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Épreuve anticipée · sans spé

Épreuve anticipée maths (sans spé) — Centres Étrangers — 8 juin 2026

Centres Étrangers
Session 8 juin 2026
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Centres Étrangers — 8 juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

  1. On considère $A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3}$. On a :

    1. $A = \dfrac{2}{3}$
    2. $A = \dfrac{10}{3}$
    3. $A = \dfrac{4}{3}$
    4. $A = \dfrac{11}{3}$

  2. On considère $B = 2 \times 5^2 + 3$. On a :

    1. $B = 103$
    2. $B = 53$
    3. $B = 97$
    4. $B = 23$

  3. $25\,\%$ de $250$ est égal à :

    1. $62{,}5$
    2. $125$
    3. $50$
    4. $225$

  4. Un article coûtant $300$ € subit une baisse de $15\,\%$. Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul :

    1. $300 - 0{,}15$
    2. $300 \times 0{,}85$
    3. $300 \times 1{,}15$
    4. $300 \times 0{,}15$

  5. Dans un repère du plan, on a représenté la droite $(AB)$ ci-dessous.

    Repère du plan avec la droite (AB) tracée en bleu, décroissante, passant par le point A de coordonnées (0 ; 2) sur l'axe des ordonnées et par le point B de coordonnées (4 ; 0) sur l'axe des abscisses.

    L'équation réduite de la droite $(AB)$ est :

    1. $y = 4x + 2$
    2. $y = -2x + 2$
    3. $y = 2x + 4$
    4. $y = -0{,}5x + 2$

  6. La valeur de l'expression $2x^2 - 3x - 4$ pour $x = -1$ est :

    1. $-9$
    2. $-3$
    3. $-5$
    4. $1$

  7. L'expression $(x-4)^2$ est égale à :

    1. $x^2 - 8x + 16$
    2. $x^2 + 8x + 16$
    3. $x^2 - 8x - 16$
    4. $x^2 + 8x - 16$

  8. Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-6\,;\,5]$.

    Courbe représentative d'une fonction f sur l'intervalle de -6 à 5 : elle part d'environ 0,6 en x = -6, monte jusqu'à un maximum local proche de 4 vers x = -3,5, redescend en passant par 0 à l'origine, atteint un minimum local négatif vers x = 2 puis remonte légèrement. La courbe est au-dessus de la droite horizontale y = 3 entre x = -5 et x = -2.

    L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 3$ est :

    1. $\mathcal{S} = [-6\,;\,-5] \cup [-2\,;\,5]$
    2. $\mathcal{S} = \{-5\,;\,-2\}$
    3. $\mathcal{S} = [-5\,;\,-2]$
    4. $\mathcal{S} = \{-3\}$

  9. L'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l'équation $(2x+4)(-3x-9) = 0$ est :

    1. $\mathcal{S} = \{-5\}$
    2. $\mathcal{S} = \{-4\,;\,9\}$
    3. $\mathcal{S} = \{-2\,;\,3\}$
    4. $\mathcal{S} = \{-3\,;\,-2\}$

  10. Soit la formule $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{R^2}$. On a :

    1. $m_1 = \dfrac{F \times G}{R^2 \times m_2}$
    2. $m_1 = \dfrac{F \times R^2}{G \times m_2}$
    3. $m_1 = \sqrt{\dfrac{G \times R^2}{F \times m_2}}$
    4. $m_1 = F \times R^2 \times G \times m_2$

Pour les questions $11$ et $12$, $A$ et $B$ sont deux évènements et on considère l'arbre pondéré suivant :

Arbre pondéré à deux niveaux : depuis la racine, une branche A (sans probabilité indiquée) et une branche A barre de probabilité 0,8 ; la branche A se subdivise en B (probabilité 0,3) et B barre (sans probabilité) ; la branche A barre se subdivise en B (sans probabilité) et B barre (probabilité 0,6).

