[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : types de matrices, opérations, produit matriciel, inversibilité et écriture matricielle d'un système. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$. Comment qualifier au mieux cette matrice ?
[qcm]
[option]Une matrice ligne d'ordre $3$.[/option]
[option]La matrice unité $I_3$.[/option]
[option correct="true"]Une matrice diagonale d'ordre $3$.[/option]
[option]Une matrice nulle.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$M$ est carrée d'ordre $3$ et tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls : c'est, par définition, une matrice diagonale d'ordre $3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice ligne d'ordre $3$."]Non.
$M$ a $3$ lignes et $3$ colonnes : c'est une matrice carrée, pas une matrice ligne. Une matrice ligne n'a qu'une seule ligne.[/reponse]
[reponse motif="La matrice unité $I_3$."]Non.
La matrice unité $I_3$ a uniquement des $1$ sur la diagonale principale. Or ici les coefficients diagonaux sont $4$, $-2$ et $5$, donc $M \neq I_3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice nulle."]Non.
Une matrice nulle n'a que des $0$. Or $M$ contient des coefficients non nuls ($4$, $-2$, $5$) sur sa diagonale principale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner la dimension de $M$ et la position de ses coefficients non nuls pour la classer parmi les types vus en cours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Que vaut $2A + B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $2A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$.
Puis $2A + B = \begin{pmatrix} 4+1 & 0+(-2) \\ -2+4 & 6+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $A$ a été ignoré : le calcul effectué est simplement $A + B$. Multiplier d'abord chaque coefficient de $A$ par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $2A + 2B = 2(A + B)$. Or seul $A$ est multiplié par $2$, $B$ doit être ajoutée telle quelle.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $-2 + 4 = 2$, et non $-2 - 4 = -6$. Le signe de $b_{21} = +4$ a été remplacé par $-4$ lors de l'addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $2A$ en multipliant chaque coefficient de $A$ par $2$, puis additionner coefficient par coefficient avec $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B - B \times A$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(1,1)$).
Puis $B \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(2,2)$).
Donc $A \times B - B \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Cela illustre que $A \times B \neq B \times A$ en général.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela supposerait $A \times B = B \times A$. Or le produit matriciel n'est pas commutatif : il faut calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$, qui sont ici différents.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $A \times B + B \times A$ (somme des deux résultats). Or l'énoncé demande la différence : il faut soustraire $B \times A$ à $A \times B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B \times A - A \times B$, qui est l'opposé de la différence demandée. Bien partir de $A \times B$ et soustraire $B \times A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$ (en respectant l'ordre des facteurs), puis soustraire les deux matrices obtenues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour étudier l'inversibilité de $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, on calcule le déterminant $\Delta = ad - bc$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible.[/option]
[option correct="true"]$\Delta = 2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 3$ :
$\Delta = ad - bc = 2 \times 3 - 4 \times 1 = 6 - 4 = 2$.
Comme $\Delta \neq 0$, la matrice $A$ est bien inversible.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible."]Non.
$10 = ad + bc = 6 + 4$ : c'est la somme des deux produits, alors que la formule du déterminant utilise la différence.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible."]Non.
$-2 = bc - ad = 4 - 6$ : l'ordre des deux produits a été inversé. Le déterminant est $ad - bc$, en commençant par les coefficients de la diagonale principale.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible."]Non.
$0 = (a+d) - (b+c) = 5 - 5$ : le déterminant a été calculé avec des sommes au lieu de produits. Il faut multiplier les coefficients deux à deux : $a \times d$ et $b \times c$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant vaut $ad - bc$. Si ce nombre est non nul, la matrice est inversible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 12 \\ -7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie chaque ligne de $A$ par la colonne $X$ :
ligne $1$ : $2 \times 5 + 1 \times 2 = 10 + 2 = 12$ ;
ligne $2$ : $-3 \times 5 + 4 \times 2 = -15 + 8 = -7$.
Le résultat est une matrice colonne $2 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la deuxième ligne : $-3 \times 5 = -15$, donc $a_{21}$ est négatif. Le résultat $7$ correspond à $+15 + 8 - 16 = 7$ ou plus simplement à un oubli du signe de $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$"]Non.
Seul le produit du premier coefficient de chaque ligne par $5$ apparaît : le terme provenant du second coefficient (le $1 \times 2$ et le $4 \times 2$) a été oublié. Sommer les deux produits sur chaque ligne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$"]Non.
Les deux composantes du résultat ont été permutées. La première composante provient de la première ligne de $A$, la seconde de la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le produit $A \times X$ avec $X$ matrice colonne, multiplier chaque ligne de $A$ par la colonne $X$, terme à terme, et sommer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$. Quelle est son écriture matricielle correcte avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$X \times A = B$[/option]
[option correct="true"]$A \times X = B$[/option]
[option]$A + X = B$[/option]
[option]$X = A \times B$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On vérifie : $A \times X = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 3y \end{pmatrix}$, qui doit être égal à $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$. On retrouve bien les deux équations du système.[/reponse]
[reponse motif="$X \times A = B$"]Non.
L'ordre des facteurs est crucial pour le produit matriciel. De plus, $X$ est de dimension $2 \times 1$ et $A$ est $2 \times 2$ : le produit $X \times A$ n'est même pas défini.[/reponse]
[reponse motif="$A + X = B$"]Non.
$A$ et $X$ n'ont pas les mêmes dimensions ($A$ est $2 \times 2$, $X$ est $2 \times 1$) : leur somme n'est pas définie. C'est le produit $A \times X$ qui développe les expressions $2x + y$ et $x + 3y$.[/reponse]
[reponse motif="$X = A \times B$"]Non.
Cette écriture donnerait directement $X$ en fonction de $A$ et $B$, sans nécessiter aucun calcul : c'est trop simple. La forme correcte fait apparaître $A$, $X$ et $B$ avec un produit, et c'est ensuite seulement, en utilisant l'inverse de $A$, qu'on isole $X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer le produit $A \times X$ en posant $X$ comme matrice colonne des inconnues : on doit retomber sur les deux expressions du système, qui doivent être égales aux deux composantes de $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]