Vrai/Faux : Synthèse — pièges sur les lois à densité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante de synthèse sur les lois à densité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs et les hypothèses avec attention.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour une loi exponentielle, $P(X > 10 \mid X > 4) = P(X > 6)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Loi sans mémoire : $P_{X > 4}(X > 4 + 6) = P(X > 6)$.
Vérification : $\dfrac{P(X > 10)}{P(X > 4)} = \dfrac{\text{e}^{- 10\lambda}}{\text{e}^{- 4\lambda}} = \text{e}^{- 6\lambda} = P(X > 6)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété d'absence de mémoire : la conditionnelle se ramène à $P(X > 6)$ (la durée restante).
$10 - 4 = 6$ est la durée demandée au-delà du temps déjà écoulé.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété sans vieillissement : $P(X > 4 + 6 \mid X > 4) = P(X > 6)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur $[0\,;\,2]$, la fonction $f(x) = 1{,}5 - 0{,}5x$ est une densité de probabilité.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f$ est continue et positive sur $[0\,;\,2]$ (car $f(0) = 1{,}5$ et $f(2) = 0{,}5$, donc $f \geqslant 0{,}5 > 0$).
Mais $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = \left[1{,}5 x - 0{,}25 x^{2}\right]_{0}^{2} = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La condition de normalisation n'est pas vérifiée : ce n'est pas une densité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérification de l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^{2}(1{,}5 - 0{,}5 x)\,dx = 3 - 1 = 2 \neq 1$.
La fonction est continue et positive, mais la condition de normalisation n'est pas vérifiée.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale vaut $2$, pas $1$ : ce n'est pas une densité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, alors la médiane (le réel $m$ vérifiant $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$) est $m = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, $P(X \leqslant m) = \dfrac{m - 0}{4 - 0} = \dfrac{m}{4}$.
$\dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{2}$ donne $m = 2$, qui est aussi le milieu de l'intervalle (médiane = moyenne pour la loi uniforme).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Loi uniforme : la médiane coïncide avec l'espérance (le milieu de l'intervalle), soit ici $2$.
Cela vient de la symétrie de la densité (constante).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour la loi uniforme sur $[0\,;\,4]$, médiane $= 2 =$ milieu de l'intervalle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, donc $P(X > E(X)) = \text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$.
La loi exponentielle est asymétrique : la médiane est strictement inférieure à l'espérance, donc moins de $50\,\%$ de la masse est à droite de l'espérance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Piège classique : pour une loi symétrique (par exemple la loi uniforme), médiane = espérance et $P(X > E(X)) = \dfrac{1}{2}$.
Mais la loi exponentielle est asymétrique : $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X > E(X)) = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$, et non $\dfrac{1}{2}$ (la loi exponentielle est asymétrique).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire continue. Alors $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires) et comme $P(X = 3) = 0$ en continu, $P(X > 3) = P(X \geqslant 3)$.
Donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
Remarque : dans le cas discret, cette somme aurait été $1 + P(X = 3)$, mais en continu $P(X = 3) = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En continu, $P(X = 3) = 0$ donc $P(X \geqslant 3) = P(X > 3)$, et la somme $P(X \leqslant 3) + P(X > 3) = 1$ (événements contraires).
Cela ne marcherait pas en discret où $P(X = 3)$ pourrait être non nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En continu, $P(X = 3) = 0$, donc $P(X \leqslant 3) + P(X \geqslant 3) = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires de loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_{X} = 1$ et $\lambda_{Y} = 2$. Alors la durée de vie moyenne de $X$ est plus grande que celle de $Y$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = \dfrac{1}{1} = 1$ et $E(Y) = \dfrac{1}{2}$. Donc $E(X) > E(Y)$.
Plus $\lambda$ est grand, plus la durée moyenne est courte (l'inverse du paramètre). Ici $\lambda_{Y} > \lambda_{X}$, donc $E(Y) < E(X)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : $E = \dfrac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle.
