Vérifier si un nombre est premier
Pour chacun des nombres suivants, dire s'il est premier ou non. Justifier la réponse.
- $ 87 $
- $ 91 $
- $ 97 $
- $ 119 $
- $ 131 $
Pour vérifier si un nombre $ n $ est premier, on teste sa divisibilité par tous les entiers à partir de $ 2 $ jusqu'à $ \sqrt{n} $.
La somme des chiffres de $ 87 $ est $ 8 + 7 = 15 $, qui est divisible par $ 3 $.
Donc $ 87 $ est divisible par $ 3 $ : $ 87 = 3 \times 29 $.
$ 87 $ possède plus de deux diviseurs, donc $ 87 $ n'est pas un nombre premier.
$ \sqrt{91} \approx 9{,}5 $, donc on teste les entiers de $ 2 $ à $ 9 $.
- $ 91 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 9 + 1 = 10 $, non divisible par $ 3 $, donc $ 91 $ n'est pas divisible par $ 3 $.
- $ 91 $ ne se termine pas par $ 0 $ ou $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 91 \div 7 = 13 $, donc $ 91 $ est divisible par $ 7 $ : $ 91 = 7 \times 13 $.
$ 91 $ possède plus de deux diviseurs, donc $ 91 $ n'est pas un nombre premier.
$ \sqrt{97} \approx 9{,}8 $, donc on teste les entiers de $ 2 $ à $ 9 $.
- $ 97 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 9 + 7 = 16 $, non divisible par $ 3 $, donc $ 97 $ n'est pas divisible par $ 3 $.
- $ 97 $ ne se termine pas par $ 0 $ ou $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 97 \div 7 \approx 13{,}86 $, donc $ 97 $ n'est pas divisible par $ 7 $.
Aucun entier de $ 2 $ à $ 9 $ ne divise $ 97 $, donc $ 97 $ est un nombre premier.
$ \sqrt{119} \approx 10{,}9 $, donc on teste les entiers de $ 2 $ à $ 10 $.
- $ 119 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 1 + 1 + 9 = 11 $, non divisible par $ 3 $, donc $ 119 $ n'est pas divisible par $ 3 $.
- $ 119 $ ne se termine pas par $ 0 $ ou $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 119 \div 7 = 17 $, donc $ 119 $ est divisible par $ 7 $ : $ 119 = 7 \times 17 $.
$ 119 $ possède plus de deux diviseurs, donc $ 119 $ n'est pas un nombre premier.
$ \sqrt{131} \approx 11{,}4 $, donc on teste les entiers de $ 2 $ à $ 11 $.
- $ 131 $ est impair, donc non divisible par $ 2 $.
- $ 1 + 3 + 1 = 5 $, non divisible par $ 3 $, donc $ 131 $ n'est pas divisible par $ 3 $.
- $ 131 $ ne se termine pas par $ 0 $ ou $ 5 $, donc non divisible par $ 5 $.
- $ 131 \div 7 \approx 18{,}7 $, donc $ 131 $ n'est pas divisible par $ 7 $.
- $ 131 \div 11 \approx 11{,}9 $, donc $ 131 $ n'est pas divisible par $ 11 $.
Aucun entier de $ 2 $ à $ 11 $ ne divise $ 131 $, donc $ 131 $ est un nombre premier.
Conjecture de Lemoine
En 1895, le mathématicien Émile Lemoine a formulé la conjecture suivante :
Conjecture de Lemoine
Tout nombre entier impair supérieur ou égal à $ 7 $ peut s'écrire sous la forme $ p + 2q $, où $ p $ et $ q $ sont deux nombres premiers (pas nécessairement distincts).
On rappelle que les premiers nombres premiers sont : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $, $ 11 $, $ 13 $, $ 17 $, $ 19 $, $ 23 $, $ 29 $, $ 31 $, $ 37 $, $ 41 $, $ 43 $, $ 47 $.
