[enonce]
Ce QCM porte sur le produit d'un vecteur par un réel et la colinéarité. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul. Le vecteur $-2\vec{u}$ a :
[qcm]
[option]même direction, même sens que $\vec{u}$ et norme $2||\vec{u}||$[/option]
[option correct="true"]même direction, sens opposé à $\vec{u}$ et norme $2||\vec{u}||$[/option]
[option]même direction, sens opposé à $\vec{u}$ et norme $-2||\vec{u}||$[/option]
[option]direction opposée, même sens que $\vec{u}$ et norme $2||\vec{u}||$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Quand on multiplie un vecteur par un réel négatif ($k = -2$), le résultat a la même direction, le sens opposé et une norme égale à $|k| \times ||\vec{u}|| = 2||\vec{u}||$.[/reponse]
[reponse motif="même direction, même sens que $\vec{u}$ et norme $2||\vec{u}||$"]Non.
Multiplier par un nombre négatif inverse le sens du vecteur. Le coefficient $-2$ est négatif : le vecteur $-2\vec{u}$ pointe dans le sens contraire de $\vec{u}$.[/reponse]
[reponse motif="même direction, sens opposé à $\vec{u}$ et norme $-2||\vec{u}||$"]Non.
La norme est toujours positive ou nulle. La norme de $k\vec{u}$ est $|k| \times ||\vec{u}||$, avec la valeur absolue de $k$.[/reponse]
[reponse motif="direction opposée, même sens que $\vec{u}$ et norme $2||\vec{u}||$"]Non.
La notion de « direction opposée » n'existe pas : deux droites parallèles ont la même direction. Multiplier par un réel conserve la direction du vecteur ; c'est le sens qui peut changer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $k\vec{u}$ : la direction est conservée, le sens dépend du signe de $k$ (même sens si $k > 0$, sens opposé si $k < 0$), et la norme vaut $|k| \times ||\vec{u}||$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Développer $3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC})$.
[qcm]
[option]$3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$5\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$3\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On distribue le facteur $3$ sur chaque terme de la somme :
$3(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}) = 3\overrightarrow{AB} + 3 \times 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le facteur $3$ doit être distribué sur les deux termes de la parenthèse, y compris sur $2\overrightarrow{AC}$. Le coefficient de $\overrightarrow{AC}$ est $3 \times 2$.[/reponse]
[reponse motif="$5\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les coefficients ne s'additionnent pas : on distribue le $3$ par multiplication. Appliquer la distributivité : $3 \times 1 = 3$ pour $\overrightarrow{AB}$ et $3 \times 2$ pour $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le coefficient de $\overrightarrow{AC}$ est $3 \times 2$, pas $3 + 2$. On multiplie les coefficients, on ne les additionne pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distribuer le facteur $3$ : $3 \times \overrightarrow{AB}$ et $3 \times 2\overrightarrow{AC}$. Les coefficients se multiplient.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si :
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires[/option]
[option]$AB + BC = AC$[/option]
[option]$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont opposés[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$. Les points $A$, $B$, $C$ sont alors sur la même droite.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$"]Non.
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$ impliquerait $B = C$. La condition d'alignement est plus souple : il suffit que les vecteurs soient proportionnels (colinéaires).[/reponse]
[reponse motif="$AB + BC = AC$"]Non.
Cette condition de distances signifie que $B$ est situé entre $A$ et $C$ sur le segment. C'est un cas particulier d'alignement (avec $B$ entre les deux), pas la condition générale.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont opposés"]Non.
Deux vecteurs opposés sont un cas particulier de colinéarité ($k = -1$). La condition d'alignement est plus générale : il suffit que les vecteurs soient colinéaires, c'est-à-dire proportionnels pour n'importe quel réel $k$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'alignement de trois points se traduit par la colinéarité de deux vecteurs ayant la même origine parmi ces trois points.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Si $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, alors :
[qcm]
[option correct="true"]$B$ est le milieu de $[AC]$[/option]
[option]$C$ est le milieu de $[AB]$[/option]
[option]$A$ est le milieu de $[BC]$[/option]
[option]$A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ signifie que $B$ est situé sur le segment $[AC]$, à mi-chemin entre $A$ et $C$. C'est exactement la définition du milieu.[/reponse]
[reponse motif="$C$ est le milieu de $[AB]$"]Non.
Si $C$ était le milieu de $[AB]$, on aurait $\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, ce qui est l'inverse de la relation donnée. Ici, c'est $\overrightarrow{AB}$ qui est la moitié de $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$A$ est le milieu de $[BC]$"]Non.
Si $A$ était le milieu de $[BC]$, on aurait $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}$, pas $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Le coefficient $\dfrac{1}{2}$ indique que $B$ est à mi-distance de $A$ vers $C$.[/reponse]
[reponse motif="$A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés"]Non.
Au contraire, l'égalité $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ montre que ces vecteurs sont colinéaires (coefficient $k = \dfrac{1}{2}$), donc $A$, $B$ et $C$ sont bien alignés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ indique que $B$ est situé à la moitié du trajet de $A$ vers $C$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si :
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$[/option]
[option]$AB = CD$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires[/option]
[option]$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont de même norme[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire proportionnels. Il suffit qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$"]Non.
L'égalité de vecteurs est une condition trop forte. Elle impliquerait que $ABDC$ est un parallélogramme. Le parallélisme demande seulement que les vecteurs soient proportionnels, pas nécessairement égaux.[/reponse]
[reponse motif="$AB = CD$"]Non.
L'égalité des longueurs ne garantit pas le parallélisme. Deux segments de même longueur peuvent avoir des directions complètement différentes.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont de même norme"]Non.