$E(X) = 1$ et $E(Y) = 0{,}5$, donc $E(X) > E(Y)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = 1 > E(Y) = 0{,}5$ : $X$ a une durée de vie moyenne plus grande.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Loi exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition. Le coefficient $\lambda$ et l'exposant négatif $- \lambda x$ assurent que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule à retenir : densité $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
Sans le facteur $\lambda$ ou avec un exposant positif, ce ne serait pas une densité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Densité : $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $E(X) = \lambda$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, et non $\lambda$.
Ainsi pour $\lambda = 0{,}5$, l'espérance est $\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ ; pour $\lambda = 2$, l'espérance vaut $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente : l'espérance est l'inverse du paramètre.
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : plus $\lambda$ est grand, plus la durée moyenne est courte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, l'inverse du paramètre.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$ pour tout $a \geqslant 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$P(X > a) = \displaystyle\int_{a}^{+\infty} \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}\,dx = \lim_{t \to +\infty} \left[- \text{e}^{- \lambda x}\right]_{a}^{t} = 0 + \text{e}^{- \lambda a} = \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule importante : $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$.
Conséquence : $P(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$ pour la loi exponentielle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La loi exponentielle est dite « sans vieillissement » : pour tous réels $s > 0$ et $t > 0$, $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété fondamentale de la loi exponentielle.
Démonstration : $P_{X > s}(X > s + t) = \dfrac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \dfrac{\text{e}^{- \lambda(s + t)}}{\text{e}^{- \lambda s}} = \text{e}^{- \lambda t} = P(X > t)$.
Interprétation : la durée déjà écoulée n'influence pas la durée restante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété centrale du chapitre : la loi exponentielle est sans mémoire (sans vieillissement).
Le passé ne compte pas pour évaluer la durée restante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété « sans vieillissement » de la loi exponentielle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2$, on a $P(X \leqslant 1) = \text{e}^{- 2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
$P(X \leqslant 1) = 1 - \text{e}^{- \lambda \times 1} = 1 - \text{e}^{- 2}$, et non $\text{e}^{- 2}$.
$\text{e}^{- 2}$ est plutôt $P(X > 1)$ (l'événement contraire).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens de l'inégalité : $P(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$ alors que $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$.
Les deux sont contraires, leur somme vaut $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X \leqslant 1) = 1 - \text{e}^{- 2}$ ; $\text{e}^{- 2}$ correspond à $P(X > 1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La durée de vie (en années) d'un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$. Sa durée de vie moyenne est de $4$ années.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$ années. La durée de vie moyenne est bien $4$ ans.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calcul : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$.
Vérification : $0{,}25 \times 4 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$ années.
[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Lois à densité

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : variable aléatoire continue, loi uniforme, loi exponentielle et espérance. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les fonctions suivantes définies sur $[0\,;\,1]$, laquelle est une densité de probabilité ?
[qcm]
[option]$f(x) = x$[/option]
[option]$f(x) = 1 - 2x$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 2x$[/option]
[option]$f(x) = x^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$f(x) = 2x$ est continue, positive sur $[0\,;\,1]$ et $\displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{0}^{1} = 1$. Les trois conditions sont remplies.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = x$"]Non.
$f(x) = x$ est continue et positive, mais $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,dx = \dfrac{1}{2} \neq 1$. La condition de normalisation n'est pas vérifiée.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 1 - 2x$"]Non.
$f$ devient négative pour $x > \dfrac{1}{2}$ : la condition $f \geqslant 0$ est violée.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = x^{2}$"]Non.
$f(x) = x^{2}$ est positive, mais $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3} \neq 1$. L'intégrale n'est pas $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier les trois conditions : continuité, positivité, intégrale égale à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Le temps d'attente $T$ (en minutes) à un guichet suit une loi uniforme sur $[0\,;\,12]$. Sachant qu'on a déjà attendu $4$ minutes, quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $4$ minutes (c'est-à-dire $T \geqslant 8$) ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{3}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{4}$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On cherche $P_{T \geqslant 4}(T \geqslant 8) = \dfrac{P(T \geqslant 8)}{P(T \geqslant 4)} = \dfrac{(12 - 8)/12}{(12 - 4)/12} = \dfrac{4/12}{8/12} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}$"]Non.
$\dfrac{1}{3} = P(T \geqslant 8)$, c'est la probabilité brute (non conditionnée). Penser à conditionner par $\{T \geqslant 4\}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{4}$"]Non.