- Vérifier la conjecture pour $ 7 $, $ 11 $ et $ 15 $ en trouvant pour chacun une décomposition $ p + 2q $.
- Trouver toutes les décompositions possibles de $ 21 $ sous la forme $ p + 2q $ avec $ p $ et $ q $ premiers.
- Trouver toutes les décompositions possibles de $ 45 $ sous la forme $ p + 2q $ avec $ p $ et $ q $ premiers.
- Parmi les nombres impairs de $ 7 $ à $ 25 $, lequel admet le plus de décompositions ? Les donner toutes.
Pour $ 7 $ : $ 7 = 3 + 2 \times 2 $, avec $ p = 3 $ et $ q = 2 $ tous deux premiers.
Pour $ 11 $ : $ 11 = 5 + 2 \times 3 $, avec $ p = 5 $ et $ q = 3 $ premiers.
(On pouvait aussi écrire $ 11 = 7 + 2 \times 2 $.)
Pour $ 15 $ : $ 15 = 11 + 2 \times 2 $, avec $ p = 11 $ et $ q = 2 $ premiers.
(On pouvait aussi écrire $ 15 = 5 + 2 \times 5 $.)
On cherche tous les couples $ (p, q) $ de nombres premiers tels que $ p + 2q = 21 $, soit $ p = 21 - 2q $.
On teste les nombres premiers $ q $ tels que $ 2q < 21 $, c'est-à-dire $ q \leqslant 10 $ :
- $ q = 2 $ : $ p = 21 - 4 = 17 $, qui est premier, d'où $ 21 = 17 + 2 \times 2 $
- $ q = 3 $ : $ p = 21 - 6 = 15 = 3 \times 5 $, qui n'est pas premier
- $ q = 5 $ : $ p = 21 - 10 = 11 $, qui est premier, d'où $ 21 = 11 + 2 \times 5 $
- $ q = 7 $ : $ p = 21 - 14 = 7 $, qui est premier, d'où $ 21 = 7 + 2 \times 7 $
Les décompositions de $ 21 $ sont : $ 17 + 2 \times 2 $, $ 11 + 2 \times 5 $ et $ 7 + 2 \times 7 $ (trois décompositions).
On cherche $ p = 45 - 2q $ premier, avec $ q $ premier et $ q \leqslant 22 $ :
- $ q = 2 $ : $ p = 41 $, premier, d'où $ 45 = 41 + 2 \times 2 $
- $ q = 3 $ : $ p = 39 = 3 \times 13 $, non premier
- $ q = 5 $ : $ p = 35 = 5 \times 7 $, non premier
- $ q = 7 $ : $ p = 31 $, premier, d'où $ 45 = 31 + 2 \times 7 $
- $ q = 11 $ : $ p = 23 $, premier, d'où $ 45 = 23 + 2 \times 11 $
- $ q = 13 $ : $ p = 19 $, premier, d'où $ 45 = 19 + 2 \times 13 $
- $ q = 17 $ : $ p = 11 $, premier, d'où $ 45 = 11 + 2 \times 17 $
- $ q = 19 $ : $ p = 7 $, premier, d'où $ 45 = 7 + 2 \times 19 $
Les décompositions de $ 45 $ sont au nombre de six : $ 41 + 2 \times 2 $, $ 31 + 2 \times 7 $, $ 23 + 2 \times 11 $, $ 19 + 2 \times 13 $, $ 11 + 2 \times 17 $ et $ 7 + 2 \times 19 $.
