QCM Bilan : Second degré

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : inéquations, somme et produit des racines, paramètre et cas subtils. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 - 5x + 6 > 0$ ?
[qcm]
[option]$]2~;~3[$[/option]
[option]$[2~;~3]$[/option]
[option correct="true"]$]{-}\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$[/option]
[option]$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$.
Avec $a = 1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
L'inégalité est stricte, donc les bornes $2$ et $3$ sont exclues : $S = ]-\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$]2~;~3[$"]Non.
Entre les racines, le trinôme est du signe opposé à $a$. Avec $a > 0$, il est donc négatif entre $2$ et $3$ — ce n'est pas là qu'il est strictement positif.[/reponse]
[reponse motif="$[2~;~3]$"]Non.
Deux erreurs ici : on cherche la zone où le trinôme est positif (pas négatif), et les bornes ne doivent pas être incluses car l'inégalité est stricte.[/reponse]
[reponse motif="$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$"]Non.
La zone extérieure aux racines est bien correcte, mais l'inégalité est stricte : aux bornes, $f(2) = 0$ et $f(3) = 0$, donc $f > 0$ n'y est pas vérifié. Utiliser des crochets ouverts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver les racines, déterminer le signe du trinôme selon le signe de $a$, puis adapter les bornes à l'inégalité stricte ou large.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $1$ est une racine du trinôme $2x^2 - 5x + c$, où $c$ est un nombre réel. Que vaut $c$ ?
[qcm]
[option]$c = -3$[/option]
[option]$c = 5$[/option]
[option correct="true"]$c = 3$[/option]
[option]$c = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dire que $1$ est une racine signifie que le trinôme s'annule en $1$ :
$2 \times 1^2 - 5 \times 1 + c = 0$, soit $2 - 5 + c = 0$, donc $c = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$c = -3$"]Non.
En remplaçant par $x = 1$, on obtient $2 - 5 + c = 0$, soit $-3 + c = 0$. On en déduit $c = +3$ (et non $-3$) : $c$ doit compenser $-3$, donc être positif.[/reponse]
[reponse motif="$c = 5$"]Non.
Il n'y a pas de raison de prendre $c$ égal au coefficient de $x$. Remplacer $x$ par $1$ dans le trinôme et écrire que le résultat vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$c = 7$"]Non.
Erreur de signe lors du remplacement : $2 \times 1^2 = 2$ (et non $-2$), et $-5 \times 1 = -5$. L'équation à résoudre est $2 - 5 + c = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition d'une racine : remplacer $x$ par la valeur donnée et écrire que le trinôme vaut $0$, puis résoudre en $c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelles valeurs du réel $m$ le trinôme $x^2 + 2mx + 1$ n'admet-il aucune racine réelle ?
[qcm]
[option correct="true"]$m \in ]{-}1~;~1[$[/option]
[option]$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$[/option]
[option]$m > 1$[/option]
[option]$m \neq 1$ et $m \neq -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec $a = 1$, $b = 2m$ et $c = 1$, le discriminant vaut $\Delta = (2m)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4m^2 - 4$.
Aucune racine réelle signifie $\Delta < 0$, soit $4m^2 - 4 < 0$, donc $m^2 < 1$, ce qui équivaut à $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$"]Non.
Signe inversé : on cherche $\Delta < 0$ (pas de racine), ce qui donne $m^2 < 1$. L'ensemble proposé correspond à $m^2 > 1$, soit le cas où le trinôme admet deux racines réelles.[/reponse]
[reponse motif="$m > 1$"]Non.
Il manque toute la partie négative de l'intervalle. L'inégalité $m^2 < 1$ est symétrique par rapport à $0$ et donne $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \neq 1$ et $m \neq -1$"]Non.
Exclure seulement les valeurs où $\Delta = 0$ (racine double) laisse passer les valeurs où $\Delta > 0$ (deux racines). Il faut chercher l'ensemble strict $\Delta < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$ en fonction de $m$, puis résoudre l'inéquation $\Delta < 0$ pour trouver l'ensemble des $m$ qui conviennent.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $x_1$ et $x_2$ les deux racines du trinôme $x^2 - 3x + 1$. Que vaut la somme $x_1 + x_2$ ?
