Fonction de répartition et coefficient de normalisation

Une station de mesure analyse la concentration en pollen dans l'air au cours d'une journée. On modélise cette concentration, exprimée dans une unité adaptée, par une variable aléatoire $ X $ à valeurs dans l'intervalle $ [0\,;4] $.

On admet que $ X $ admet une densité de la forme $ f(x) = k\,x(4 - x) $ sur $ [0\,;4] $, où $ k $ est un réel à déterminer.

Justifier que, pour tout réel $ k \geqslant 0 $, la fonction $ f $ est continue et positive sur $ [0\,;4] $.
Déterminer la valeur de $ k $ pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.
On note $ F $ la fonction définie sur $ [0\,;4] $ par $ F(x) = P(X \leqslant x) $.
1. Déterminer une expression de $ F(x) $ pour tout $ x \in [0\,;4] $.
2. Vérifier que $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $.
En utilisant la fonction $ F $, calculer $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) $.

Corrigé

La fonction $ f $ est un produit de fonctions polynômes, donc elle est continue sur $ [0\,;4] $.

Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ x \geqslant 0 $ et $ 4 - x \geqslant 0 $, donc le produit $ x(4 - x) \geqslant 0 $. Ainsi, dès que $ k \geqslant 0 $, on a $ f(x) = k\,x(4 - x) \geqslant 0 $ sur $ [0\,;4] $.

La fonction $ f $ est donc bien continue et positive sur $ [0\,;4] $.
Pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $, il faut que son intégrale sur cet intervalle soit égale à $ 1 $.

On développe $ f(x) = k(4x - x^{2}) $. Une primitive de $ x \mapsto 4x - x^{2} $ est $ x \mapsto 2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3} $.

$ \displaystyle\int_{0}^{4} k(4x - x^{2})\,dx = k\left[2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = k\left(2 \times 16 - \dfrac{64}{3}\right) = k\left(\dfrac{96}{3} - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{32k}{3} $

On résout alors $ \dfrac{32k}{3} = 1 $, ce qui donne $ k = \dfrac{3}{32} $.

Cette valeur est positive, donc la fonction $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{3}{32}\,x(4 - x) $ est bien une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.

La valeur cherchée est $\mathbf{k = \dfrac{3}{32}}$.
1. Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt $.
  
  $ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{3}{32}(4t - t^{2})\,dt = \dfrac{3}{32}\left[2t^{2} - \dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = \dfrac{3}{32}\left(2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right) $
  
  En développant : $ F(x) = \dfrac{3}{32} \times 2x^{2} - \dfrac{3}{32} \times \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32} $.
  
  On obtient donc, pour tout $ x \in [0\,;4] $ : $\mathbf{F(x) = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32}}$.
2. On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle.
  
  $ F(0) = \dfrac{3 \times 0}{16} - \dfrac{0}{32} = 0 $
  
  $ F(4) = \dfrac{3 \times 16}{16} - \dfrac{64}{32} = 3 - 2 = 1 $
  
  On retrouve bien $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $, ce qui est cohérent : la probabilité d'observer une valeur inférieure à la borne inférieure est nulle, et celle d'observer une valeur de l'intervalle entier est certaine.
En utilisant la fonction de répartition, on a $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = F(3) - F(1) $.

$ F(3) = \dfrac{3 \times 9}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{54}{32} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{32} $

$ F(1) = \dfrac{3 \times 1}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{6}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{32} $

$ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = \dfrac{27}{32} - \dfrac{5}{32} = \dfrac{22}{32} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875 $

La probabilité que la concentration mesurée soit comprise entre $ 1 $ et $ 3 $ vaut $\mathbf{\dfrac{11}{16}}$, soit environ $ 68{,}75\,\% $.