Comptons les décompositions pour chaque nombre impair de $ 7 $ à $ 25 $ :
- $ 7 = 3 + 2 \times 2 $ : 1 décomposition
- $ 9 = 5 + 2 \times 2 $ ou $ 3 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
- $ 11 = 7 + 2 \times 2 $ ou $ 5 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
- $ 13 = 3 + 2 \times 5 $ ou $ 7 + 2 \times 3 $ : 2 décompositions
- $ 15 $ : $ q = 2, p = 11 $ (premier) et $ q = 5, p = 5 $ (premier), soit 2 décompositions
- $ 17 $ : $ q = 2, p = 13 $ (premier), $ q = 3, p = 11 $ (premier), $ q = 5, p = 7 $ (premier), soit 3 décompositions
- $ 19 $ : $ q = 3, p = 13 $ (premier) et $ q = 7, p = 5 $ (premier), soit 2 décompositions
- $ 21 $ : 3 décompositions (voir question 2)
- $ 23 $ : $ q = 2, p = 19 $ (premier), $ q = 3, p = 17 $ (premier), $ q = 5, p = 13 $ (premier), soit 3 décompositions
- $ 25 $ : $ q = 3, p = 19 $ (premier), $ q = 7, p = 11 $ (premier), $ q = 11, p = 3 $ (premier), soit 3 décompositions
Les nombres $ 17 $, $ 21 $, $ 23 $ et $ 25 $ admettent chacun 3 décompositions, ce qui est le maximum sur cet intervalle.
Par exemple, pour $ 23 $ : $\mathbf{23 = 19 + 2 \times 2 = 17 + 2 \times 3 = 13 + 2 \times 5}$.
Code d’accès d’un coffre-fort
Le code d'accès d'un coffre-fort est un nombre à quatre chiffres $ \overline{abcd} $ (c'est-à-dire le nombre dont le chiffre des milliers est $ a $, le chiffre des centaines est $ b $, le chiffre des dizaines est $ c $ et le chiffre des unités est $ d $) vérifiant toutes les conditions suivantes :
- Les quatre chiffres $ a $, $ b $, $ c $ et $ d $ sont tous des nombres premiers à un chiffre.
- Le premier chiffre $ a $ est impair.
- Le produit $ a \times b $ est égal à $ 6 $.
- La somme des quatre chiffres vaut $ 12 $.
- Le chiffre $ c $ est strictement supérieur au chiffre $ d $.
- Le nombre $ \overline{abcd} $ est pair.
- Quels sont les nombres premiers à un chiffre ? Parmi eux, lequel est pair ?
- Justifier que $ d = 2 $.
- En utilisant la condition sur le produit $ a \times b $, déterminer les valeurs possibles du couple $ (a ; b) $.
- À l'aide de la condition sur $ a $, en déduire les valeurs de $ a $ et $ b $.
- Déterminer le chiffre $ c $, puis donner le code $ \overline{abcd} $.
Les nombres premiers à un chiffre sont : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.
Parmi eux, le seul nombre pair est $\mathbf{2}$.
Le nombre $ \overline{abcd} $ est pair, donc son chiffre des unités $ d $ est pair.
Or $ d $ doit être un nombre premier à un chiffre, et le seul nombre premier pair est $ 2 $.
Donc $\mathbf{d = 2}$.
On cherche $ a $ et $ b $ parmi $ \{2 ; 3 ; 5 ; 7\} $ tels que $ a \times b = 6 $.
On teste les produits possibles :
- $ 2 \times 3 = 6 $ : convient
- $ 3 \times 2 = 6 $ : convient
- Tous les autres produits de deux éléments de $ \{2 ; 3 ; 5 ; 7\} $ sont différents de $ 6 $ (par exemple $ 2 \times 5 = 10 $, $ 2 \times 7 = 14 $, $ 3 \times 5 = 15 $, etc.).
Les couples possibles sont donc $ (a ; b) = (2 ; 3) $ ou $ (a ; b) = (3 ; 2) $.
La condition impose que $ a $ est impair. Or $ 2 $ est pair et $ 3 $ est impair.
Donc $ a = 3 $ et $ b = 2 $.
La somme des quatre chiffres vaut $ 12 $, donc :
$ c = 12 - a - b - d = 12 - 3 - 2 - 2 = 5 $
Vérifions : $ 5 $ est bien un nombre premier à un chiffre et $ c = 5 > 2 = d $, ce qui est bien le cas.
Le code est $\mathbf{\overline{abcd} = 3252}$.
