} = 0{,}60 = 60\,\%$.

  6. Comparons les probabilités de gagner $1$ euro.

    1. Alice choisit parmi les $750$ voitures françaises ; elle gagne si la voiture n'est pas rouge, soit $750 - 400 = 350$ voitures favorables. Sa probabilité de gagner est $\dfrac{350}{750} = \dfrac{7}{15} \approx 0{,}467$.
    2. Benoît choisit parmi les $250$ voitures blanches ; il gagne si la voiture est étrangère, soit $100$ voitures favorables. Sa probabilité de gagner est $\dfrac{100}{250} = \dfrac{2}{5} = 0{,}40$.
    3. Comme $\dfrac{7}{15} \approx 0{,}467 > 0{,}40$, c'est Alice qui a le plus de chances de remporter $1$ euro.

Exercice 3


On exprime les positions (en mètres) sur l'axe en fonction du temps $t$ (en minutes). La vitesse de l'escargot est $50$ cm/min $= 0{,}5$ m/min.
  1. La tortue part de l'abscisse $0$ et avance de $2$ m/min : sa position est $T(t) = 2t$.
  2. L'escargot part de l'abscisse $12$ et avance de $0{,}5$ m/min : sa position est $E(t) = 12 + 0{,}5t$.
  3. La tortue rattrape l'escargot lorsque $T(t) = E(t)$, soit $2t = 12 + 0{,}5t$. On obtient $1{,}5t = 12$, donc $t = 8$ minutes.
  4. À cet instant, la position commune vaut $T(8) = 2 \times 8 = 16$ m. La tortue rattrape l'escargot au bout de $8$ minutes, au point d'abscisse $\mathbf{16}$ mètres.
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