Avoir la même norme signifie seulement avoir la même longueur. Deux vecteurs de même norme peuvent avoir des directions totalement différentes et ne pas être parallèles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le parallélisme de deux droites se traduit par la colinéarité (proportionnalité) de leurs vecteurs directeurs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On pose $\vec{u} = 3\vec{v}$ et $\vec{w} = -6\vec{v}$ avec $\vec{v} \neq \overrightarrow{0}$. Alors :
[qcm]
[option]$\vec{w} = 2\vec{u}$[/option]
[option correct="true"]$\vec{w} = -2\vec{u}$[/option]
[option]$\vec{w} = -3\vec{u}$[/option]
[option]$\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On a $\vec{w} = -6\vec{v}$ et $\vec{u} = 3\vec{v}$, donc $\vec{v} = \dfrac{1}{3}\vec{u}$.
En remplaçant : $\vec{w} = -6 \times \dfrac{1}{3}\vec{u} = -2\vec{u}$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires, de sens opposés, et $||\vec{w}|| = 2||\vec{u}||$.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w} = 2\vec{u}$"]Non.
Attention au signe. Le coefficient de $\vec{v}$ dans $\vec{w}$ est $-6$ (négatif) alors que celui dans $\vec{u}$ est $3$ (positif). Le rapport $\dfrac{-6}{3}$ est négatif.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{w} = -3\vec{u}$"]Non.
Le rapport entre les coefficients est $\dfrac{-6}{3} = -2$, pas $-3$. Vérifier la division.[/reponse]
[reponse motif="$\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires"]Non.
Les deux vecteurs sont tous les deux proportionnels à $\vec{v}$, donc ils sont proportionnels entre eux. Calculer le coefficient de proportionnalité $\dfrac{-6}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Exprimer $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ en utilisant $\vec{v} = \dfrac{1}{3}\vec{u}$, puis substituer dans $\vec{w} = -6\vec{v}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le produit d'un vecteur par un réel et la colinéarité, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel strictement positif.
Affirmation : Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont le même sens.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par définition, lorsque $k > 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction et le même sens. Seule la longueur change : $||k\vec{u}|| = k||\vec{u}||$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par définition du produit d'un vecteur par un réel : si $k > 0$, alors $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction et le même sens. Le sens ne change que lorsque $k < 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $k > 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont même direction et même sens.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}$ un vecteur et $k$ un nombre réel.
Affirmation : La norme de $k\vec{u}$ est égale à $k||\vec{u}||$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $k < 0$, la norme de $k\vec{u}$ est $-k||\vec{u}||$ (et non $k||\vec{u}||$ qui serait négatif). Par exemple, si $k = -2$ et $||\vec{u}|| = 3$, alors $||k\vec{u}|| = 2 \times 3 = 6$, pas $-6$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une norme est toujours positive ou nulle. Or si $k < 0$, le produit $k||\vec{u}||$ serait négatif, ce qui est impossible pour une norme.
La formule correcte est $||k\vec{u}|| = |k| \times ||\vec{u}||$, c'est-à-dire $k||\vec{u}||$ si $k \geqslant 0$ et $-k||\vec{u}||$ si $k < 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La norme de $k\vec{u}$ est $|k| \times ||\vec{u}||$, pas $k||\vec{u}||$ (qui peut être négatif).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est colinéaire à tout vecteur.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Pour tout vecteur $\vec{u}$, on a $\overrightarrow{0} = 0 \times \vec{u}$. Le vecteur nul s'écrit comme un multiple de n'importe quel vecteur, donc il est colinéaire à tous.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On pourrait croire que le vecteur nul, n'ayant ni direction ni sens, ne peut pas être colinéaire à un autre vecteur. Mais par définition, $\overrightarrow{0} = 0 \times \vec{u}$ pour tout vecteur $\vec{u}$, ce qui signifie que $\overrightarrow{0}$ est bien colinéaire à tout vecteur.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour tout vecteur $\vec{u}$ : $\overrightarrow{0} = 0 \times \vec{u}$, donc le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Deux vecteurs colinéaires ont toujours le même sens.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas nécessairement le même sens. Par exemple, $\vec{u}$ et $-2\vec{u}$ sont colinéaires mais de sens opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention, colinéaire signifie « même direction » et non « même direction et même sens ». Si $\vec{v} = k\vec{u}$ avec $k < 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires mais de sens opposés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais peuvent avoir des sens opposés (lorsque le coefficient $k$ est négatif).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $\vec{v} = -3\vec{u}$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par définition, deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre. Ici $\vec{v} = -3\vec{u}$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (avec $k = -3$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le signe du coefficient n'a pas d'importance pour la colinéarité. La définition dit : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Ici $k = -3$ convient.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. $\vec{v} = -3\vec{u}$ montre que $\vec{v}$ est un multiple de $\vec{u}$, donc ils sont colinéaires.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, colinéaires et de même sens.
Affirmation : $\vec{u} = \vec{v}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Colinéaires et de même sens signifie $\vec{v} = k\vec{u}$ avec $k > 0$, mais rien n'impose $k = 1$. Par exemple, $\vec{u}$ et $2\vec{u}$ sont colinéaires, de même sens, mais $2\vec{u} \neq \vec{u}$ car ils n'ont pas la même longueur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour que deux vecteurs soient égaux, il faut en plus de la même direction et du même sens qu'ils aient la même longueur. Par exemple, $\vec{u}$ et $2\vec{u}$ sont colinéaires et de même sens, mais $||2\vec{u}|| = 2||\vec{u}||$, donc ils sont différents.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Même direction et même sens ne suffisent pas : il faut aussi la même longueur pour conclure à l'égalité.
[/solution]
[/etape]