  1. On a :

    1. $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0{,}3$
    2. $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0{,}48$
    3. $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0{,}8$
    4. $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0{,}6$

  2. On a :

    1. $P_A\left(\overline{B}\right) = 0{,}3$
    2. $P_A\left(\overline{B}\right) = 0{,}2$
    3. $P_A\left(\overline{B}\right) = 0{,}14$
    4. $P_A\left(\overline{B}\right) = 0{,}7$

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 5 points


Une compagnie aérienne mène une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Les deux questions posées lors de cette enquête sont les suivantes :
  • « Avez-vous acheté votre billet d'avion en agence de voyage ou par internet ? »
  • « Êtes-vous satisfait des services proposés par notre compagnie ? »

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

  Billet acheté par internet Billet acheté en agence Total
Satisfait $720$ $180$ $900$
Pas satisfait $80$ $20$ $100$
Total $800$ $200$ $1\,000$

On choisit au hasard un client ayant répondu aux deux questions. On considère les deux évènements suivants :

  • $S$ : « Le client est satisfait » ;
  • $I$ : « Le client a acheté son billet par internet ».
  1. Calculer la probabilité qu'un client soit satisfait.
  2. Calculer la probabilité de l'évènement $S \cap I$. Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
  3. Calculer $P_S(I)$.
  4. Les deux évènements $I$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
  5. Le service marketing de la compagnie aérienne affirme que $90\,\%$ des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

Exercice 2 — 4 points


Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0\,;\,10]$ par $f(x) = -x^3 + 4{,}5\,x^2 - 6x + 2$.
  1. Calculer l'expression de la dérivée $f'$ en fonction de $x$.
  2. Vérifier que, pour $x$ appartenant à $[0\,;\,10]$, $f'(x) = (3x - 6)(1 - x)$.
  3. Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[0\,;\,10]$.
  4. En déduire les variations de $f$ sur $[0\,;\,10]$. Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

Exercice 3 — 5 points


En $2025$, dans une ville, le club de basketball comptait $900$ adhérents. On estime que chaque année, le club perd $10$ adhérents. On note $B_n$ le nombre d'adhérents au club de basket l'année $2025 + n$.
  1. Calculer $B_1$ et interpréter le résultat.
  2. Exprimer $B_n$ en fonction de $n$.
  3. Justifier que le club aura perdu plus de $10\,\%$ de ses adhérents entre $2025$ et $2035$.

Dans cette même ville en $2025$, le club de handball comptait $200$ adhérents. Pour les années suivantes, on estime que le nombre d'adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

Nuage de points donnant le nombre d'adhérents au club de handball en fonction du nombre d'années depuis 2025 : (0 ; 200), (1 ; 240), (2 ; 288), (3 ; 346), (4 ; 415), (5 ; 498), (6 ; 597), (7 ; 717), (8 ; 860), (9 ; 1032), (10 ; 1238). Les points dessinent une croissance de plus en plus rapide.
  1. Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d'adhérents au club de handball en $2028$.
  2. On modélise le nombre d'adhérents au club de handball l'année $2025 + n$ par $H_n$ et on admet que, pour tout entier naturel $n$, $H_{n+1} = 1{,}2 \times H_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(H_n\right)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
  3. À partir de quelle année le nombre d'adhérents au club de handball sera-t-il supérieur au nombre d'adhérents au club de basketball ? Justifier la réponse.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse b. $A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3} = 4 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$.
  2. Réponse b. En respectant les priorités : $B = 2 \times 5^2 + 3 = 2 \times 25 + 3 = 50 + 3 = 53$.
  3. Réponse a. $25\,\%$ de $250$ vaut $0{,}25 \times 250 = 62{,}5$.
  4. Réponse b. Une baisse de $15\,\%$ revient à multiplier par $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ ; le prix après la baisse est $300 \times 0{,}85$.
  5. Réponse d. La droite $(AB)$ passe par $A(0\,;\,2)$ (ordonnée à l'origine $2$) et $B(4\,;\,0)$. Son coefficient directeur vaut $\dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5$, d'où $y = -0{,}5x + 2$.
  6. Réponse d. Pour $x = -1$ : $2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1$.
  7. Réponse a. $(x - 4)^2 = x^2 - 2 \times 4 \times x + 4^2 = x^2 - 8x + 16$.
  8. Réponse c. Graphiquement, la courbe est située au-dessus de la droite d'équation $y = 3$ (bornes comprises) pour $x$ compris entre $-5$ et $-2$ : $\mathcal{S} = [-5\,;\,-2]$.
  9. Réponse d. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $2x + 4 = 0$ donne $x = -2$ et $-3x - 9 = 0$ donne $x = -3$. Donc $\mathcal{S} = \{-3\,;\,-2\}$.
  10. Réponse b. De $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{R^2}$ on tire $m_1 = \dfrac{F \times R^2}{G \times m_2}$.
  11. Réponse d. Sur la branche $\overline{A}$, on lit $P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0{,}6$.
  12. Réponse d. Depuis $A$, les deux probabilités ont pour somme $1$ : comme $P_A(B) = 0{,}3$, on a $P_A\left(\overline{B}\right) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

