Produit de deux matrices — non-commutativité

Soient les matrices $ A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $.

Calculer les produits $ A\times B $ et $ B\times A $.
Les résultats sont-ils égaux ? Quelle conclusion peut-on en tirer concernant la multiplication matricielle ?
On note $ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ la matrice unité d'ordre 2. Vérifier par le calcul que $ A\times I=I\times A=A $.

Corrigé

$ A\times B=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 1+1\times (-1) & 3\times 2+1\times 3 \\ 2\times 1+0\times (-1) & 2\times 2+0\times 3\end{pmatrix} $

Donc $\mathbf{A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 2 & 4\end{pmatrix}}$

$ B\times A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 3+2\times 2 & 1\times 1+2\times 0 \\ (-1)\times 3+3\times 2 & (-1)\times 1+3\times 0\end{pmatrix} $

Donc $\mathbf{B\times A=\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}}$
On constate que $ A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}=B\times A $.

La multiplication matricielle n'est pas commutative : en général, $ A\times B\neq B\times A $.
$ A\times I=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 1+1\times 0 & 3\times 0+1\times 1 \\ 2\times 1+0\times 0 & 2\times 0+0\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=A $

$ I\times A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times 3+0\times 2 & 1\times 1+0\times 0 \\ 0\times 3+1\times 2 & 0\times 1+1\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0\end{pmatrix}=A $

On a bien vérifié que $ A\times I=I\times A=A $ : la matrice unité joue le même rôle que le nombre 1 pour la multiplication.

Vrai/Faux : Produit matriciel

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le produit matriciel (conditions de compatibilité, propriétés, calcul), indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour que le produit $A \times B$ soit défini, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la condition de compatibilité du produit matriciel : si $A$ est $n \times \color{red}{p}$ et $B$ est $\color{red}{p} \times q$, le produit $A \times B$ est défini et la matrice résultat est $n \times q$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de mélanger la condition pour la somme et celle pour le produit. Pour le produit, c'est bien la dimension intérieure (colonnes de $A$ = lignes de $B$) qui doit coïncider, pas les deux dimensions.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est vraie. La condition $\text{colonnes}(A) = \text{lignes}(B)$ est nécessaire et suffisante pour définir le produit $A \times B$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ de même ordre, on a $A \times B = B \times A$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le produit matriciel n'est pas commutatif en général. Par exemple, avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ alors que $B \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas étendre la commutativité de la multiplication des réels au produit matriciel. En général, $A \times B$ et $B \times A$ donnent des résultats différents, même quand les deux produits sont définis.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est fausse. Le produit matriciel n'est pas commutatif : il existe des couples $(A, B)$ pour lesquels $A \times B \neq B \times A$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $A$ est de dimension $2 \times 3$ et $B$ de dimension $2 \times 3$, alors le produit $A \times B$ est défini.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le nombre de colonnes de $A$ vaut $3$, mais le nombre de lignes de $B$ vaut $2$ : $3 \neq 2$, donc le produit $A \times B$ n'est pas défini. Avoir les mêmes dimensions permet la somme, pas le produit.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège ici est de croire que des dimensions identiques suffisent pour le produit. Or pour $A \times B$, c'est la dimension intérieure qui compte : colonnes de $A$ et lignes de $B$. Ici $3 \neq 2$, donc le produit n'existe pas.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est fausse. Pour le produit, il faut $\text{colonnes}(A) = \text{lignes}(B)$ ; ici $3 \neq 2$, le produit n'est pas défini.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$, on a $A \times I_n = I_n \times A = A$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La matrice unité $I_n$ joue, pour le produit matriciel, le rôle du nombre $1$ pour les réels. C'est l'élément neutre : multiplier $A$ par $I_n$ (à gauche ou à droite) laisse $A$ inchangée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la matrice unité $I_n$ contient des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs. Sa structure permet à chaque coefficient de $A$ d'être conservé tel quel lors du produit.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est vraie. La matrice unité $I_n$ est l'élément neutre du produit matriciel des matrices carrées d'ordre $n$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour toutes matrices carrées $A$, $B$ et $C$ de même ordre, $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
C'est la distributivité à gauche du produit matriciel sur la somme, propriété du cours. Le produit se développe comme avec les nombres réels, mais en respectant l'ordre des facteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien que le produit matriciel ne soit pas commutatif, il reste distributif sur la somme. Cette propriété, semblable à $a \times (b+c) = ab + ac$ pour les réels, vaut aussi pour les matrices, à condition de conserver l'ordre des facteurs.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est vraie. C'est la propriété de distributivité (à gauche) du produit matriciel sur la somme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Affirmation : $A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule effectivement le produit :
$c_{11} = 1 \times 0 + 2 \times 1 = 2$ ;
$c_{12} = 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1$ ;
$c_{21} = 3 \times 0 + 4 \times 1 = 4$ ;
$c_{22} = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$.
Donc $A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \neq A$ : multiplier par $B$ a échangé les colonnes de $A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à ne pas confondre $B$ avec la matrice unité $I_2$. La matrice unité a des $1$ sur la diagonale principale ; ici $B$ a des $1$ sur l'anti-diagonale, ce qui produit un tout autre effet : un échange de colonnes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
L'affirmation est fausse. Le calcul donne $A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$, qui correspond à $A$ avec ses deux colonnes échangées.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Introduction aux matrices

