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Épreuve anticipée · sans spé

Épreuve anticipée maths (sans spé) — Amérique du Nord — 1er juin 2026

Amérique du Nord
Session 1er juin 2026
120 min
20 pts

Épreuve écrite anticipée de Mathématiques


Voie générale — enseignement scientifique (sans spécialité)
Amérique du Nord — 1er juin 2026
Durée : 2 heures
Notation sur 20 points
Calculatrice non autorisée

Partie 1 — Automatismes — 6 points

Remarque

Pour chaque question, aucune justification n'est demandée ; une seule réponse est exacte. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

  1. On veut comparer deux nombres réels $A$ et $B$. On sait que la différence $A - B$ est strictement positive. Alors :

    1. $A < B$
    2. $A > B$
    3. $A = B$
    4. on ne peut pas savoir.

  2. On considère le nombre $C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}$. On a :

    1. $C = 2$
    2. $C = \dfrac{35}{12}$
    3. $C = \dfrac{35}{2}$
    4. $C = 3$

  3. On considère le nombre $D = 3 \times 2^5 \times 2^3$. On a :

    1. $D = 3 \times 2^8$
    2. $D = 6^8$
    3. $D = 3 \times 2^{15}$
    4. $D = 7^8$

  4. On considère le nombre $E = 999 \times 1001$. Un ordre de grandeur de $E$ est :

    1. $1\,000$
    2. $10\,000$
    3. $100\,000$
    4. $1\,000\,000$

  5. Quand on développe $(x+2)^2$, on obtient :

    1. $x^2 + 4x + 4$
    2. $2x + 4$
    3. $x^2 + 4$
    4. $x^2 - 4$

  6. L'équation $3x - 5 = x + 3$ a pour solution :

    1. $x = -4$
    2. $x = 8$
    3. $x = 6$
    4. $x = 4$

  7. Dans une boîte de $60$ chocolats, $40\,\%$ sont des chocolats au lait. Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boîte ?

    1. $20$
    2. $24$
    3. $25$
    4. $40$

  8. Le taux d'évolution équivalent à une baisse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $20\,\%$ est :

    1. $-38\,\%$
    2. $-30\,\%$
    3. $-28\,\%$
    4. $-18\,\%$

  9. Une droite est représentée ci-dessous. L'équation réduite de cette droite est :

    Droite décroissante dans un repère orthonormé, passant par le point (0 ; 3) sur l'axe des ordonnées et coupant l'axe des abscisses en x = 1,5.
    1. $y = -2x + 3$
    2. $y = 3x + 1{,}5$
    3. $y = -0{,}5x + 3$
    4. $y = -2x + 1{,}5$

  10. En physique, l'énergie cinétique d'un véhicule est donnée par la formule $E = \dfrac{1}{2}mv^2$, où $m$ représente la masse du véhicule et $v$ sa vitesse. On souhaite exprimer $v$ en fonction de $E$ et $m$. Une expression de $v$ est :

    1. $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$
    2. $v = \dfrac{2E}{m}$
    3. $v = \sqrt{E - \dfrac{1}{2}m}$
    4. $v = \sqrt{2mE}$

  11. Une fonction $h$ définie sur $[-3~;~4]$ est représentée ci-dessous. L'équation $h(x) = 2$ a pour ensemble solution :

    Courbe d'une fonction h sur [-3 ; 4] dans un repère orthonormé : élevée à gauche, descendant vers un minimum proche de -4 vers x = 0, remontant vers un maximum proche de 3 vers x = 2,5 puis chutant. La droite horizontale y = 2 la coupe en x = -2, x = 2 et x = 3.
    1. $\mathcal{S} = \{2\}$
    2. $\mathcal{S} = \{-2~;~2~;~3\}$
    3. $\mathcal{S} = [-2~;~3]$
    4. $\mathcal{S} = \{-0{,}5~;~0{,}5\}$

  12. Un élève a obtenu une série de trois notes $9~;~11~;~13$ en mathématiques. Il en a calculé la moyenne et la médiane. Il obtient deux nouvelles notes, $10$ et $17$, et constitue ainsi la nouvelle série $9~;~10~;~11~;~13~;~17$. Laquelle des quatre propositions est vraie ?

