[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements dont les probabilités sont données par le tableau ci-dessous :

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{3}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
D'après le tableau : $p(A \cap B) = 0{,}6$ et $p(B) = 0{,}8$, donc :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre $p_B(A)$ et $p_A(B)$, ou de diviser par $p(A)$ au lieu de $p(B)$.
$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = \dfrac{3}{4}$.
C'est bien $\dfrac{3}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. D'après le tableau, $p(A \cap B) = 0{,}6$ et $p(B) = 0{,}8$, donc $p_B(A) = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = \dfrac{3}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ et $B$ deux événements suivant l'arbre de probabilités ci-dessous :

Affirmation : $p_A(B) = 0{,}56$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par lecture directe sur l'arbre, $p_A(B) = 0{,}8$.
C'est $p(A \cap B)$ qui vaut $0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56$, pas $p_A(B)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de confondre la probabilité conditionnelle $p_A(B)$ (qui se lit directement sur l'arbre) avec la probabilité de l'intersection $p(A \cap B)$ (qui se calcule en multipliant les probabilités le long d'un chemin).
La probabilité $p_A(B)$ se lit directement sur la branche $B$ issue de $A$ : $p_A(B) = 0{,}8$.
$0{,}56 = p(A) \times p_A(B) = 0{,}7 \times 0{,}8$ est la probabilité de $A \cap B$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La probabilité conditionnelle $p_A(B)$ se lit directement sur la branche : $p_A(B) = 0{,}8$. La valeur $0{,}56$ correspond à $p(A \cap B) = 0{,}7 \times 0{,}8$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements tels que :

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !

La probabilité est $\dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de diviser $p(A \cap B) = 0{,}2$ par $p(A) = 0{,}4$ au lieu de $p(B) = 0{,}6$.
$p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. On calcule $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère l'arbre de probabilités incomplet ci-dessous :

Affirmation : La probabilité manquante est $p_A(B) = 0{,}7$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$ :

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier que les probabilités conditionnelles sur les branches issues d'un même nœud doivent sommer à $1$.
Les probabilités sur les branches issues d'un même nœud somment à $1$ :
$p_A(B) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut $1$ : $p_A(B) = 1 - p_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On lance un dé équilibré à six faces et on note :
$A$ : « le résultat est un nombre pair »
$B$ : « le résultat est supérieur ou égal à $3$ »

Affirmation : $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$A = \{2~; 4~; 6\}$, $B = \{3~; 4~; 5~; 6\}$, $A \cap B = \{4~; 6\}$

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de prendre $p(A) = \dfrac{1}{2}$ directement sans tenir compte du conditionnement par $B$.
$A \cap B = \{4~; 6\}$, $p(A \cap B) = \dfrac{1}{3}$ et $p(B) = \dfrac{2}{3}$.
Donc $p_B(A) = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A \cap B = \{4~; 6\}$, $p(A \cap B) = \dfrac{1}{3}$, $p(B) = \dfrac{2}{3}$, donc $p_B(A) = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$A$ et $B$ sont deux événements dont les probabilités sont données par le tableau incomplet ci-dessous :

Affirmation : $p_A(B) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On complète le tableau : $p(\overline{A}) = 0{,}6$, donc $p(A) = 0{,}4$.
Comme $p(A \cap \overline{B}) = 0{,}2$, on a $p(A \cap B) = p(A) - p(A \cap \overline{B}) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$.

[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de ne pas compléter le tableau correctement avant de calculer la probabilité conditionnelle.
$p(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ et $p(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$.
Donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \dfrac{1}{2}$.
C'est bien vrai.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. On complète : $p(A) = 0{,}4$, $p(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$, donc $p_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} = \dfrac{1}{2}$.
[/solution]
[/etape]