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Épreuve anticipée · sans spé

Épreuve anticipée maths (sans spé) — Métropole — 12 juin 2026

Métropole
Session 12 juin 2026
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Métropole — 12 juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

  1. Le nombre $\dfrac{2}{5}$ est égal à :

    1. $0{,}2$
    2. $0{,}25$
    3. $0{,}4$
    4. $0{,}5$

  2. $30\,\%$ de $150$ est égal à :

    1. $15$
    2. $30$
    3. $45$
    4. $60$

  3. On donne ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$. Lequel de ces nombres est un antécédent de $3$ ?

    Courbe représentative d'une fonction f tracée sur l'intervalle allant de moins 4 à 5. La courbe présente un maximum local de hauteur 2 vers x = moins 3, un minimum local de hauteur moins 1,5 vers x = moins 1, un maximum de hauteur 3 atteint en x = 1, puis un minimum local de hauteur 0,7 vers x = 3 avant de remonter. La valeur 3 n'est atteinte qu'en x = 1.
    1. $0{,}5$
    2. $1$
    3. $1{,}5$
    4. $2$

  4. La solution de l'équation $7x + 4 = 5x + 6$ est :

    1. $x = -1$
    2. $x = 0$
    3. $x = 2$
    4. $x = 1$

  5. Un article coûte initialement $50$ €. Son prix diminue de $10\,\%$ puis augmente de $10\,\%$. Son prix final est de :

    1. $49{,}50$ €
    2. $49{,}90$ €
    3. $50$ €
    4. $50{,}10$ €

  6. On considère la courbe d'équation $y = 2x^2 - x + 3$. Le point d'abscisse $-1$ de la courbe est :

    1. $A(-1\,;\,0)$
    2. $B(-1\,;\,2)$
    3. $C(-1\,;\,4)$
    4. $D(-1\,;\,6)$

  7. Une droite passe par les points $A(-1\,;\,2)$ et $B(-3\,;\,4)$. Son coefficient directeur est :

    1. $-2$
    2. $-1$
    3. $1$
    4. $2$

  8. On s'intéresse au confort d'un hôtel. Les six dernières notes obtenues sont : $2\,$ ; $3\,$ ; $5\,$ ; $4\,$ ; $2\,$ ; $3$. La médiane de cette série de notes est :

    1. $2$
    2. $3$
    3. $3{,}5$
    4. $4$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 6 points


Dans un lycée, $120$ élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo. Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale. La répartition de ces $120$ élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.
  Seconde Première Terminale Total
Section judo     $8$ $24$
Section aquatique $40$      
Total $50$   $14$ $120$

On choisit au hasard un élève parmi les sportifs de haut niveau. On considère les évènements suivants :

  • $S$ : « l'élève est en seconde » ;
  • $P$ : « l'élève est en première » ;
  • $T$ : « l'élève est en terminale » ;
  • $A$ : « l'élève est en section aquatique » ;
  • $J$ : « l'élève est en section judo ».

Pour un évènement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'évènement $F$.

  1. Reproduire le tableau ci-dessus en complétant les données manquantes.

    Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.

  2. Décrire l'évènement $A \cap S$ à l'aide d'une phrase puis calculer sa probabilité.
  3. On choisit au hasard un élève sportif en seconde, calculer la probabilité qu'il soit en section aquatique.
    1. Calculer la probabilité de l'évènement $J$.
    2. Calculer $P_T(J)$.
    3. Les évènements $J$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

Exercice 2 — 8 points


En $2025$, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de $20\,000$ €. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à $22\,000$ €. Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années. Ils ont le choix entre deux placements.

A — Premier placement


Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de $200$ € par rapport au capital de l'année précédente. On note $a_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $a_0 = 20\,000$.
  1. Calculer $a_1$ et $a_2$.
    1. Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ pour tout entier naturel $n$.
    2. En déduire la nature de la suite $\left(a_n\right)$. Préciser sa raison.
  3. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
  4. À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?

B — Second placement


Avec le placement B, le capital augmente chaque année de $2\,\%$ par rapport au capital de l'année précédente. On note $b_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $b_0 = 20\,000$.
  1. Détailler le calcul qui permet d'obtenir $b_1 = 20\,400$.
    1. Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ pour tout entier naturel $n$.
    2. En déduire la nature de la suite $\left(b_n\right)$. Préciser sa raison.
  3. Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

  4. Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l'euro près. Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.