[qcm]
[option]$-3$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ de discriminant strictement positif, la somme des racines vaut $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
Ici $a = 1$ et $b = -3$, donc $x_1 + x_2 = -\dfrac{-3}{1} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Le signe « moins » devant la fraction a été oublié : la formule est $-\dfrac{b}{a}$, donc $-\dfrac{-3}{1}$. Les deux signes se compensent.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Confusion avec la formule du produit : $-\dfrac{c}{a}$ n'est pas une formule standard. Le produit vaut $\dfrac{c}{a}$ et la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
C'est la valeur du produit des racines ($\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{1} = 1$), pas de leur somme. Utiliser la formule appropriée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule « somme des racines $= -\dfrac{b}{a}$ » en faisant attention au signe de $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On constate que $1$ est une racine évidente du trinôme $x^2 - 6x + 5$. Quelle est son autre racine ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le produit des racines vaut $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{1} = 5$.
Si $x_1 = 1$, alors $x_2 = \dfrac{5}{1} = 5$.
On peut aussi utiliser la somme : $x_1 + x_2 = -\dfrac{-6}{1} = 6$, donc $x_2 = 6 - 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Attention : si $-1$ était racine, on aurait $(-1)^2 - 6 \times (-1) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12 \neq 0$. Utiliser plutôt le produit ou la somme des racines pour déterminer la seconde racine.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = 5$ (positif). Comme l'une des racines est $1$ (positif), l'autre doit aussi être positive.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspond à la somme des racines $-\dfrac{b}{a}$, pas à la seconde racine. Si $x_1 + x_2 = 6$ et $x_1 = 1$, alors $x_2 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les relations entre coefficients et racines : la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $\dfrac{c}{a}$. Connaissant une racine, on en déduit l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $3x^2 \geqslant 2x + 1$ ?
[qcm]
[option]$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$[/option]
[option]$[1~;~+\infty[$[/option]
[option]$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]{-}\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On réécrit l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$.
$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$, donc $\sqrt{\Delta} = 4$.
Racines : $x_1 = \dfrac{2 - 4}{6} = -\dfrac{1}{3}$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{6} = 1$.
Comme $a = 3 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Avec l'inégalité large, les bornes sont incluses : $S = \left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$"]Non.
C'est l'intervalle où le trinôme est négatif (entre les racines). On cherche ici où il est positif ou nul, c'est-à-dire à l'extérieur des racines.[/reponse]
[reponse motif="$[1~;~+\infty[$"]Non.
Il manque toute la partie à gauche de $-\dfrac{1}{3}$ : le trinôme est aussi positif pour $x$ petit. Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur des racines, c'est-à-dire à gauche et à droite.[/reponse]
[reponse motif="$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$"]Non.
Les racines ont été échangées ou mal calculées. Après avoir mis l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer $\Delta$, puis les racines avec $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ramener tout d'un même côté pour obtenir $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer les racines, puis utiliser le fait que le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Second degré – cas limites et paramètres

