[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la loi uniforme sur un intervalle $[a\,;\,b]$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, alors sa densité est constante sur $[a\,;\,b]$ et vaut $\dfrac{1}{b - a}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition même de la loi uniforme : densité constante. La valeur $\dfrac{1}{b - a}$ est imposée par la condition $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Définition : loi uniforme = densité constante.
La valeur $\dfrac{1}{b - a}$ est obtenue par normalisation.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de la loi uniforme : densité $\dfrac{1}{b - a}$ sur $[a\,;\,b]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,8]$, alors $P(3 \leqslant X \leqslant 5) = \dfrac{1}{6}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$P(3 \leqslant X \leqslant 5) = \dfrac{5 - 3}{8 - 2} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, et non $\dfrac{1}{6}$.
$\dfrac{1}{6}$ correspond à la valeur de la densité, pas à la probabilité d'un sous-intervalle de longueur $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la formule : $P(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a}$.
Le numérateur est la longueur du sous-intervalle ($d - c$), pas $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(3 \leqslant X \leqslant 5) = \dfrac{5 - 3}{8 - 2} = \dfrac{1}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, alors $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'espérance d'une loi uniforme est le milieu de l'intervalle. Cohérent avec l'idée d'équirépartition autour du centre.
Démonstration : $E(X) = \displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{x}{b - a}\,dx = \dfrac{b^{2} - a^{2}}{2(b - a)} = \dfrac{a + b}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule à retenir : pour la loi uniforme, l'espérance est le milieu de l'intervalle, soit $\dfrac{a + b}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$ pour la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,10]$, alors $P(X = 5) = \dfrac{1}{10}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$P(X = 5) = 0$ pour toute valeur ponctuelle (cas continu). $\dfrac{1}{10}$ est la valeur de la densité au point $5$, pas une probabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : confondre la densité $f(5) = \dfrac{1}{10}$ avec la probabilité $P(X = 5) = 0$.
En continu, toute probabilité ponctuelle est nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X = 5) = 0$ ; $\dfrac{1}{10}$ est la valeur de la densité, pas une probabilité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le bus passe entre 8h00 et 8h12 selon la loi uniforme. La probabilité d'attendre au plus $3$ minutes (à partir de 8h00) est $\dfrac{1}{4}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Soit $X$ le temps d'attente sur $[0\,;\,12]$. $P(X \leqslant 3) = \dfrac{3 - 0}{12 - 0} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : modéliser par la loi uniforme sur $[0\,;\,12]$ et appliquer $P(X \leqslant d) = \dfrac{d}{b - a}$.
Ici $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(X \leqslant 3) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, alors la probabilité $P(X = E(X))$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(X = E(X)) = 0$ : c'est une probabilité ponctuelle, qui est nulle en continu, quel que soit le point considéré (y compris l'espérance).
La quantité $\dfrac{1}{2}$ est plutôt $P(X \leqslant E(X))$, qui découpe la loi en deux parts égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège : ne pas confondre $P(X = E(X)) = 0$ avec $P(X \leqslant E(X)) = \dfrac{1}{2}$ (la loi uniforme est symétrique autour de son espérance).
La probabilité ponctuelle reste nulle en continu.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X = E(X)) = 0$ (cas continu). $\dfrac{1}{2}$ est la probabilité $P(X \leqslant E(X))$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur la loi uniforme sur un intervalle $[a\,;\,b]$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$. Quelle est sa densité ?
[qcm]
[option]$f(x) = \dfrac{x}{b - a}$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]$f(x) = b - a$[/option]
[option]$f(x) = 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La densité de la loi uniforme est constante sur l'intervalle, égale à $\dfrac{1}{b - a}$. Le coefficient $\dfrac{1}{b - a}$ assure que $\displaystyle\int_{a}^{b} f = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = \dfrac{x}{b - a}$"]Non.
La densité de la loi uniforme est constante (ne dépend pas de $x$). « Uniforme » signifie justement que toutes les zones de l'intervalle sont aussi probables.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = b - a$"]Non.
$b - a$ est la longueur de l'intervalle. La densité est l'inverse de cette longueur, pour que l'aire totale soit $1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 1$"]Non.
$f(x) = 1$ correspond seulement au cas particulier de la loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ ($b - a = 1$). En général, la densité dépend de la longueur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Densité constante : $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ sur $[a\,;\,b]$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,10]$. Que vaut $P(4 \leqslant X \leqslant 7)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Pour la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $P(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a}$.
Ici : $\dfrac{7 - 4}{10 - 2} = \dfrac{3}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]Non.