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : types de matrices, opérations, produit matriciel, inversibilité et écriture matricielle d'un système. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$. Comment qualifier au mieux cette matrice ?
[qcm]
[option]Une matrice ligne d'ordre $3$.[/option]
[option]La matrice unité $I_3$.[/option]
[option correct="true"]Une matrice diagonale d'ordre $3$.[/option]
[option]Une matrice nulle.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$M$ est carrée d'ordre $3$ et tous ses coefficients hors de la diagonale principale sont nuls : c'est, par définition, une matrice diagonale d'ordre $3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice ligne d'ordre $3$."]Non.
$M$ a $3$ lignes et $3$ colonnes : c'est une matrice carrée, pas une matrice ligne. Une matrice ligne n'a qu'une seule ligne.[/reponse]
[reponse motif="La matrice unité $I_3$."]Non.
La matrice unité $I_3$ a uniquement des $1$ sur la diagonale principale. Or ici les coefficients diagonaux sont $4$, $-2$ et $5$, donc $M \neq I_3$.[/reponse]
[reponse motif="Une matrice nulle."]Non.
Une matrice nulle n'a que des $0$. Or $M$ contient des coefficients non nuls ($4$, $-2$, $5$) sur sa diagonale principale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner la dimension de $M$ et la position de ses coefficients non nuls pour la classer parmi les types vus en cours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$. Que vaut $2A + B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On calcule d'abord $2A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -2 & 6 \end{pmatrix}$.
Puis $2A + B = \begin{pmatrix} 4+1 & 0+(-2) \\ -2+4 & 6+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 11 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Le coefficient $2$ devant $A$ a été ignoré : le calcul effectué est simplement $A + B$. Multiplier d'abord chaque coefficient de $A$ par $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 6 & 16 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $2A + 2B = 2(A + B)$. Or seul $A$ est multiplié par $2$, $B$ doit être ajoutée telle quelle.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -6 & 11 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $-2 + 4 = 2$, et non $-2 - 4 = -6$. Le signe de $b_{21} = +4$ a été remplacé par $-4$ lors de l'addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer d'abord $2A$ en multipliant chaque coefficient de $A$ par $2$, puis additionner coefficient par coefficient avec $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B - B \times A$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On calcule $A \times B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(1,1)$).
Puis $B \times A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (le seul coefficient non nul est $1 \times 1 = 1$ en position $(2,2)$).
Donc $A \times B - B \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Cela illustre que $A \times B \neq B \times A$ en général.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Cela supposerait $A \times B = B \times A$. Or le produit matriciel n'est pas commutatif : il faut calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$, qui sont ici différents.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $A \times B + B \times A$ (somme des deux résultats). Or l'énoncé demande la différence : il faut soustraire $B \times A$ à $A \times B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B \times A - A \times B$, qui est l'opposé de la différence demandée. Bien partir de $A \times B$ et soustraire $B \times A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $A \times B$ et $B \times A$ (en respectant l'ordre des facteurs), puis soustraire les deux matrices obtenues.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour étudier l'inversibilité de $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, on calcule le déterminant $\Delta = ad - bc$. Que peut-on conclure ?
[qcm]
[option]$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[option]$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible.[/option]