Vrai/Faux : Synthèse — pièges sur les lois à densité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante de synthèse sur les lois à densité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs et les hypothèses avec attention.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une loi exponentielle, $P(X > 10 \mid X > 4) = P(X > 6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Loi sans mémoire : $P_{X > 4}(X > 4 + 6) = P(X > 6)$.
Vérification : $\dfrac{P(X > 10)}{P(X > 4)} = \dfrac{\text{e}^{- 10\lambda}}{\text{e}^{- 4\lambda}} = \text{e}^{- 6\lambda} = P(X > 6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété d'absence de mémoire : la conditionnelle se ramène à $P(X > 6)$ (la durée restante).
$10 - 4 = 6$ est la durée demandée au-delà du temps déjà écoulé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété sans vieillissement : $P(X > 4 + 6 \mid X > 4) = P(X > 6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur $[0\,;\,2]$, la fonction $f(x) = 1{,}5 - 0{,}5x$ est une densité de probabilité.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,2]$ (car $f(0) = 1{,}5$ et $f(2) = 0{,}5$, donc $f \geqslant 0{,}5 > 0$).
Mais $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = \left[1{,}5 x - 0{,}25 x^{2}\right]_{0}^{2} = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La condition de normalisation n'est pas vérifiée : ce n'est pas une densité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérification de l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La fonction est continue et positive, mais la condition de normalisation n'est pas vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale vaut $2$, pas $1$ : ce n'est pas une densité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, alors la médiane (le réel $m$ vérifiant $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$) est $m = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, $P(X \leqslant m) = \dfrac{m - 0}{4 - 0} = \dfrac{m}{4}$.
$\dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{2}$ donne $m = 2$, qui est aussi le milieu de l'intervalle (médiane = moyenne pour la loi uniforme).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Loi uniforme : la médiane coïncide avec l'espérance (le milieu de l'intervalle), soit ici $2$.
Cela vient de la symétrie de la densité (constante).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, médiane $= 2 =$ milieu de l'intervalle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, donc $P(X > E(X)) = \text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$.
La loi exponentielle est asymétrique : la médiane est strictement inférieure à l'espérance, donc moins de $50\,\%$ de la masse est à droite de l'espérance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : pour une loi symétrique (par exemple la loi uniforme), médiane = espérance et $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.
Mais la loi exponentielle est asymétrique : $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$ (la loi exponentielle est asymétrique).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire continue. Alors $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires) et comme $P(X = 3) = 0$ en continu, $P(X > 3) = P(X \geqslant 3)$.
Donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
Remarque : dans le cas discret, cette somme aurait été $1 + P(X = 3)$, mais en continu $P(X = 3) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En continu, $P(X = 3) = 0$ donc $P(X \geqslant 3) = P(X > 3)$, et la somme $P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires).
Cela ne marcherait pas en discret où $P(X = 3)$ pourrait être non nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En continu, $P(X = 3) = 0$, donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_{X} = 1$ et $\lambda_{Y} = 2$. Alors la durée de vie moyenne de $X$ est plus grande que celle de $Y$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = \dfrac{1}{1} = 1$ et $E(Y) = \dfrac{1}{2}$. Donc $E(X) > E(Y)$.
Plus $\lambda$ est grand, plus la durée moyenne est courte (l'inverse du paramètre). Ici $\lambda_{Y} > \lambda_{X}$, donc $E(Y) < E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : $E = \dfrac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle.
$E(X) = 1$ et $E(Y) = 0{,}5$, donc $E(X) > E(Y)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = 1 > E(Y) = 0{,}5$ : $X$ a une durée de vie moyenne plus grande.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Lois à densité