    1. Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.
    2. Les moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.
    3. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.
    4. Les moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.

Partie 2 — 14 points

Exercice 1 — 5 points


En juin $2019$, une population de $200$ marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue souhaite modéliser l'évolution de cette population au cours du temps. Il constate qu'entre juin $2019$ et juin $2020$, la population a augmenté de $20$ individus.

Partie A : premier modèle


Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de $20$ individus tous les ans. On note alors $u_n$ la population de marmottes estimée par ce modèle en juin $2019 + n$. On a $u_0 = 200$.
  1. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
  2. À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin $2025$ ?
  3. En juin $2025$, un nouveau décompte indique que la population était de $355$ individus. Ce premier modèle semble-t-il adapté à la situation ?

Partie B : second modèle

  1. On rappelle que la population de marmottes était de $200$ individus en juin $2019$ et de $220$ en juin $2020$. De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?

Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. On représente alors la population en juin $2019 + n$ par $v_n$, tel que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 1{,}1 \times v_n$.

    1. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

  2. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(v_n)$.

      A B C D E F G H I J K L
    1 $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
    2 $v(n)$ $200$ $220$ $242$ $266$ $293$ $322$ $354$ $390$ $429$ $472$ $519$
    1. Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin $2025$ ?
    2. En utilisant la donnée de la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?
    3. Au mois de juin de quelle année la population de marmottes aura-t-elle dépassé $400$ individus, selon ce modèle ?

Exercice 2 — 5 points


Les $200$ adhérents d'une salle de sport ne pratiquent qu'une seule activité parmi le step et le crossfit. La répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.
  Step Crossfit Total
Homme $20$ $80$ $100$
Femme $60$ $40$ $100$
Total $80$ $120$ $200$

On choisit un adhérent au hasard parmi les $200$ adhérents. On considère les évènements : $F$ « l'adhérent est une femme », $H$ « l'adhérent est un homme », $S$ « l'adhérent pratique le step », $C$ « l'adhérent pratique le crossfit ».

  1. Déterminer la probabilité $P(F)$ de l'évènement $F$.
  2. Déterminer la probabilité que l'adhérent soit un homme qui pratique le step.
  3. Déterminer la probabilité de l'évènement $F \cap S$.
  4. Les évènements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
  5. On choisit au hasard une femme parmi les adhérents. Quelle est la probabilité qu'elle pratique le crossfit ?
  6. Déterminer la probabilité $P_C(F)$.

Exercice 3 — 4 points


On considère ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-2~;~4]$. On a également tracé sa tangente au point $A$ d'abscisse $-1$.
Parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 9), passant par (-2 ; 0) et (4 ; 0), avec sa tangente bleue au point A de coordonnées (-1 ; 5).

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de :

    1. $f(3)$
    2. $f'(-1)$

  2. On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-2~;~4]$ par $f(x) = -x^2 + 2x + 8$.

    1. Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[-2~;~4]$.
    2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2~;~4]$.
  3. Donner les variations de $f$ sur $[-2~;~4]$.

Corrigé

Partie 1 — Automatismes

  1. Réponse b. Si $A - B > 0$, alors $A > B$.
  2. Réponse d. $C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
  3. Réponse a. $D = 3 \times 2^5 \times 2^3 = 3 \times 2^{5+3} = 3 \times 2^8$.
  4. Réponse d. $E = 999 \times 1001 \approx 1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000$.
  5. Réponse a. $(x+2)^2 = x^2 + 2 \times 2 \times x + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
  6. Réponse d. $3x - 5 = x + 3 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4$.
  7. Réponse b. $40\,\%$ de $60$ vaut $0{,}4 \times 60 = 24$.
  8. Réponse c. Le coefficient global est $0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72$, soit une baisse de $28\,\%$.
  9. Réponse a. La droite coupe l'axe des ordonnées en $3$ (ordonnée à l'origine $3$) et est décroissante de pente $-2$ : $y = -2x + 3$.
  10. Réponse a. De $E = \dfrac{1}{2}mv^2$ on tire $v^2 = \dfrac{2E}{m}$, donc $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$ (avec $v > 0$).
  11. Réponse b. La droite $y = 2$ coupe la courbe en trois points d'abscisses $-2$, $2$ et $3$ : $\mathcal{S} = \{-2~;~2~;~3\}$.
  12. Réponse c. Première série : moyenne $\dfrac{9+11+13}{3} = 11$, médiane $11$. Seconde série : moyenne $\dfrac{60}{5} = 12$, médiane $11$. Les moyennes diffèrent, les médianes sont égales.