[option correct="true"]$\Delta = 2$, donc $A$ est inversible.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Avec $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$, $d = 3$ :
$\Delta = ad - bc = 2 \times 3 - 4 \times 1 = 6 - 4 = 2$.
Comme $\Delta \neq 0$, la matrice $A$ est bien inversible.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 10$, donc $A$ est inversible."]Non.
$10 = ad + bc = 6 + 4$ : c'est la somme des deux produits, alors que la formule du déterminant utilise la différence.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = -2$, donc $A$ est inversible."]Non.
$-2 = bc - ad = 4 - 6$ : l'ordre des deux produits a été inversé. Le déterminant est $ad - bc$, en commençant par les coefficients de la diagonale principale.[/reponse]
[reponse motif="$\Delta = 0$, donc $A$ n'est pas inversible."]Non.
$0 = (a+d) - (b+c) = 5 - 5$ : le déterminant a été calculé avec des sommes au lieu de produits. Il faut multiplier les coefficients deux à deux : $a \times d$ et $b \times c$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant vaut $ad - bc$. Si ce nombre est non nul, la matrice est inversible.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times X$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 12 \\ -7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On multiplie chaque ligne de $A$ par la colonne $X$ :
ligne $1$ : $2 \times 5 + 1 \times 2 = 10 + 2 = 12$ ;
ligne $2$ : $-3 \times 5 + 4 \times 2 = -15 + 8 = -7$.
Le résultat est une matrice colonne $2 \times 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la deuxième ligne : $-3 \times 5 = -15$, donc $a_{21}$ est négatif. Le résultat $7$ correspond à $+15 + 8 - 16 = 7$ ou plus simplement à un oubli du signe de $-3$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 10 \\ -15 \end{pmatrix}$"]Non.
Seul le produit du premier coefficient de chaque ligne par $5$ apparaît : le terme provenant du second coefficient (le $1 \times 2$ et le $4 \times 2$) a été oublié. Sommer les deux produits sur chaque ligne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -7 \\ 12 \end{pmatrix}$"]Non.
Les deux composantes du résultat ont été permutées. La première composante provient de la première ligne de $A$, la seconde de la deuxième ligne.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le produit $A \times X$ avec $X$ matrice colonne, multiplier chaque ligne de $A$ par la colonne $X$, terme à terme, et sommer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$. Quelle est son écriture matricielle correcte avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$ ?
[qcm]
[option]$X \times A = B$[/option]
[option correct="true"]$A \times X = B$[/option]
[option]$A + X = B$[/option]
[option]$X = A \times B$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On vérifie : $A \times X = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + 3y \end{pmatrix}$, qui doit être égal à $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$. On retrouve bien les deux équations du système.[/reponse]
[reponse motif="$X \times A = B$"]Non.
L'ordre des facteurs est crucial pour le produit matriciel. De plus, $X$ est de dimension $2 \times 1$ et $A$ est $2 \times 2$ : le produit $X \times A$ n'est même pas défini.[/reponse]
[reponse motif="$A + X = B$"]Non.
$A$ et $X$ n'ont pas les mêmes dimensions ($A$ est $2 \times 2$, $X$ est $2 \times 1$) : leur somme n'est pas définie. C'est le produit $A \times X$ qui développe les expressions $2x + y$ et $x + 3y$.[/reponse]
[reponse motif="$X = A \times B$"]Non.
Cette écriture donnerait directement $X$ en fonction de $A$ et $B$, sans nécessiter aucun calcul : c'est trop simple. La forme correcte fait apparaître $A$, $X$ et $B$ avec un produit, et c'est ensuite seulement, en utilisant l'inverse de $A$, qu'on isole $X$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Effectuer le produit $A \times X$ en posant $X$ comme matrice colonne des inconnues : on doit retomber sur les deux expressions du système, qui doivent être égales aux deux composantes de $B$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Produit matriciel et inverse