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : variable aléatoire continue, loi uniforme, loi exponentielle et espérance. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les fonctions suivantes définies sur $[0\,;\,1]$, laquelle est une densité de probabilité ?
[qcm]
[option]$f(x) = x$[/option]
[option]$f(x) = 1 - 2x$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 2x$[/option]
[option]$f(x) = x^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(x) = 2x$ est continue, positive sur $[0\,;\,1]$ et $\displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{1} = 1$. Les trois conditions sont remplies.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = x$"]Non.
$f(x) = x$ est continue et positive, mais $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,dx = \dfrac{1}{2} \neq 1$. La condition de normalisation n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 1 - 2x$"]Non.
$f$ devient négative pour $x > \dfrac{1}{2}$ : la condition $f \geqslant 0$ est violée.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = x^{2}$"]Non.
$f(x) = x^{2}$ est positive, mais $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3} \neq 1$. L'intégrale n'est pas $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les trois conditions : continuité, positivité, intégrale égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le temps d'attente $T$ (en minutes) à un guichet suit une loi uniforme sur $[0\,;\,12]$. Sachant qu'on a déjà attendu $4$ minutes, quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $4$ minutes (c'est-à-dire $T \geqslant 8$) ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On cherche $P_{T \geqslant 4}(T \geqslant 8) = \dfrac{P(T \geqslant 8)}{P(T \geqslant 4)} = \dfrac{(12 - 8)/12}{(12 - 4)/12} = \dfrac{4/12}{8/12} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3} = P(T \geqslant 8)$, c'est la probabilité brute (non conditionnée). Penser à conditionner par $\{T \geqslant 4\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ ne correspond pas au quotient demandé. La probabilité conditionnelle vaut $\dfrac{P(T \geqslant 8)}{P(T \geqslant 4)} = \dfrac{4/12}{8/12} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La probabilité ne peut pas être nulle puisque $T = 12$ est encore possible (event non vide).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Probabilité conditionnelle : $P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Ici $\{T \geqslant 4\} \cap \{T \geqslant 8\} = \{T \geqslant 8\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La durée de vie (en années) d'un appareil suit la loi exponentielle. Sachant qu'il fonctionne depuis $5$ ans, la probabilité qu'il fonctionne encore $3$ années supplémentaires est égale à :
[qcm]
[option]$P(X \geqslant 8)$[/option]
[option correct="true"]$P(X \geqslant 3)$[/option]
[option]$P(X \geqslant 5)$[/option]
[option]$\dfrac{P(X \geqslant 8)}{P(X \geqslant 5)}$ ne se simplifie pas[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La loi exponentielle est sans vieillissement : $P_{X > 5}(X > 5 + 3) = P(X > 3)$.
Vérification : $\dfrac{P(X > 8)}{P(X > 5)} = \dfrac{\text{e}^{-8\lambda}}{\text{e}^{-5\lambda}} = \text{e}^{-3\lambda} = P(X > 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \geqslant 8)$"]Non.
$P(X \geqslant 8)$ est la probabilité non conditionnée. La propriété sans vieillissement permet de simplifier la conditionnelle en $P(X \geqslant 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \geqslant 5)$"]Non.
La durée déjà écoulée n'intervient pas dans la conditionnelle, c'est la durée restante qui compte. Réponse : $P(X \geqslant 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{P(X \geqslant 8)}{P(X \geqslant 5)}$ ne se simplifie pas"]Non.
La simplification est possible et c'est précisément la propriété « sans vieillissement » de la loi exponentielle. Le quotient des exponentielles donne $\text{e}^{-3\lambda}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi exponentielle sans vieillissement : $P_{X > a}(X > a + b) = P(X > b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[0\,;\,2]$ avec $f(x) = \dfrac{3}{8} x^{2}$. Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{3}{8} x^{2}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{3}{8} x^{3}\,dx = \dfrac{3}{8} \times \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{16}{4} = \dfrac{3}{8} \times 4 = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est le milieu de $[0\,;\,2]$, valable pour la loi uniforme. Ici la densité $\dfrac{3}{8} x^{2}$ « tire » la moyenne vers les grandes valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Erreur d'intégration : avec la primitive correcte $\dfrac{x^{4}}{4}$, le résultat est $\dfrac{3}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
$\dfrac{3}{8}$ est le coefficient de la densité, pas l'espérance. Calculer $\displaystyle\int x \times f(x)\,dx$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{3}{8} x^{2}\,dx$. Calculer la primitive de $x^{3}$ et appliquer le crochet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité $P(X > E(X))$, c'est-à-dire que $X$ dépasse son espérance, vaut :
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$[/option]
[option]$1 - \text{e}^{- 1} \approx 0{,}63$[/option]
[option]Cela dépend de $\lambda$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. Donc $P(X > E(X)) = P\!\left(X > \dfrac{1}{\lambda}\right) = \text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.
Remarquable : ce résultat ne dépend pas de $\lambda$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ correspondrait à une loi symétrique autour de la moyenne (médiane = moyenne). La loi exponentielle est asymétrique : il y a moins de masse à droite de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$1 - \text{e}^{- 1} \approx 0{,}63$"]Non.
$1 - \text{e}^{- 1} = P(X \leqslant E(X))$, c'est l'événement contraire. La masse est plus grande à gauche de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend de $\lambda$"]Non.
Le paramètre $\lambda$ se simplifie : $\text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1}$ pour tout $\lambda > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$, ici $a = E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda a = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = \dfrac{2}{9}\,x$. Soit $X$ de densité $f$. Que vaut la médiane $m$ de $X$, c'est-à-dire le réel $m$ tel que $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$ ?