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, qui combine plusieurs propriétés du trinôme du second degré, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si un trinôme $ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) admet $0$ comme racine, alors nécessairement $c = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Si $0$ est racine, alors $a \times 0^2 + b \times 0 + c = 0$, ce qui donne $c = 0$.
Réciproquement, un trinôme sans terme constant admet toujours $0$ comme racine.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $x_0$ est racine signifie $f(x_0) = 0$.
En remplaçant $x$ par $0$ dans $ax^2 + bx + c$, tous les termes dépendant de $x$ s'annulent, il ne reste que $c$. Donc $c = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f(0) = c$, donc si $0$ est racine alors $c = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère une fonction polynôme $f$ du second degré dont la courbe représentative passe par les points $A(1~;~0)$ et $B(5~;~0)$.

Affirmation : L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x = 3$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les points $A$ et $B$ correspondent aux racines de $f$ (ordonnée $0$). L'axe de symétrie d'une parabole passe par le milieu de ses racines.
$x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ : l'axe est bien $x = 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'essayer de calculer $-\dfrac{b}{2a}$ sans utiliser une propriété plus directe : l'axe de symétrie d'une parabole passe par le milieu de ses racines.
Milieu de $1$ et $5$ : $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $A$ et $B$ étant les points où la courbe coupe l'axe des abscisses, l'axe de symétrie passe par leur milieu : $x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $m$ non nul, l'équation $mx^2 + 2x + 1 = 0$ admet au moins une solution réelle.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le discriminant vaut $\Delta = 4 - 4m$. Si $m > 1$, alors $\Delta < 0$, donc l'équation n'a aucune solution réelle.
Par exemple, pour $m = 2$ : $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : l'existence de solutions dépend du signe du discriminant, pas seulement de la non-nullité de $a$.
Ici $\Delta = 4 - 4m$, qui devient strictement négatif dès que $m > 1$. Dans ce cas, aucune solution réelle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\Delta = 4 - 4m$ : pour $m > 1$, $\Delta < 0$ et l'équation n'a aucune solution réelle (contre-exemple : $m = 2$).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $f(x) = x^2 + bx + c$. Si $b^2 < 4c$, alors $f(x) > 0$ pour tout réel $x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La condition $b^2 < 4c$ équivaut à $\Delta = b^2 - 4c < 0$ : le trinôme n'a aucune racine réelle.
Il garde donc un signe constant, celui de $a = 1 > 0$. Conclusion : $f(x) > 0$ pour tout $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : $b^2 < 4c$ signifie exactement $\Delta < 0$. Sans racine, le trinôme garde le signe de son coefficient dominant.
Ici $a = 1 > 0$, donc $f$ est strictement positif partout.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $b^2 < 4c$ équivaut à $\Delta < 0$. Comme $a = 1 > 0$, $f$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux fonctions polynômes du second degré qui ont le même discriminant ont nécessairement les mêmes racines.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
Le discriminant ne suffit pas à déterminer les racines : celles-ci s'expriment par $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ et dépendent aussi de $a$ et $b$.
Contre-exemple : $x^2 - 4$ et $x^2 + 4x$ ont tous deux pour discriminant $\Delta = 16$, mais les racines sont $\pm 2$ d'un côté et $0~;~-4$ de l'autre.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « même discriminant » et « mêmes racines » : les racines dépendent aussi des coefficients $a$ et $b$, pas seulement de $\Delta$.
Contre-exemple : $x^2 - 4$ (racines $\pm 2$) et $x^2 + 4x$ (racines $0$ et $-4$) ont le même $\Delta = 16$ mais pas les mêmes racines.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les racines dépendent de $a$, $b$ et $\Delta$. Contre-exemple : $x^2 - 4$ et $x^2 + 4x$ ont le même $\Delta = 16$ mais des racines différentes.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Un trinôme dont la somme des racines vaut $4$ et le produit vaut $4$ admet $2$ comme racine double.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Un trinôme unitaire avec somme $S = 4$ et produit $P = 4$ s'écrit $x^2 - Sx + P = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Son unique racine (double) est donc bien $2$. On vérifie : $\Delta = 16 - 16 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : si $x_1$ et $x_2$ sont les racines (éventuellement confondues) d'un trinôme unitaire, alors le trinôme se factorise en $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - Sx + P$ avec $S = x_1 + x_2$ et $P = x_1 x_2$.
Avec $S = 4$ et $P = 4$ : $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, racine double $2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le trinôme $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ admet bien $2$ comme racine double ($\Delta = 0$).
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Forme canonique, somme et produit des racines

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la forme canonique et les relations entre coefficients et racines, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2(x - 1)^2 + 3$.

Affirmation : $f$ admet un minimum égal à $3$, atteint en $x = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$f$ est donnée sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a = 2$, $\alpha = 1$ et $\beta = 3$.
Comme $a > 0$, la fonction admet un minimum $\beta = 3$ atteint en $\alpha = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une forme $a(x - \alpha)^2 + \beta$, l'extremum vaut $\beta$ et est atteint en $\alpha$. Le signe de $a$ détermine s'il s'agit d'un minimum ($a > 0$) ou d'un maximum ($a < 0$).
Ici $a = 2 > 0$ : on a bien un minimum, égal à $3$, en $x = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La forme canonique $2(x - 1)^2 + 3$ avec $a = 2 > 0$ indique un minimum $\beta = 3$ atteint en $\alpha = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $g$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