[enonce]
Ce QCM porte sur le produit de matrices carrées d'ordre 2 et la notion d'inverse. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est dite inversible si et seulement si :
[qcm]
[option]tous ses coefficients sont non nuls.[/option]
[option correct="true"]il existe une matrice $B$ telle que $A \times B = B \times A = I_n$.[/option]
[option]sa diagonale principale ne contient que des $1$.[/option]
[option]$A$ est une matrice diagonale.[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition exacte. Si une telle matrice $B$ existe, elle est unique : on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{-1}$.[/reponse]
[reponse motif="tous ses coefficients sont non nuls."]Non.
Avoir tous ses coefficients non nuls n'a rien à voir avec l'inversibilité. Par exemple, $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ n'a aucun coefficient nul mais n'est pas inversible.[/reponse]
[reponse motif="sa diagonale principale ne contient que des $1$."]Non.
Cette condition décrit (en partie) la matrice unité $I_n$, mais ne caractérise pas l'inversibilité. Beaucoup de matrices inversibles n'ont pas de $1$ sur leur diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$A$ est une matrice diagonale."]Non.
Une matrice diagonale n'est inversible que si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls — ce n'est qu'un cas particulier. La définition générale de l'inversibilité est donnée par l'existence d'une matrice $B$ vérifiant une égalité avec $I_n$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir la définition de matrice inversible : elle s'appuie sur l'existence d'une matrice $B$ vérifiant deux égalités avec la matrice unité $I_n$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -16 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie chaque ligne de $A$ par chaque colonne de $B$ :
$c_{11} = 3 \times 3 + 2 \times (-4) = 9 - 8 = 1$ ;
$c_{12} = 3 \times (-2) + 2 \times 3 = -6 + 6 = 0$ ;
$c_{21} = 4 \times 3 + 3 \times (-4) = 12 - 12 = 0$ ;
$c_{22} = 4 \times (-2) + 3 \times 3 = -8 + 9 = 1$.
Donc $A \times B = I_2$ : $B$ est l'inverse de $A$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 9 & -4 \\ -16 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients ont été multipliés terme à terme ($a_{11}b_{11}$, $a_{12}b_{12}$, etc.). Le produit matriciel n'est pas une multiplication coefficient par coefficient : chaque coefficient résultat est une somme de produits ligne-colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 17 & 12 \\ 24 & 17 \end{pmatrix}$"]Non.
Les signes négatifs de $B$ ont été ignorés. Bien conserver le signe de chaque coefficient lors des produits ligne-colonne.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 6 & -7 \end{pmatrix}$"]Non.
Chaque ligne de $A$ a été multipliée par la ligne correspondante de $B$. Or il faut multiplier une ligne de $A$ par une colonne de $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le produit matriciel, chaque coefficient s'obtient en multipliant une ligne de $A$ par une colonne de $B$, terme à terme, puis en sommant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A \times B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$c_{11} = 1 \times 3 + 2 \times 2 = 7$ ;
$c_{12} = 1 \times 1 + 2 \times (-1) = -1$ ;
$c_{21} = (-1) \times 3 + 0 \times 2 = -3$ ;
$c_{22} = (-1) \times 1 + 0 \times (-1) = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients de $A$ et $B$ ont été multipliés terme à terme. Chaque coefficient du produit est une somme de produits ligne-colonne, pas un simple produit.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B \times A$, qui est différent de $A \times B$ : le produit matriciel n'est pas commutatif. Refaire en partant de $A$ à gauche.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $a_{21} = -1$, donc $c_{21} = (-1) \times 3 + 0 \times 2$. Le signe négatif de $a_{21}$ a été oublié.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier ligne par colonne, en respectant l'ordre $A$ puis $B$ et les signes des coefficients.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. Que vaut $A \times I_n$ ?