[qcm]
[option]$m = 1$[/option]
[option]$m = 1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$m = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \approx 2{,}12$[/option]
[option]$m = 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(X \leqslant m) = \displaystyle\int_{0}^{m} \dfrac{2}{9} x\,dx = \dfrac{2}{9}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{m} = \dfrac{m^{2}}{9}$.
On résout $\dfrac{m^{2}}{9} = \dfrac{1}{2}$, donc $m^{2} = \dfrac{9}{2}$, soit $m = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12$.[/reponse]
[reponse motif="$m = 1$"]Non.
$P(X \leqslant 1) = \dfrac{1}{9}$, c'est trop petit. La médiane est plus grande puisque la densité croît.[/reponse]
[reponse motif="$m = 1{,}5$"]Non.
$P(X \leqslant 1{,}5) = \dfrac{1{,}5^{2}}{9} = \dfrac{2{,}25}{9} = 0{,}25$, ce qui n'est pas $\dfrac{1}{2}$. Réponse plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$m = 2$"]Non.
$P(X \leqslant 2) = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}44$, c'est presque $\dfrac{1}{2}$ mais pas exactement. La densité étant croissante, la médiane n'est pas le milieu de l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $P(X \leqslant m) = \dfrac{m^{2}}{9} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Variable continue et fonction de densité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les variables aléatoires continues et les fonctions de densité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les conditions avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une variable aléatoire continue $X$ et un réel $k$, on a $P(X = k) = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour une loi à densité, $P(X = k) = \displaystyle\int_{k}^{k} f(x)\,dx = 0$. C'est une particularité importante du cas continu : aucune valeur isolée n'a de probabilité strictement positive.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : pour une variable continue, la probabilité d'une valeur ponctuelle est toujours nulle, car l'intégrale entre $k$ et $k$ vaut zéro.
À ne pas confondre avec le cas discret où $P(X = k)$ est en général strictement positif.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En continu, $P(X = k) = \displaystyle\int_{k}^{k} f(x)\,dx = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour qu'une fonction $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ soit une densité de probabilité, il suffit que $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Il manque la condition de positivité : $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$.
Sans cette condition, l'intégrale pourrait valoir $1$ avec des zones négatives, ce qui n'est pas autorisé pour une densité (les probabilités sont positives).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il manque la condition $f \geqslant 0$.
Trois conditions au total : continuité, positivité et intégrale égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Trois conditions sont nécessaires : $f$ continue, $f \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} f = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La densité $f$ d'une loi à densité est toujours bornée par $1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La densité peut prendre des valeurs supérieures à $1$. Par exemple, sur $[0\,;\,0{,}5]$, la densité $f(x) = 2$ vérifie bien $\displaystyle\int_{0}^{0{,}5} 2\,dx = 1$, alors que $f$ vaut $2$.
Ce qui est borné par $1$, c'est la probabilité (l'intégrale), pas la densité elle-même.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente : la probabilité est bornée par $1$, mais pas la densité.
La densité est une « hauteur » qui peut dépasser $1$ tant que l'aire totale reste égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La densité peut dépasser $1$ ; c'est l'aire totale (probabilité totale) qui vaut $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une variable aléatoire continue $X$, on a $P(X < a) = P(X \leqslant a)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$P(X \leqslant a) = P(X < a) + P(X = a)$ et comme $P(X = a) = 0$ en continu, les deux probabilités sont égales.
Conséquence pratique : on peut indifféremment écrire $<$ ou $\leqslant$ (et $>$ ou $\geqslant$) dans les calculs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : en continu, $P(X = a) = 0$, donc inclure ou exclure une valeur isolée ne change rien à la probabilité.
À ne pas confondre avec le cas discret, où l'égalité change le résultat.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En continu, larges et strictes donnent la même probabilité car $P(X = a) = 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = 3 x^{2}$ est une densité de probabilité.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,1]$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} 3 x^{2}\,dx = \left[x^{3}\right]_{0}^{1} = 1$.
Les trois conditions sont réunies : c'est bien une densité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : vérifier les trois conditions.
- $f$ est continue (polynomiale) sur $[0\,;\,1]$.
- $f \geqslant 0$ sur $[0\,;\,1]$.
- L'intégrale vaut $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $f$ est continue, positive et $\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^{2}\,dx = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. La probabilité $P(c \leqslant X \leqslant d)$ correspond géométriquement à l'aire sous la courbe de $f$ entre les abscisses $c$ et $d$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$. Comme $f \geqslant 0$, cette intégrale est exactement l'aire (en u.a.) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales $x = c$ et $x = d$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lien fondamental entre densité et probabilité : la probabilité est l'aire sous la courbe de la densité.
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La probabilité est l'aire sous la courbe de la densité entre $c$ et $d$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Variable aléatoire continue et fonction de densité