Affirmation : Le minimum de $g$ sur $\mathbb{R}$ vaut $-4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
L'abscisse du sommet est $x_S = -\dfrac{-6}{2} = 3$, et $g(3) = 9 - 18 + 5 = -4$.
Comme $a = 1 > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $-4$ est bien le minimum de $g$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de confondre l'abscisse du sommet et la valeur du minimum. L'extremum s'obtient en calculant $g(x_S)$.
Ici $x_S = 3$ et $g(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ : c'est bien le minimum.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Forme canonique : $g(x) = (x - 3)^2 - 4$. Le minimum vaut donc $-4$, atteint en $x = 3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La forme canonique de $h(x) = 2x^2 - 8x + 10$ est $h(x) = 2(x - 2)^2 + 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On factorise $2$ dans les deux premiers termes : $h(x) = 2(x^2 - 4x) + 10 = 2\bigl((x - 2)^2 - 4\bigr) + 10 = 2(x - 2)^2 - 8 + 10 = 2(x - 2)^2 + 2$.
On peut vérifier en développant : $2(x - 2)^2 + 2 = 2(x^2 - 4x + 4) + 2 = 2x^2 - 8x + 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il ne faut pas oublier de factoriser le coefficient $a$ avant de passer à la forme canonique.
En développant : $2(x - 2)^2 + 2 = 2x^2 - 8x + 8 + 2 = 2x^2 - 8x + 10$. La forme proposée est donc correcte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $h(x) = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 10 = 2(x - 2)^2 - 8 + 10 = 2(x - 2)^2 + 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'équation $x^2 - 7x + 12 = 0$ admet deux solutions dont la somme est $7$ et le produit $12$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ avec deux racines $x_1$ et $x_2$ : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Ici $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$ : la somme vaut $7$ et le produit $12$. (On retrouve d'ailleurs les racines $3$ et $4$.)[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe de $b$ dans la formule de la somme : la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$. Ici $b = -7$, donc $-\dfrac{-7}{1} = 7$.
Le produit vaut $\dfrac{c}{a} = 12$. Les deux relations sont donc correctes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Somme des racines $= -\dfrac{b}{a} = 7$, produit $= \dfrac{c}{a} = 12$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On considère un trinôme de la forme $x^2 + bx + c$ dont les racines sont $2$ et $-5$. Alors $b = -3$ et $c = -10$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La somme des racines vaut $2 + (-5) = -3$, et elle est égale à $-b$. Donc $b = 3$, et non $-3$.
Le produit vaut $2 \times (-5) = -10 = c$ : cette partie est correcte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur classique est d'oublier le signe « moins » dans la relation $x_1 + x_2 = -b$ (pour un trinôme $x^2 + bx + c$).
Somme $= -3 = -b$ donne $b = 3$ (et non $-3$). Le produit $-10 = c$ est par contre correct.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La somme vaut $-3 = -b$, donc $b = 3$ et non $-3$. Le produit $c = -10$ est lui correct. Le trinôme cherché est $x^2 + 3x - 10$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $a > 0$.

Affirmation : La fonction $f$ admet pour maximum $\beta$, atteint en $x = \alpha$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le signe du coefficient $a$ détermine la nature de l'extremum : avec $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut et $f$ admet un minimum $\beta$, pas un maximum.
C'est lorsque $a < 0$ que $\beta$ est un maximum.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la nature de l'extremum dépend du signe de $a$.
Pour $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut et $f$ admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $\alpha$. Un maximum correspond au cas $a < 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Avec $a > 0$, $f$ admet un minimum égal à $\beta$ en $x = \alpha$. Le maximum correspond au cas $a < 0$.
[/solution]
[/etape]

Second degré (Olympiades académiques Poitiers 2011)

Bob : « Salut Alice ! Tiens, c'est un trinôme du second degré que tu as écrit dans la marge de ta feuille.
Quelles en sont les racines ? »

Alice : « Ce sont deux entiers positifs. L'une des racines est mon âge, et l'autre est l'âge de mon petit frère Clément. »

Bob : « C'est amusant ! Voyons si je peux deviner quel âge vous avez, Clément et toi. Cela ne devrait pas être trop difficile, puisque les coefficients sont entiers. Je crois deviner ton âge, il me suffit de vérifier en remplaçant $ x $ par ce nombre. . .
Zut ! Cela donne $ - 55 $ au lieu de $ 0 $. »

Alice : « C'est que je n'ai pas cet âge là !. . . »

Bob : « Sans doute. A propos, si je remplace $ x $ par $ 1 $ j'obtiens la somme des coefficients. »

Alice : « Effectivement ! Il faut aussi que tu saches que cette somme est égale à mon âge moins un. »
David qui a tout entendu, donne alors l'âge de Clément et celui d'Alice.

Prouver que Clément est âgé de 2 ans.
Déterminer l'âge d'Alice, sachant qu'elle a entre 10 et 50 ans.

