Vrai/Faux : Racine carrée
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la racine carrée, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{81} = 9$
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{81}$ est le nombre positif dont le carré vaut $81$.
Comme $9^{2} = 81$, on a $\sqrt{81} = 9$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.
Ici, $9 \times 9 = 81$, donc $\sqrt{81} = 9$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $9^{2} = 81$, donc $\sqrt{81} = 9$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{100} = 50$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La racine carrée n'est pas une division par $2$.
$\sqrt{100} = 10$ car $10^{2} = 100$, alors que $50^{2} = 2\,500$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de diviser par $2$ au lieu de chercher la racine carrée.
La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\sqrt{100} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{100} = 10$, car $10^{2} = 100$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{-25}$ existe et vaut $-5$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, car aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.
$(-5)^{2} = 25$ (positif), pas $-25$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls.
Un nombre élevé au carré est toujours positif (ou nul), donc aucun nombre n'a un carré négatif.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : $\sqrt{-25}$ n'a pas de sens.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout nombre $a$ positif, $\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est la définition même de la racine carrée : elle est l'opération inverse de l'élévation au carré.
$\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$ pour tout $a$ positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la racine carrée et l'élévation au carré sont des opérations inverses.
Par exemple : $\left(\sqrt{7}\right)^{2} = 7$ et $\sqrt{7^{2}} = 7$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La racine carrée est l'opération inverse de l'élévation au carré : $\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{36} + \sqrt{64} = \sqrt{100}$
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La racine carrée n'est pas distributive sur l'addition.
On calcule chaque racine séparément : $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$, alors que $\sqrt{100} = 10$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de croire que l'on peut additionner les nombres sous la racine.
Il faut calculer chaque racine séparément : $\sqrt{36} = 6$ et $\sqrt{64} = 8$, donc $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$, qui est différent de $\sqrt{100} = 10$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$, alors que $\sqrt{100} = 10$ : la racine n'est pas distributive sur l'addition.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\sqrt{50}$ est compris entre $7$ et $8$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $50$ :
$49 < 50 < 64$, c'est-à-dire $7^{2} < 50 < 8^{2}$, donc $7 < \sqrt{50} < 8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour encadrer $\sqrt{a}$, on cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $a$.
$49 < 50 < 64$, donc $7 < \sqrt{50} < 8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $49 < 50 < 64$, donc $7 < \sqrt{50} < 8$.
[/solution]
[/etape]
QCM : Racine carrée
[enonce]
Ce QCM porte sur la racine carrée : valeurs des carrés parfaits, encadrement et propriétés. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]
[etape]
Quelle est la valeur de $\sqrt{49}$ ?
[qcm]
[option]$24{,}5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$4{,}9$[/option]
[option]$49$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\sqrt{49}$ est le nombre positif dont le carré vaut $49$.
Comme $7^{2} = 49$, on a $\sqrt{49} = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$24{,}5$"]Non.
$24{,}5$ correspond à $\dfrac{49}{2}$ : on a divisé par $2$ au lieu de chercher la racine carrée.
Une racine carrée n'est pas une division par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}9$"]Non.
$4{,}9 = \dfrac{49}{10}$ : on a divisé par $10$ au lieu de chercher la racine carrée.
La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
$49$ est le nombre lui-même, pas sa racine carrée.
On cherche le nombre positif dont le carré vaut $49$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\sqrt{49} = 7$ car $7^{2} = 49$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $\sqrt{144}$ ?
[qcm]
[option]$11$[/option]
[option]$14$[/option]
[option correct="true"]$12$[/option]
[option]$72$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$\sqrt{144}$ est le nombre positif dont le carré vaut $144$.
Comme $12^{2} = 144$, on a $\sqrt{144} = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$11$"]Non.
$11^{2} = 121$, ce n'est pas $144$.
Le carré juste au-dessus de $121$ dans la table des carrés parfaits est $144$.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14^{2} = 196$, ce n'est pas $144$.
Il faut un nombre dont le carré vaut exactement $144$.[/reponse]
[reponse motif="$72$"]Non.
$72 = \dfrac{144}{2}$ : on a divisé par $2$ au lieu de chercher la racine carrée.
Une racine carrée n'est pas une division par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\sqrt{144} = 12$ car $12^{2} = 144$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quel est l'encadrement correct de $\sqrt{20}$ par deux entiers consécutifs ?