$\dfrac{1}{4}$ ne correspond pas au quotient demandé. La probabilité conditionnelle vaut $\dfrac{P(T \geqslant 8)}{P(T \geqslant 4)} = \dfrac{4/12}{8/12} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La probabilité ne peut pas être nulle puisque $T = 12$ est encore possible (event non vide).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Probabilité conditionnelle : $P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Ici $\{T \geqslant 4\} \cap \{T \geqslant 8\} = \{T \geqslant 8\}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La durée de vie (en années) d'un appareil suit la loi exponentielle. Sachant qu'il fonctionne depuis $5$ ans, la probabilité qu'il fonctionne encore $3$ années supplémentaires est égale à :
[qcm]
[option]$P(X \geqslant 8)$[/option]
[option correct="true"]$P(X \geqslant 3)$[/option]
[option]$P(X \geqslant 5)$[/option]
[option]$\dfrac{P(X \geqslant 8)}{P(X \geqslant 5)}$ ne se simplifie pas[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La loi exponentielle est sans vieillissement : $P_{X > 5}(X > 5 + 3) = P(X > 3)$.
Vérification : $\dfrac{P(X > 8)}{P(X > 5)} = \dfrac{\text{e}^{-8\lambda}}{\text{e}^{-5\lambda}} = \text{e}^{-3\lambda} = P(X > 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \geqslant 8)$"]Non.
$P(X \geqslant 8)$ est la probabilité non conditionnée. La propriété sans vieillissement permet de simplifier la conditionnelle en $P(X \geqslant 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \geqslant 5)$"]Non.
La durée déjà écoulée n'intervient pas dans la conditionnelle, c'est la durée restante qui compte. Réponse : $P(X \geqslant 3)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{P(X \geqslant 8)}{P(X \geqslant 5)}$ ne se simplifie pas"]Non.
La simplification est possible et c'est précisément la propriété « sans vieillissement » de la loi exponentielle. Le quotient des exponentielles donne $\text{e}^{-3\lambda}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi exponentielle sans vieillissement : $P_{X > a}(X > a + b) = P(X > b)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[0\,;\,2]$ avec $f(x) = \dfrac{3}{8} x^{2}$. Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{3}{8} x^{2}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{3}{8} x^{3}\,dx = \dfrac{3}{8} \times \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{16}{4} = \dfrac{3}{8} \times 4 = \dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est le milieu de $[0\,;\,2]$, valable pour la loi uniforme. Ici la densité $\dfrac{3}{8} x^{2}$ « tire » la moyenne vers les grandes valeurs.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Erreur d'intégration : avec la primitive correcte $\dfrac{x^{4}}{4}$, le résultat est $\dfrac{3}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
$\dfrac{3}{8}$ est le coefficient de la densité, pas l'espérance. Calculer $\displaystyle\int x \times f(x)\,dx$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{3}{8} x^{2}\,dx$. Calculer la primitive de $x^{3}$ et appliquer le crochet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La probabilité $P(X > E(X))$, c'est-à-dire que $X$ dépasse son espérance, vaut :
[qcm]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$[/option]
[option]$1 - \text{e}^{- 1} \approx 0{,}63$[/option]
[option]Cela dépend de $\lambda$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. Donc $P(X > E(X)) = P\!\left(X > \dfrac{1}{\lambda}\right) = \text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.
Remarquable : ce résultat ne dépend pas de $\lambda$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ correspondrait à une loi symétrique autour de la moyenne (médiane = moyenne). La loi exponentielle est asymétrique : il y a moins de masse à droite de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="$1 - \text{e}^{- 1} \approx 0{,}63$"]Non.
$1 - \text{e}^{- 1} = P(X \leqslant E(X))$, c'est l'événement contraire. La masse est plus grande à gauche de la moyenne.[/reponse]
[reponse motif="Cela dépend de $\lambda$"]Non.
Le paramètre $\lambda$ se simplifie : $\text{e}^{- \lambda \times 1/\lambda} = \text{e}^{- 1}$ pour tout $\lambda > 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$, ici $a = E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ donc $\lambda a = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = \dfrac{2}{9}\,x$. Soit $X$ de densité $f$. Que vaut la médiane $m$ de $X$, c'est-à-dire le réel $m$ tel que $P(X \leqslant m) = \dfrac{1}{2}$ ?