[qcm]
[option]$I_n$[/option]
[option]$A^2$[/option]
[option correct="true"]$A$[/option]
[option]la matrice nulle.[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
La matrice unité $I_n$ joue, pour le produit matriciel, le rôle du nombre $1$ pour la multiplication des réels. Elle est l'élément neutre : pour toute matrice carrée $A$, on a $A \times I_n = I_n \times A = A$.[/reponse]
[reponse motif="$I_n$"]Non.
$I_n$ est l'élément neutre de la multiplication, pas un élément absorbant. Multiplier $A$ par $I_n$ ne renvoie pas $I_n$ : cela laisse $A$ inchangée.[/reponse]
[reponse motif="$A^2$"]Non.
$A^2 = A \times A$, et non $A \times I_n$. Multiplier par $I_n$ ne fait pas apparaître un nouveau facteur $A$.[/reponse]
[reponse motif="la matrice nulle."]Non.
$I_n$ contient des $1$ sur la diagonale principale, ce n'est pas une matrice nulle. C'est plutôt la matrice nulle qui annulerait le produit, pas la matrice unité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La matrice unité $I_n$ est l'élément neutre du produit matriciel : $A \times I_n = A$ pour toute matrice carrée $A$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^2$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On calcule $A \times A$ :
$c_{11} = 1 \times 1 + 2 \times 0 = 1$ ;
$c_{12} = 1 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8$ ;
$c_{21} = 0 \times 1 + 3 \times 0 = 0$ ;
$c_{22} = 0 \times 2 + 3 \times 3 = 9$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Chaque coefficient a été élevé au carré individuellement. Or $A^2$ signifie $A \times A$, et non « élever chaque coefficient au carré » : il faut réaliser le produit matriciel.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$"]Non.
Le résultat affiché est $2A$ et non $A^2$. Multiplier par $2$ et élever au carré sont deux opérations très différentes.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour le coefficient $c_{12}$ : $1 \times 2 + 2 \times 3 = 2 + 6 = 8$. Le terme $1 \times 2$ a été oublié et seul $2 \times 3 = 6$ a été conservé.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$A^2 = A \times A$ se calcule par le produit matriciel ligne par colonne, pas en élevant chaque coefficient au carré.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$. On admet que $A$ est inversible et que $A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$. Pour résoudre le système $\begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 5x + 7y = 2 \end{cases}$, on pose $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Quelle est la solution $(x~;~y)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$(-1~;~1)$[/option]
[option]$(1~;~-1)$[/option]
[option]$(11~;~19)$[/option]
[option]$(7~;~-5)$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La solution est donnée par $X = A^{-1} \times B$ :
$x = 7 \times 1 + (-4) \times 2 = 7 - 8 = -1$ ;
$y = (-5) \times 1 + 3 \times 2 = -5 + 6 = 1$.
Donc $(x~;~y) = (-1~;~1)$.[/reponse]
[reponse motif="$(1~;~-1)$"]Non.
Tous les signes ont été inversés. Reprendre soigneusement les produits $7 \times 1 + (-4) \times 2$ et $(-5) \times 1 + 3 \times 2$, en respectant l'ordre des facteurs $A^{-1} \times B$.[/reponse]
[reponse motif="$(11~;~19)$"]Non.
Le calcul effectué est $A \times B$ ($3 \times 1 + 4 \times 2 = 11$ et $5 \times 1 + 7 \times 2 = 19$). Or la solution est $X = A^{-1} \times B$, c'est avec l'inverse qu'il faut multiplier $B$.[/reponse]
[reponse motif="$(7~;~-5)$"]Non.
Cette colonne est la première colonne de $A^{-1}$ recopiée telle quelle. Il faut calculer le produit $A^{-1} \times B$, pas en lire les coefficients directement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $A$ est inversible et $A \times X = B$, alors $X = A^{-1} \times B$. Effectuer ce produit matriciel pour obtenir le couple solution.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Opérations sur les matrices