Partie 2

Exercice 1


Partie A : premier modèle
  1. La population augmente d'un nombre constant ($20$ individus) chaque année : $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 20$ et de premier terme $u_0 = 200$.
  2. Juin $2025$ correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$. On a $u_n = u_0 + nr = 200 + 20n$, donc $u_6 = 200 + 20 \times 6 = 320$. On estime la population à $320$ marmottes.
  3. Le modèle prévoit $320$ individus, alors que le décompte réel en donne $355$, soit un écart de $35$ marmottes. Le modèle sous-estime nettement la population : il ne semble pas adapté.

Partie B : second modèle

  1. L'augmentation est de $\dfrac{220 - 200}{200} = \dfrac{20}{200} = 0{,}10$, soit $10\,\%$.
    1. La relation $v_{n+1} = 1{,}1 \times v_n$ montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 1{,}1$ et de premier terme $v_0 = 200$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times q^n = 200 \times 1{,}1^n$.
    1. Juin $2025$ correspond à $n = 6$. D'après le tableur, $v_6 \approx 354$. On estime la population à environ $354$ marmottes.
    2. Le décompte réel de juin $2025$ donne $355$ individus, très proche des $354$ prévus par ce modèle : ce second modèle semble pertinent.
    3. D'après le tableur, $v_7 \approx 390 < 400$ et $v_8 \approx 429 > 400$. La population dépasse $400$ individus pour $n = 8$, c'est-à-dire en juin $2019 + 8 = 2027$.

Exercice 2

  1. Il y a $100$ femmes parmi les $200$ adhérents : $P(F) = \dfrac{100}{200} = 0{,}5$.
  2. Les hommes pratiquant le step sont au nombre de $20$ : $P(H \cap S) = \dfrac{20}{200} = 0{,}1$.
  3. Les femmes pratiquant le step sont au nombre de $60$ : $P(F \cap S) = \dfrac{60}{200} = 0{,}3$.
  4. On a $P(F) = 0{,}5$ et $P(S) = \dfrac{80}{200} = 0{,}4$, donc $P(F) \times P(S) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$. Comme $P(F \cap S) = 0{,}3 \neq 0{,}2$, les évènements $F$ et $S$ ne sont pas indépendants.
  5. Parmi les $100$ femmes, $40$ pratiquent le crossfit : $P_F(C) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4$.
  6. $P_C(F) = \dfrac{P(C \cap F)}{P(C)} = \dfrac{40/200}{120/200} = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.

Exercice 3

    1. Par lecture graphique, $f(3) = 5$.
    2. $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$. Cette tangente passe par $A(-1~;~5)$ et par le point d'ordonnée à l'origine $(0~;~9)$, donc son coefficient directeur est $\dfrac{9 - 5}{0 - (-1)} = 4$. Ainsi $f'(-1) = 4$.
    1. $f(x) = -x^2 + 2x + 8$, donc $f'(x) = -2x + 2$ pour tout $x \in [-2~;~4]$. (On vérifie : $f'(-1) = -2 \times (-1) + 2 = 4$, conforme à la lecture graphique.)
    2. $f'(x) = -2x + 2 = -2(x - 1)$. On a $f'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 1$, $f'(1) = 0$ et $f'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 1$. Ainsi $f'$ est positive sur $[-2~;~1[$, nulle en $1$ et négative sur $]1~;~4]$.

  3. La fonction $f$ est croissante sur $[-2~;~1]$ puis décroissante sur $[1~;~4]$. Elle admet un maximum en $x = 1$, avec $f(1) = -1 + 2 + 8 = 9$. On calcule aussi $f(-2) = 0$ et $f(4) = 0$.

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