Corrigé

Soient $ X_A $ l'âge d'Alice et $ X_C $ celui de Clément. $ X_A $ et $ X_C \in \mathbb{N}^* $ et sont solutions de l'équation générale du second degré :

$ a(x-X_A)(x-X_C) = 0 $

qui peut encore s'écrire sous forme de trinôme :

$ ax^2 - a(X_A+X_C)x + aX_A X_C = 0 $

avec $ a \in \mathbb{Z}^* $ puisque les coefficients sont entiers.

Par ailleurs, on sait d'après l'énoncé que pour $ x = 1 $ la somme des coefficients du trinôme est égale à $ X_A - 1 $, ce qui revient à dire que :

$ a(1-X_A)(1-X_C) = X_A - 1 $

qui peut s'écrire :

$ (X_A - 1)[a(X_C - 1) - 1] = 0 $

Il est évident que $ X_A \neq 1 $. Donc on doit avoir $ a(X_C - 1) - 1 = 0 $, ou encore, puisque $ a \neq 0 $ :

$ X_C = \dfrac{a+1}{a} $

La seule solution possible en nombres entiers est $ a = 1 $ et $ X_C = 2 $.
Clément a donc 2 ans.
Le trinôme du second degré s'écrit, en tenant compte que $ a = 1 $ et $ X_C = 2 $ :

$ x^2 - (X_A + 2)x + 2X_A $

On sait d'après l'énoncé qu'il existe une valeur $ X $ de $ x $, avec $ X \in \mathbb{N}^* $ et $ X \neq X_A $, telle que :

$ X^2 - (X_A + 2)X + 2X_A = -55 $

Posons $ X = X_A + n $ avec $ n \in \mathbb{Z}^* $. L'égalité ci-dessus s'écrit :

$ (X_A + n)^2 - (X_A + 2)(X_A + n) + 2X_A = -55 $

En développant et réarrangeant le premier membre de l'égalité, on obtient :

$ n(n + X_A - 2) = -55 $

Si $ n > 0 $, comme $ X_A - 2 > 0 $ (Alice est plus âgée que Clément), on aurait $ n(n + X_A - 2) > 0 $, ce qui est contradictoire, donc $ n < 0 $, c'est-à-dire $ n \in \mathbb{Z}^- $.

Comme $ -55 = -5 \times 11 $ est divisible par $ n $, on a $ n = -1 $ ou $ n = -5 $ ou $ n = -11 $ ou $ n = -55 $.
- Si $ n = -1 $, alors $ (-1 + X_A - 2) = 55 $ et $ X_A = 58 $, impossible car $ 10 \leqslant X_A \leqslant 50 $.
- Si $ n = -5 $, alors $ (-5 + X_A - 2) = 11 $ et $ X_A = 18 $.
- Si $ n = -11 $, alors $ (-11 + X_A - 2) = 5 $ et $ X_A = 18 $.
- Si $ n = -55 $, alors $ (-55 + X_A - 2) = 1 $ et $ X_A = 58 $, impossible car $ 10 \leqslant X_A \leqslant 50 $.
Alice a donc 18 ans.

NB.
Le trinôme écrit par Alice dans la marge de sa feuille est $ x^2 - 20x + 36 $.

$ f(x) = x^2 - 20x + 36 $
$ f(X_C) = f(2) = 2^2 - 20 \times 2 + 36 = 4 - 40 + 36 = 0 $
$ f(X_A) = f(18) = 18^2 - 20 \times 18 + 36 = 324 - 360 + 36 = 0 $
$ f(1) = 1 - 20 + 36 = 17 = X_A - 1 $
$ f(X_A - 11) = f(7) = 49 - 140 + 36 = -55 \text{ (cas } n = -11 \text{)} $
$ f(X_A - 5) = f(13) = 169 - 260 + 36 = -55 \text{ (cas } n = -5 \text{)} $

Bob aurait donc estimé qu'Alice avait 7 ou 13 ans. On peut sans doute éliminer le premier cas car, même en admettant que l'on n'ait pas dit à Bob qu'Alice avait entre 10 et 50 ans, il aurait fallu qu'elle soit extrêmement précoce pour savoir à 7 ans ce qu'est un trinôme du second degré. Bob a donc très probablement donné 13 ans à Alice, ce qui a certainement dû vexer cette dernière.