[enonce]
Ce QCM porte sur les opérations sur les matrices : somme, différence, produit par un réel et conditions de compatibilité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $A + B$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
On additionne les coefficients à la même position :
$\begin{pmatrix} 2+1 & -1+5 \\ 3+(-2) & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 1 & -6 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $A - B$ et non $A + B$. Refaire l'opération en ajoutant les coefficients homologues, en respectant leurs signes.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Attention au signe : $b_{21} = -2$, donc $a_{21} + b_{21} = 3 + (-2)$, pas $3 + 2$. Le résultat à cette position doit donc être plus petit que $5$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -6 & 0 \end{pmatrix}$"]Non.
Les coefficients ont été multipliés entre eux ($2 \times 1$, $(-1) \times 5$, etc.) au lieu d'être additionnés. La somme de matrices se fait coefficient par coefficient, par addition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour additionner deux matrices de mêmes dimensions, il suffit d'ajouter les coefficients situés à la même position.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$. Que vaut $-2A$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -1 & -6 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On multiplie chaque coefficient par $-2$ :
$-2 \times (-3) = 6$, $-2 \times 2 = -4$, $-2 \times 1 = -2$, $-2 \times (-4) = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -6 & 4 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$"]Non.
La règle des signes a été inversée sur la première ligne. Rappel : moins par moins donne plus, donc $-2 \times (-3)$ est positif.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$"]Non.
Les valeurs absolues sont correctes mais les signes ne sont pas respectés. Multiplier rigoureusement chaque coefficient (signe compris) par $-2$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -5 & 0 \\ -1 & -6 \end{pmatrix}$"]Non.
On a ajouté $-2$ à chaque coefficient au lieu de le multiplier par $-2$. Le produit d'une matrice par un réel se fait par multiplication coefficient par coefficient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le produit d'une matrice par un réel $k$ s'obtient en multipliant chaque coefficient par $k$. Soigner la règle des signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$. Que vaut $A - B$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -5 & -5 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On soustrait les coefficients à la même position :
$\begin{pmatrix} 5-1 & 3-4 \\ -2-(-3) & 1-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $B - A$ : tous les signes sont opposés à ceux de $A - B$. Bien partir des coefficients de $A$ et soustraire ceux de $B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $A + B$ et non $A - B$. Vérifier le signe de l'opération demandée.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -5 & -5 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $a_{21} - b_{21} = -2 - (-3)$. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : $-2 + 3$, et non $-2 - 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour la différence de deux matrices, soustraire chaque coefficient de $B$ au coefficient correspondant de $A$. Attention aux soustractions de nombres négatifs.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelle paire de dimensions le calcul $A + B$ est-il possible ?
[qcm]
[option]$A$ de dimension $2 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 2$[/option]
[option correct="true"]$A$ de dimension $2 \times 4$ et $B$ de dimension $2 \times 4$[/option]
[option]$A$ de dimension $3 \times 3$ et $B$ de dimension $2 \times 2$[/option]
[option]$A$ de dimension $1 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On ne peut additionner deux matrices que si elles ont exactement les mêmes dimensions : même nombre de lignes et même nombre de colonnes.[/reponse]