$\dfrac{1}{8}$ est la valeur de la densité $\dfrac{1}{b - a}$, pas la probabilité. Multiplier par la longueur de l'intervalle $[4\,;\,7]$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{10}$"]Non.
La longueur de l'intervalle $[2\,;\,10]$ est $b - a = 8$, pas $10$. Diviser par la bonne longueur.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3}$ correspond à diviser par la longueur de $[4\,;\,7]$ au lieu de la longueur totale. La formule est $\dfrac{d - c}{b - a}$, avec la grande longueur au dénominateur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \dfrac{d - c}{b - a} = \dfrac{7 - 4}{10 - 2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$. Que vaut son espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option]$E(X) = b - a$[/option]
[option]$E(X) = \dfrac{1}{b - a}$[/option]
[option correct="true"]$E(X) = \dfrac{a + b}{2}$[/option]
[option]$E(X) = \dfrac{a \times b}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'espérance d'une loi uniforme est le milieu de l'intervalle : $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$. C'est cohérent avec l'idée que la densité est constante (valeurs réparties équitablement autour du milieu).[/reponse]
[reponse motif="$E(X) = b - a$"]Non.
$b - a$ est la longueur de l'intervalle, pas le centre. L'espérance se situe au milieu de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$E(X) = \dfrac{1}{b - a}$"]Non.
$\dfrac{1}{b - a}$ est la valeur de la densité, pas l'espérance. Confusion classique.[/reponse]
[reponse motif="$E(X) = \dfrac{a \times b}{2}$"]Non.
La formule du milieu fait intervenir une somme $a + b$, pas un produit. Sur $[2\,;\,4]$, le milieu est $3$, pas $4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi uniforme : l'espérance est le milieu de l'intervalle, $\dfrac{a + b}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On choisit au hasard un nombre $X$ entre $0$ et $20$ selon la loi uniforme. Que vaut $P(X > 15)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}75$[/option]
[option]$0{,}05$[/option]
[option]$15$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$P(X > 15) = P(15 \leqslant X \leqslant 20) = \dfrac{20 - 15}{20 - 0} = \dfrac{5}{20} = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}75$"]Non.
$0{,}75 = P(X \leqslant 15)$ : c'est l'événement contraire. La probabilité demandée est $1 - 0{,}75 = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}05$"]Non.
$0{,}05 = \dfrac{1}{20}$ est la valeur de la densité (constante). Pour obtenir une probabilité, multiplier par la longueur du sous-intervalle, soit $5$.[/reponse]
[reponse motif="$15$"]Non.
Une probabilité doit être comprise entre $0$ et $1$. La valeur $15$ est l'abscisse, pas la probabilité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi uniforme sur $[0\,;\,20]$ : $P(X > 15) = \dfrac{20 - 15}{20}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,1]$. Quelle affirmation est correcte ?
[qcm]
[option]Sa densité vaut $\dfrac{1}{2}$[/option]
[option correct="true"]$E(X) = \dfrac{1}{2}$ et la densité vaut $1$[/option]
[option]$E(X) = 1$[/option]
[option]$P(X = 0{,}5) = 0{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Sur $[0\,;\,1]$ : la densité est $\dfrac{1}{1 - 0} = 1$ et l'espérance est $\dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2}$. Cas fondamental utilisé en simulation (random()).[/reponse]
[reponse motif="Sa densité vaut $\dfrac{1}{2}$"]Non.
La densité est $\dfrac{1}{b - a} = \dfrac{1}{1} = 1$. Confusion possible avec l'espérance qui vaut $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$E(X) = 1$"]Non.
$1$ est la borne supérieure, pas l'espérance. Le milieu de $[0\,;\,1]$ est $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X = 0{,}5) = 0{,}5$"]Non.
En continu, $P(X = k) = 0$ pour tout $k$. Une valeur ponctuelle a toujours une probabilité nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ : densité $= 1$, espérance $= \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le temps d'attente à un arrêt de bus suit la loi uniforme sur $[0\,;\,15]$ minutes. Quelle est la probabilité d'attendre au moins $10$ minutes ?
[qcm]
[option]$\dfrac{10}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{15}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
« Attendre au moins $10$ minutes » se traduit par $X \geqslant 10$.
$P(X \geqslant 10) = \dfrac{15 - 10}{15 - 0} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{10}{15}$"]Non.
$\dfrac{10}{15} = P(X \leqslant 10)$ : c'est l'événement contraire (« attendre au plus $10$ minutes »). Bien identifier le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{15}$"]Non.
$\dfrac{1}{15}$ est la valeur de la densité, pas une probabilité. Multiplier par la longueur de l'intervalle considéré (ici $5$).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
$\dfrac{2}{3} = P(X \leqslant 10)$ également (probabilité d'attendre au plus $10$ minutes). Inverser le raisonnement par passage au complémentaire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
« Au moins $10$ minutes » : $P(X \geqslant 10) = \dfrac{15 - 10}{15}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis.

1. Paul se connecte sur le site. La durée $ D $ (en seconde) qu'il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $ \left[20 ; 120\right] $.

   1. Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes.
   2. Calculer l'espérance mathématique de $ D $. Interpréter ce résultat

Soit $ X $ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle $ \left[1;5\right] $

1. Calculer $ p\left(X < 2\right) $, $ p\left(2\leqslant X\leqslant 4\right) $, $ p\left(X > 3\right) $.
2. Quelle est l'espérance mathématique de $ X $ ?
3. Quelle est la probabilité que $ X $ soit supérieur à $ 3 $ sachant que $ X $ est supérieur à $ 2 $.