[qcm]
[option]$3 < \sqrt{20} < 4$[/option]
[option correct="true"]$4 < \sqrt{20} < 5$[/option]
[option]$5 < \sqrt{20} < 6$[/option]
[option]$9 < \sqrt{20} < 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $20$.
$16 < 20 < 25$, c'est-à-dire $4^{2} < 20 < 5^{2}$, donc $4 < \sqrt{20} < 5$.[/reponse]
[reponse motif="$3 < \sqrt{20} < 4$"]Non.
$3^{2} = 9$ et $4^{2} = 16$, mais $20 > 16$, donc $\sqrt{20} > 4$.
Il faut que les deux carrés encadrent réellement $20$.[/reponse]
[reponse motif="$5 < \sqrt{20} < 6$"]Non.
$5^{2} = 25 > 20$, donc $\sqrt{20} < 5$.
Il faut que les deux carrés encadrent réellement $20$.[/reponse]
[reponse motif="$9 < \sqrt{20} < 10$"]Non.
On a confondu les carrés parfaits avec leur racine.
Pour encadrer $\sqrt{20}$, on cherche des entiers dont le carré encadre $20$, pas $20$ qui encadre les entiers.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$16 < 20 < 25$, donc $4 < \sqrt{20} < 5$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Parmi ces nombres, lequel n'a pas de racine carrée ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$-9$[/option]
[option]$0{,}25$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, car aucun nombre au carré ne donne un résultat négatif.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
$\sqrt{0} = 0$ existe : c'est le nombre positif (ou nul) dont le carré vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$\sqrt{1} = 1$ existe : c'est le nombre positif dont le carré vaut $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}25$"]Non.
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ existe : un nombre décimal positif possède bien une racine carrée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La racine carrée n'existe que pour les nombres positifs ou nuls.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Quelle est la valeur de $\left(\sqrt{7}\right)^{2}$ ?
[qcm]
[option]$\sqrt{14}$[/option]
[option]$14$[/option]
[option]$49$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par définition, pour tout nombre $a$ positif, $\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$.
Donc $\left(\sqrt{7}\right)^{2} = 7$.[/reponse]
[reponse motif="$\sqrt{14}$"]Non.
On a doublé l'argument au lieu d'utiliser la propriété de la racine carrée.
La racine carrée et l'élévation au carré sont des opérations inverses.[/reponse]
[reponse motif="$14$"]Non.
$14$ correspond à $7 \times 2$, mais le carré n'est pas une multiplication par $2$.
La racine carrée et le carré s'annulent l'une l'autre.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
$49 = 7^{2}$ : on a élevé au carré le nombre $7$, mais ici la racine carrée annule le carré.
$\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a$, pas $a^{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$\left(\sqrt{7}\right)^{2} = 7$ : la racine carrée et le carré sont des opérations inverses.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
[etape]
Entre quels entiers consécutifs se trouve $\sqrt{77}$ ?
[qcm]
[option]$7 < \sqrt{77} < 8$[/option]
[option correct="true"]$8 < \sqrt{77} < 9$[/option]
[option]$9 < \sqrt{77} < 10$[/option]
[option]$76 < \sqrt{77} < 78$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent $77$ :
$64 < 77 < 81$, c'est-à-dire $8^{2} < 77 < 9^{2}$, donc $8 < \sqrt{77} < 9$.[/reponse]
[reponse motif="$7 < \sqrt{77} < 8$"]Non.
$8^{2} = 64 < 77$, donc $\sqrt{77} > 8$.
Il faut chercher les deux carrés parfaits qui encadrent réellement $77$.[/reponse]
[reponse motif="$9 < \sqrt{77} < 10$"]Non.
$9^{2} = 81 > 77$, donc $\sqrt{77} < 9$.
Il faut chercher les deux carrés parfaits qui encadrent réellement $77$.[/reponse]
[reponse motif="$76 < \sqrt{77} < 78$"]Non.
On a encadré $\sqrt{77}$ par les entiers proches de $77$, mais $\sqrt{77}$ est beaucoup plus petit que $77$.
$\sqrt{77}$ est proche de $9$, pas de $77$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$64 < 77 < 81$, donc $8 < \sqrt{77} < 9$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]