[qcm]
[option]$m = 1$[/option]
[option]$m = 1{,}5$[/option]
[option correct="true"]$m = \dfrac{3}{\sqrt{2}} \approx 2{,}12$[/option]
[option]$m = 2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(X \leqslant m) = \displaystyle\int_{0}^{m} \dfrac{2}{9} x\,dx = \dfrac{2}{9}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{m} = \dfrac{m^{2}}{9}$.
On résout $\dfrac{m^{2}}{9} = \dfrac{1}{2}$, donc $m^{2} = \dfrac{9}{2}$, soit $m = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12$.[/reponse]
[reponse motif="$m = 1$"]Non.
$P(X \leqslant 1) = \dfrac{1}{9}$, c'est trop petit. La médiane est plus grande puisque la densité croît.[/reponse]
[reponse motif="$m = 1{,}5$"]Non.
$P(X \leqslant 1{,}5) = \dfrac{1{,}5^{2}}{9} = \dfrac{2{,}25}{9} = 0{,}25$, ce qui n'est pas $\dfrac{1}{2}$. Réponse plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$m = 2$"]Non.
$P(X \leqslant 2) = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}44$, c'est presque $\dfrac{1}{2}$ mais pas exactement. La densité étant croissante, la médiane n'est pas le milieu de l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre $P(X \leqslant m) = \dfrac{m^{2}}{9} = \dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[Bac] Probabilités : Loi exponentielle

[ d'après Bac ] Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0{,}12$. On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda $, où $\lambda $ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif $t$ : $p\left(Y\leqslant t\right)=\int_{0}^{t} \lambda e^{- \lambda x}dx$. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Exprimer $p\left(Y\leqslant 1\right)$ en fonction de $\lambda $. En déduire la valeur de $\lambda $. Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda =0{,}128$ .
Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } F\left(t\right)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0 ;+\infty \right[$ par $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx$.
1. Montrer que la fonction $\Phi $ définie par $\Phi \left(t\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
2. En déduire $F\left(t\right)$ en fonction de $t$.
3. Donner la valeur exacte de $d_{m}$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près.

Corrigé

$p\left(Y\leqslant 1\right)=\int_{0}^{1} \lambda e^{- \lambda x}dx=\left[- e^{- \lambda x}\right]_{0}^{1}=-e^{- \lambda }+1$ La probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0{,}12$ donc : $1-e^{- \lambda }=0{,}12$ c'est à dire : $e^{-\lambda}=0{,}88$ $-\lambda =\ln 0{,}88$ $\lambda =-\ln 0{,}88$ $\lambda \approx 0{,}128$ à $10^{-3}$ près.
L'évènement « un moteur dure plus de 3 ans » est l'évènement contraire de « un moteur tombe en panne dans les 3 ans ». $p\left(Y > 3\right)=1-p\left(Y\leqslant 3\right)=1-\int_{0}^{3} 0{,}128\text{e}^{- 0{,}128 x}dx=1-\left[-e^{- 0{,}128 x}\right]_{0}^{3}$ $p\left(Y > 3\right)=1-\left(-e^{- 0{,}128 \times 3}+1\right)=e^{- 0{,}384} \approx 0{,}681$ à $10^{-3}$ près.
La loi exponentielle étant sans vieillissement : $p_{Y > 1}\left(Y > 4\right)=p\left(Y > 3\right)\approx 0{,}681$ à $10^{-3}$ près.
1. $\Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\dfrac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}$ donc $\Phi $ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
2. $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx=\left[\Phi \left(x\right)\right]_{0}^{t}=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(0\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }$
3. En posant $T=- \lambda t$ : $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty }-te^{-\lambda t}=\lim\limits_{T \rightarrow -\infty } \dfrac{1}{\lambda} \times Te^{T}=0$ (par croissance comparée) Comme de plus, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{- \lambda t}=0$ on en déduit (par somme) : $d_{m}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }=\dfrac{1}{\lambda }$ $d_{m}\approx 7{,}8$ années à $10^{-1}$ près.