Vrai/Faux : Nombres premiers
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : La décomposition de $90$ en produit de facteurs premiers est $90 = 2 \times 5 \times 9$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! $9$ n'est pas un nombre premier ($9 = 3 \times 3$). La décomposition correcte en facteurs premiers est $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est d'accepter $9$ comme facteur premier alors que $9 = 3 \times 3$ est composé.
$90 = 2 \times 5 \times 9$ est bien une égalité vraie, mais $9 = 3 \times 3$ n'est pas un nombre premier. La décomposition correcte est $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $9$ n'est pas un nombre premier car $9 = 3 \times 3$. La décomposition correcte de $90$ en facteurs premiers est $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Il n'existe aucun nombre premier compris entre 24 et 28.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! $24$ (div. par $2$), $25 = 5 \times 5$, $26$ (div. par $2$), $27 = 3 \times 9$, $28$ (div. par $2$) : aucun n'est premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas tester tous les nombres de l'intervalle, ou de confondre un nombre impair avec un nombre premier.
Vérifions : $24$ (div. par $2$), $25$ (div. par $5$), $26$ (div. par $2$), $27$ (div. par $3$), $28$ (div. par $2$). Aucun n'est premier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Aucun entier entre $24$ et $28$ n'est premier : $24$, $26$, $28$ sont pairs, $25 = 5^2$ et $27 = 3^3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Un nombre impair est toujours un nombre premier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! Par exemple, $9$, $15$ et $21$ sont impairs mais pas premiers : $9 = 3 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $21 = 3 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de raisonner ainsi : « ce n'est pas pair, donc c'est premier » — être impair est nécessaire (sauf pour $2$) mais pas suffisant.
Par exemple, $9$, $15$ et $21$ sont des nombres impairs mais ne sont pas premiers : $9 = 3 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $21 = 3 \times 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Un nombre impair peut avoir des diviseurs autres que $1$ et lui-même. Exemples : $9 = 3 \times 3$, $15 = 3 \times 5$, $21 = 3 \times 7$ sont impairs mais pas premiers.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le nombre $18$ a exactement deux diviseurs premiers.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! Les diviseurs de $18$ sont $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$. Parmi eux, seuls $2$ et $3$ sont premiers, soit exactement deux.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de compter tous les diviseurs de $18$ (il y en a $6$) au lieu de ne compter que les diviseurs qui sont des nombres premiers.
La décomposition de $18$ est $18 = 2 \times 3^2$. Ses diviseurs premiers sont $2$ et $3$ — exactement deux.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La décomposition de $18$ en facteurs premiers est $18 = 2 \times 3^2$. Les seuls diviseurs premiers de $18$ sont donc $2$ et $3$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $721$ est un nombre premier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! $721 = 7 \times 103$, donc $721$ n'est pas un nombre premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de supposer qu'un grand nombre impair dont les premiers chiffres ne révèlent pas de diviseur évident est forcément premier.
$721 = 7 \times 103$ : il admet $7$ et $103$ comme diviseurs, ce n'est donc pas un nombre premier.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $721$ n'est pas premier car $721 = 7 \times 103$ : il possède des diviseurs autres que $1$ et lui-même.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Le produit de deux nombres premiers peut être un nombre premier.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct ! Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers, $p \times q$ possède au moins les diviseurs $1$, $p$, $q$ et $p \times q$ : il n'est donc pas premier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne pas remarquer que le produit $p \times q$ est automatiquement divisible par $p$ et par $q$, ce qui lui donne déjà plus de deux diviseurs.
Si $p$ et $q$ sont premiers, $p \times q$ a au moins $4$ diviseurs ($1$, $p$, $q$, $p \times q$). Un nombre premier n'en a que $2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Si $p$ et $q$ sont deux nombres premiers, alors $p \times q$ admet au moins $4$ diviseurs : $1$, $p$, $q$ et $p \times q$. Un nombre premier n'a exactement que $2$ diviseurs.
[/solution]
[/etape]