    $n$ $b_n$
    $0$ $20\,000$
    $1$ $20\,400$
    $2$ $20\,808$
    $3$ $21\,224$
    $4$ $21\,649$
    $5$ $22\,082$
    $6$ $22\,523$
    $7$ $22\,974$
    $8$ $23\,433$
    $9$ $23\,902$
    $10$ $24\,380$

C — Bilan


Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu'ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse c. $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
  2. Réponse c. $30\,\%$ de $150$ vaut $0{,}30 \times 150 = 45$.
  3. Réponse b. Un antécédent de $3$ est un réel $x$ tel que $f(x) = 3$. La courbe atteint la valeur $3$ uniquement à son sommet, situé en $x = 1$. L'antécédent de $3$ est donc $1$.
  4. Réponse d. $7x + 4 = 5x + 6 \iff 7x - 5x = 6 - 4 \iff 2x = 2 \iff x = 1$.
  5. Réponse a. Une baisse de $10\,\%$ puis une hausse de $10\,\%$ revient à multiplier par $0{,}9 \times 1{,}1 = 0{,}99$. Le prix final vaut $50 \times 0{,}99 = 49{,}50$ €.
  6. Réponse d. Pour $x = -1$ : $y = 2 \times (-1)^2 - (-1) + 3 = 2 + 1 + 3 = 6$. Le point est $D(-1\,;\,6)$.
  7. Réponse b. Le coefficient directeur vaut $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{4 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{2}{-2} = -1$.
  8. Réponse b. En rangeant les notes dans l'ordre croissant : $2\,$ ; $2\,$ ; $3\,$ ; $3\,$ ; $4\,$ ; $5$. La série compte $6$ valeurs ; la médiane est la moyenne des $3^\text{e}$ et $4^\text{e}$ valeurs : $\dfrac{3 + 3}{2} = 3$.

Partie 2

Exercice 1

  1. On complète le tableau ligne par ligne et colonne par colonne (chaque total est la somme de sa ligne ou de sa colonne) :

      Seconde Première Terminale Total
    Section judo $10$ $6$ $8$ $24$
    Section aquatique $40$ $50$ $6$ $96$
    Total $50$ $56$ $14$ $120$
  2. $A \cap S$ est l'évènement « l'élève est en section aquatique et en seconde ». Le tableau donne $40$ élèves dans cette case, donc $P(A \cap S) = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3}$.
  3. On cherche $P_S(A)$, la probabilité qu'un élève de seconde soit en section aquatique. Il y a $50$ élèves en seconde, dont $40$ en section aquatique : $P_S(A) = \dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}$.
    1. La section judo compte $24$ élèves sur $120$, donc $P(J) = \dfrac{24}{120} = \dfrac{1}{5}$.
    2. Parmi les $14$ élèves de terminale, $8$ sont en section judo, donc $P_T(J) = \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$.
    3. On compare $P_T(J) = \dfrac{4}{7}$ et $P(J) = \dfrac{1}{5}$. Comme $\dfrac{4}{7} \neq \dfrac{1}{5}$, on a $P_T(J) \neq P(J)$ : les évènements $J$ et $T$ ne sont pas indépendants.

Exercice 2


A — Premier placement.
  1. $a_1 = a_0 + 200 = 20\,000 + 200 = 20\,200$ et $a_2 = a_1 + 200 = 20\,200 + 200 = 20\,400$.
    1. Chaque année on ajoute $200$ € : pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = a_n + 200$.
    2. La suite $\left(a_n\right)$ est donc arithmétique de raison $r = 200$ et de premier terme $a_0 = 20\,000$.
  3. Pour une suite arithmétique : $a_n = a_0 + n\,r = 20\,000 + 200n$.
  4. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $a_n \geqslant 22\,000$, soit $20\,000 + 200n \geqslant 22\,000$, c'est-à-dire $200n \geqslant 2\,000$, donc $n \geqslant 10$. Ils disposeront de la somme nécessaire à partir de $n = 10$, soit l'année $2025 + 10 = 2035$.

B — Second placement.

  1. Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par $1{,}02$ : $b_1 = 20\,000 \times 1{,}02 = 20\,000 + 20\,000 \times 0{,}02 = 20\,000 + 400 = 20\,400$.
    1. Chaque année on multiplie par $1{,}02$ : pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = 1{,}02 \times b_n$.
    2. La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $q = 1{,}02$ et de premier terme $b_0 = 20\,000$.
  3. Pour une suite géométrique : $b_n = b_0 \times q^n = 20\,000 \times 1{,}02^n$.
  4. D'après le tableau, $b_4 = 21\,649 < 22\,000$ et $b_5 = 22\,082 \geqslant 22\,000$. Ils disposeront de la somme nécessaire à partir de $n = 5$, soit l'année $2025 + 5 = 2030$.

C — Bilan. Avec le placement A, le capital atteint $22\,000$ € en $2035$ ; avec le placement B, dès $2030$. Il faut donc conseiller à Emma et Pierre le placement B, qui leur permet de réaliser leur projet cinq ans plus tôt.

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