[reponse motif="$A$ de dimension $2 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 2$"]Non.
$A$ a $2$ lignes et $3$ colonnes, $B$ a $3$ lignes et $2$ colonnes : les dimensions sont différentes. Ces tailles permettent un produit, pas une somme.[/reponse]
[reponse motif="$A$ de dimension $3 \times 3$ et $B$ de dimension $2 \times 2$"]Non.
Les deux matrices sont carrées, mais leurs dimensions sont différentes ($3$ et $2$). Pour additionner, le nombre de lignes et le nombre de colonnes doivent être identiques.[/reponse]
[reponse motif="$A$ de dimension $1 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 1$"]Non.
$A$ est une matrice ligne, $B$ est une matrice colonne : leurs dimensions ne coïncident pas. Une matrice $1 \times 3$ ne peut pas s'additionner avec une matrice $3 \times 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La somme $A + B$ n'est définie que si $A$ et $B$ ont exactement les mêmes dimensions.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A$ une matrice $3 \times 4$ et $B$ une matrice $4 \times 2$. Que peut-on dire du produit $A \times B$ ?
[qcm]
[option correct="true"]Il s'agit d'une matrice $3 \times 2$.[/option]
[option]Il s'agit d'une matrice $4 \times 4$.[/option]
[option]Il s'agit d'une matrice $4 \times 2$.[/option]
[option]Le produit $A \times B$ n'est pas défini.[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le produit d'une matrice $n \times p$ par une matrice $p \times q$ est défini et donne une matrice $n \times q$. Ici $3 \times \color{red}{4}$ par $\color{red}{4} \times 2$ donne $3 \times 2$.[/reponse]
[reponse motif="Il s'agit d'une matrice $4 \times 4$."]Non.
La dimension $4$ qui apparaît deux fois est le nombre de colonnes de $A$ et le nombre de lignes de $B$ : c'est ce qui permet au produit d'exister, mais ce n'est pas la dimension du résultat.[/reponse]
[reponse motif="Il s'agit d'une matrice $4 \times 2$."]Non.
Le produit conserve le nombre de lignes de la première matrice (donc $3$) et le nombre de colonnes de la seconde (donc $2$). Il ne reprend pas la dimension de $B$.[/reponse]
[reponse motif="Le produit $A \times B$ n'est pas défini."]Non.
Le produit existe car le nombre de colonnes de $A$ ($4$) est égal au nombre de lignes de $B$ ($4$). Vérifier la condition de compatibilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $A$ est de dimension $n \times p$ et $B$ de dimension $p \times q$, alors $A \times B$ est de dimension $n \times q$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Que vaut $3A - 2B$ ?
[qcm]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} 3 & -14 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$[/option]
[option]$\begin{pmatrix} -3 & 14 \\ -11 & 4 \end{pmatrix}$[/option]
[option correct="true"]$\begin{pmatrix} 3 & -14 \\ 11 & -4 \end{pmatrix}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On calcule d'abord $3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$ et $2B = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$.
Puis $3A - 2B = \begin{pmatrix} 3-0 & -6-8 \\ 9-(-2) & 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -14 \\ 11 & -4 \end{pmatrix}$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $3A + 2B$ et non $3A - 2B$. Le coefficient devant $B$ est $-2$, il faut donc bien soustraire $2B$.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} 3 & -14 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$"]Non.
Pour la position $(2,1)$ : $9 - (-2) = 9 + 2 = 11$. Le résultat $7$ correspond à $9 - 2$ : le signe de $-2$ a été ignoré au moment de la soustraction.[/reponse]
[reponse motif="$\begin{pmatrix} -3 & 14 \\ -11 & 4 \end{pmatrix}$"]Non.
Le calcul effectué est $2B - 3A$ : tous les signes sont opposés à ceux de $3A - 2B$. Bien partir de $3A$ et soustraire $2B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer séparément $3A$ et $2B$, puis soustraire coefficient par coefficient en respectant les signes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Puissances d’une matrice