[enonce]
Ce QCM porte sur les variables aléatoires continues et la notion de fonction de densité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans $[a\,;\,b]$ et $k$ un réel de $[a\,;\,b]$. Que vaut $P(X = k)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{b - a}$[/option]
[option]$f(k)$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]On ne peut pas le calculer[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour une variable aléatoire continue de densité $f$, on a $P(X = k) = \displaystyle\int_{k}^{k} f(x)\,dx = 0$.
C'est une propriété fondamentale : la probabilité d'une valeur ponctuelle est toujours nulle dans le cas continu.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{b - a}$"]Non.
$\dfrac{1}{b - a}$ est la valeur de la densité dans le cas particulier de la loi uniforme, pas la probabilité d'une valeur ponctuelle.[/reponse]
[reponse motif="$f(k)$"]Non.
$f(k)$ est la valeur de la densité au point $k$, qui n'a pas le statut d'une probabilité (elle peut même dépasser $1$).[/reponse]
[reponse motif="On ne peut pas le calculer"]Non.
La probabilité d'une valeur ponctuelle est parfaitement définie pour une loi à densité : elle vaut une intégrale sur $[k\,;\,k]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En continu, $P(X = k) = \displaystyle\int_{k}^{k} f(x)\,dx = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\,;\,b]$. Pour que $f$ soit une fonction de densité, quelles sont les trois conditions à vérifier ?
[qcm]
[option]$f$ croissante, $f(a) = 0$ et $f(b) = 1$[/option]
[option]$f$ continue, bornée par $1$ et de moyenne nulle[/option]
[option correct="true"]$f$ continue, $f \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = 1$[/option]
[option]$f$ dérivable, $f \geqslant 0$ et $f(a) + f(b) = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Une fonction de densité doit être :
1) continue sur l'intervalle,
2) positive ou nulle (car une probabilité est positive),
3) d'intégrale égale à $1$ sur l'intervalle (la probabilité totale).[/reponse]
[reponse motif="$f$ croissante, $f(a) = 0$ et $f(b) = 1$"]Non.
La densité n'est pas la fonction de répartition. Une densité n'est pas tenue d'être croissante (ex : densité constante de la loi uniforme).[/reponse]
[reponse motif="$f$ continue, bornée par $1$ et de moyenne nulle"]Non.
Une densité n'est pas bornée par $1$ (elle peut dépasser $1$, par exemple sur $[0\,;\,0{,}5]$ une densité valant $2$ a une intégrale de $1$). De plus, sa moyenne n'est pas nulle.[/reponse]
[reponse motif="$f$ dérivable, $f \geqslant 0$ et $f(a) + f(b) = 1$"]Non.
La condition de normalisation porte sur l'intégrale sur l'intervalle (qui doit valoir $1$), pas sur la somme des valeurs aux bornes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trois conditions : continuité, positivité, intégrale égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fonction $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}$ est-elle une densité de probabilité sur cet intervalle ?
[qcm]
[option]Non, car $f(2) = 1$[/option]
[option correct="true"]Oui, car $f$ est continue, positive et $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 1$[/option]
[option]Non, car $f$ n'est pas constante[/option]
[option]Oui, mais seulement parce que $f$ est croissante[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,2]$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x}{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{2} = \dfrac{4}{4} - 0 = 1$.
Les trois conditions sont vérifiées.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $f(2) = 1$"]Non.
Une densité peut prendre la valeur $1$, c'est sans rapport. La condition est que l'intégrale vaille $1$, pas la fonction.[/reponse]
[reponse motif="Non, car $f$ n'est pas constante"]Non.
Une densité n'a pas besoin d'être constante. Seule la loi uniforme a une densité constante ; il existe beaucoup d'autres lois (exponentielle, etc.).[/reponse]
[reponse motif="Oui, mais seulement parce que $f$ est croissante"]Non.
La croissance n'intervient pas dans les trois conditions. Une densité peut tout à fait être décroissante (densité de la loi exponentielle, par exemple).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les trois conditions : continuité, positivité, intégrale égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire continue. Quelle égalité est correcte ?