Partie 2

Exercice 1


La population totale est de $1\,000$ clients.
  1. $P(S) = \dfrac{900}{1\,000} = 0{,}9$.
  2. $P(S \cap I) = \dfrac{720}{1\,000} = 0{,}72$. Cela signifie que $72\,\%$ des clients interrogés sont à la fois satisfaits et ont acheté leur billet par internet.
  3. $P_S(I) = \dfrac{P(S \cap I)}{P(S)} = \dfrac{720}{900} = 0{,}8$. (On peut aussi compter directement : parmi les $900$ clients satisfaits, $720$ ont acheté par internet.)
  4. On a $P(I) = \dfrac{800}{1\,000} = 0{,}8$. Comme $P_S(I) = 0{,}8 = P(I)$ (ou encore $P(S) \times P(I) = 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}72 = P(S \cap I)$), les évènements $I$ et $S$ sont indépendants.
  5. Parmi les $200$ clients ayant acheté leur billet en agence, $180$ sont satisfaits, soit $\dfrac{180}{200} = 0{,}9 = 90\,\%$. L'affirmation du service marketing est donc exacte.

Exercice 2


$f(x) = -x^3 + 4{,}5\,x^2 - 6x + 2$ sur $[0\,;\,10]$.
  1. $f'(x) = -3x^2 + 2 \times 4{,}5\,x - 6 = -3x^2 + 9x - 6$.
  2. En développant : $(3x - 6)(1 - x) = 3x - 3x^2 - 6 + 6x = -3x^2 + 9x - 6 = f'(x)$.
  3. Sur $[0\,;\,10]$, $3x - 6$ s'annule en $x = 2$ (négatif avant, positif après) et $1 - x$ s'annule en $x = 1$ (positif avant, négatif après). Par la règle des signes d'un produit : $f'(x) < 0$ sur $[0\,;\,1[$, $f'(x) > 0$ sur $]1\,;\,2[$ et $f'(x) < 0$ sur $]2\,;\,10]$ (avec $f'(1) = f'(2) = 0$).

  4. On en déduit que $f$ est décroissante sur $[0\,;\,1]$, croissante sur $[1\,;\,2]$ puis décroissante sur $[2\,;\,10]$.

    Tableau de variations de f sur l'intervalle de 0 à 10 : f prime négative sur 0 à 1, nulle en 1, positive sur 1 à 2, nulle en 2, négative sur 2 à 10 ; f décroissante puis croissante puis décroissante.

Exercice 3

  1. Chaque année le club de basket perd $10$ adhérents, donc $B_1 = 900 - 10 = 890$. En $2026$, le club de basketball compte $890$ adhérents.
  2. La suite $\left(B_n\right)$ est arithmétique de premier terme $B_0 = 900$ et de raison $-10$, donc $B_n = 900 - 10n$.
  3. En $2035$, $n = 10$ et $B_{10} = 900 - 10 \times 10 = 800$. Le club a alors perdu $900 - 800 = 100$ adhérents, soit $\dfrac{100}{900} \approx 0{,}111 = 11{,}1\,\%$ de ses adhérents : c'est bien plus de $10\,\%$.
  4. Par lecture graphique, en $2028$ (soit $n = 3$), le club de handball compte environ $350$ adhérents.
  5. La relation $H_{n+1} = 1{,}2 \times H_n$ montre que la suite $\left(H_n\right)$ est géométrique de premier terme $H_0 = 200$ et de raison $q = 1{,}2$.
  6. Pour tout entier naturel $n$, $H_n = 200 \times 1{,}2^{\,n}$, et $B_n = 900 - 10n$. On compare les deux suites : pour $n = 7$, $H_7 = 200 \times 1{,}2^{\,7} \approx 717$ alors que $B_7 = 830$ (handball encore inférieur) ; pour $n = 8$, $H_8 = 200 \times 1{,}2^{\,8} \approx 860$ alors que $B_8 = 820$ (handball désormais supérieur). C'est donc à partir de $n = 8$, soit l'année 2033, que le club de handball compte plus d'adhérents que le club de basketball.
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