Dans cet exercice on note $ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ la matrice unité.

Soient les matrices $ A=\begin{pmatrix} 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix} $ et $ B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

1. Exprimer $ B^2 $ et $ B^3 $ en fonction de $ B $.
2. Conjecturer l'expression de $ B^n $ en fonction de $ n $ et de $ B $.
3. Démontrer la conjecture précédente par récurrence.
1. Exprimer $ A $ en fonction de $ B $ et de $ I $.
2. En déduire l'expression de $ A^2 $ puis $ A^3 $ en fonction de $ B $ et de $ I $.
3. Donner l'écriture matricielle de $ A^3 $.
1. Montrer que pour tout entier naturel $ n $ strictement positif, il existe un entier $ a_n $ tel que :
  
  $ A^n=2^nI+a_nB $.
2. Déterminer la valeur de $ a_1 $ et une expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_n $.
3. En déduire la valeur de $ a_n $ en fonction de $ n $.
4. Donner l'écriture matricielle de la matrice $ A^n $ en fonction de $ n $.

Corrigé

1. On calcule $ B^2 $ :
  
  $ B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = 3B $
  
  On calcule $ B^3 $ :
  
  $ B^3 = B \times B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 \\ 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} = 9B $
2. On conjecture que $ B^n = 3^{n-1}B $.
3. La proposition $ B^n = 3^{n-1}B $ est vraie pour $ n = 1 $ (cas évident).
  
  Si elle est vraie pour un certain entier $ n \geqslant 1 $, alors on peut écrire :
  
  $ B^{n+1} = B^n \times B = 3^{n-1}B \times B = 3^{n-1}B^2 = 3^{n-1} \times 3B = 3^nB $
  
  montrant ainsi que la proposition est vraie pour $ n + 1 $, et, par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.
1. On constate que :
  
  $ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 2I - B $
2. Alors :
  
  $ A^2 = (2I - B)(2I - B) = 4I^2 - 4IB + B^2 = 4I - 4B + 3B = 4I - B $
  
  et
  
  $ A^3 = (4I - B)(2I - B) = 8I - 4IB - 2IB + B^2 = 8I - 6B + 3B = 8I - 3B $
3. On calcule l'écriture matricielle de $ A^3 $ :
  
  $ A^3 = 8 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3 \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & -3 \\ -3 & 5 & -3 \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix} $
1. La proposition $ A^n = 2^nI + a_nB $ avec $ n \in \mathbb{N}^* $ et $ a_n \in \mathbb{Z} $ est vraie pour :
2. $ A^1 = 2^1I + (-1)B $ avec $ a_1 = -1 $
3. $ A^2 = 2^2I + (-1)B $ avec $ a_2 = -1 $
4. $ A^3 = 2^3I + (-3)B $ avec $ a_3 = -3 $
  
  Si la proposition est vraie pour un certain entier naturel $ n $, on peut écrire :
  
  $ A^{n+1} = A^n \times A = (2^nI + a_nB)(2I - B) = 2^{n+1}I - 2^nIB + 2a_nIB - a_nB^2 $
  
  En remarquant que $ IB = B $ et $ B^2 = 3B $, on obtient :
  
  $ A^{n+1} = 2^{n+1}I + (-2^n - a_n)B $
  
  Comme $ (-2^n - a_n) \in \mathbb{Z} $, on pose $ a_{n+1} = -2^n - a_n $, et on obtient $ A^{n+1} = 2^{n+1}I + a_{n+1}B $, démontrant que la proposition est vraie pour $ n+1 $ et, par récurrence, pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $.
5. La valeur de $ a_1 $ est $-1$. L'expression de $ a_{n+1} $ en fonction de $ a_n $ est $ a_{n+1} = -2^n - a_n $.
6. D'après ce qui précède : $ a_n = -2^{n-1} - a_{n-1} $.
  
  En substituant successivement $ a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1 $, on obtient :
  
  $ a_n = -2^{n-1} + 2^{n-2} - 2^{n-3} + \dots \pm (2-1) = 2^n \sum_{i=1}^n \left( - \dfrac{1}{2} \right)^i $
  
  La somme $\sum$ est celle des $ n $ termes d'une progression géométrique de raison $ - \dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ - \dfrac{1}{2} $, d'où :
  
  $ a_n = 2^n \times \left( - \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{1 - \left( - \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 - \left( - \dfrac{1}{2} \right)} = - \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{2}{3} \right) \left[ 2^n - (-1)^n \right] = \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} $
7. Donner l'écriture matricielle de la matrice $ A^n $ :
  
  $ A^n = 2^nI + a_nB = 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
  
  $ A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \\ \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} \\ \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{-2^n + (-1)^n}{3} & \dfrac{2^{n+1} + (-1)^n}{3} \end{pmatrix} $