[qcm]
[option correct="true"]$P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3)$[/option]
[option]$P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) + P(X = 1) + P(X = 3)$[/option]
[option]$P(1 < X < 3) < P(1 \leqslant X \leqslant 3)$[/option]
[option]$P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) - 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
En continu, $P(X = 1) = P(X = 3) = 0$, donc inclure ou exclure les bornes ne change rien : les inégalités larges et strictes donnent la même probabilité.[/reponse]
[reponse motif="$P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) + P(X = 1) + P(X = 3)$"]Non.
La relation est correcte dans le cas discret, mais en continu $P(X = 1) = P(X = 3) = 0$, donc cette correction est inutile.[/reponse]
[reponse motif="$P(1 < X < 3) < P(1 \leqslant X \leqslant 3)$"]Non.
Inégalité stricte impossible : ajouter les bornes ajoute $0$, donc les deux probabilités sont égales.[/reponse]
[reponse motif="$P(1 < X < 3) = P(1 \leqslant X \leqslant 3) - 1$"]Non.
Une probabilité reste comprise entre $0$ et $1$. Soustraire $1$ donnerait une valeur négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
En continu, larges et strictes donnent la même probabilité ; rappel : $P(X = k) = 0$ pour tout $k$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Géométriquement, à quoi correspond la probabilité $P(c \leqslant X \leqslant d)$ ?
[qcm]
[option]La valeur $f(d) - f(c)$[/option]
[option]La hauteur du rectangle de base $[c\,;\,d]$[/option]
[option correct="true"]L'aire (en unités d'aire) du domaine sous la courbe de $f$ entre $x = c$ et $x = d$[/option]
[option]La pente de la corde joignant $(c\,;\,f(c))$ à $(d\,;\,f(d))$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$. Comme $f \geqslant 0$, cette intégrale est l'aire sous la courbe entre les abscisses $c$ et $d$.[/reponse]
[reponse motif="La valeur $f(d) - f(c)$"]Non.
$f(d) - f(c)$ est une variation de la fonction de densité, sans interprétation probabiliste directe. La probabilité est une intégrale, pas une différence de valeurs de $f$.[/reponse]
[reponse motif="La hauteur du rectangle de base $[c\,;\,d]$"]Non.
Une probabilité est une aire, pas une hauteur. La densité $f$ donne une hauteur, c'est l'intégrale qui en fait une aire.[/reponse]
[reponse motif="La pente de la corde joignant $(c\,;\,f(c))$ à $(d\,;\,f(d))$"]Non.
La pente d'une corde correspond à un taux d'accroissement, pas à une probabilité. Penser « aire sous la courbe ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$ : c'est l'aire sous la courbe.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = k\,x^{2}$. Pour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle une densité de probabilité sur $[0\,;\,1]$ ?
[qcm]
[option]$k = 1$[/option]
[option]$k = 2$[/option]
[option correct="true"]$k = 3$[/option]
[option]$k = \dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On impose $\displaystyle\int_{0}^{1} k\,x^{2}\,dx = 1$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} k\,x^{2}\,dx = k\,\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{k}{3}$.
$\dfrac{k}{3} = 1$ donne $k = 3$. La fonction est de plus continue et positive sur $[0\,;\,1]$, c'est donc une densité.[/reponse]
[reponse motif="$k = 1$"]Non.
Avec $k = 1$, $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3}$, ce qui est différent de $1$. Il faut compenser ce facteur $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = 2$"]Non.
Avec $k = 2$, l'intégrale vaut $\dfrac{2}{3}$, ce qui n'est pas $1$. Réviser le calcul de la primitive de $x^{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$k = \dfrac{1}{3}$"]Non.
Confusion classique : $k = \dfrac{1}{3}$ correspond à diviser au lieu de multiplier. Vérifier : $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{3} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{9}$, donc ce $k$ ne convient pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Imposer $\displaystyle\int_{0}^{1} k\,x^{2}\,dx = 1$ et résoudre en $k$ ; rappel : primitive de $x^{2}$ vaut $\dfrac{x^{3}}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]