[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les propriétés algébriques du logarithme népérien, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : Pour tous $a>0$ et $b>0$, $\ln(a+b) = \ln(a) + \ln(b)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Tu as repéré le piège classique : la fonction $\ln$ ne transforme pas une somme en somme de logarithmes. C'est le produit qui se transforme en somme : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au piège : $\ln(a+b)$ n'a aucune formule de simplification générale. La propriété correcte est $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ (produit, pas somme). Par exemple, $\ln(1+1) = \ln(2) \approx 0{,}69$ alors que $\ln(1) + \ln(1) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\ln$ transforme un produit en somme : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, mais il n'existe aucune formule simple pour $\ln(a+b)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tous $a>0$ et $b>0$, $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
C'est l'une des trois propriétés fondamentales de $\ln$ : la fonction logarithme transforme un quotient en différence. Cette formule est valable pour tous $a>0$ et $b>0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit bien d'une propriété fondamentale du logarithme népérien : $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ pour tous $a>0$ et $b>0$. Par exemple, $\ln\!\left(\dfrac{e^2}{e}\right) = \ln(e^2) - \ln(e) = 2 - 1 = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété du logarithme d'un quotient : pour tous $a>0$ et $b>0$, $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\ln(8) = 4\ln(2)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le coefficient devant $\ln(2)$ doit être l'exposant de $2$ dans l'écriture $8 = 2^3$. Donc $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$, et non $4\ln(2)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Erreur de coefficient : on a $8 = 2^3$, donc d'après la propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$, $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$. Le bon coefficient est $3$, pas $4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On a $8 = 2^3$, donc $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$. Le coefficient correct est $3$, et non $4$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout $a>0$, $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On peut le démontrer rapidement : $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = \ln(1) - \ln(a) = 0 - \ln(a) = -\ln(a)$. C'est une formule très utile pour simplifier les expressions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La formule $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$ se déduit de la propriété du quotient : $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = \ln(1) - \ln(a) = -\ln(a)$, puisque $\ln(1) = 0$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En effet, $\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = \ln(1) - \ln(a) = -\ln(a)$, car $\ln(1) = 0$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $\ln(2) + \ln(3) = \ln(5)$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La somme de deux logarithmes correspond au logarithme du produit, pas du logarithme de la somme. Donc $\ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6)$, et non $\ln(5)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion entre somme et produit : la propriété $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ donne $\ln(2) + \ln(3) = \ln(2 \times 3) = \ln(6)$. Le résultat est $\ln(6)$, pas $\ln(5)$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La propriété correcte est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$, donc $\ln(2) + \ln(3) = \ln(6)$, et non $\ln(5)$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour tout $a>0$, $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On utilise l'écriture $\sqrt{a} = a^{1/2}$, puis la propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$ : $\ln(\sqrt{a}) = \ln\!\left(a^{1/2}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$. C'est une simplification très utilisée en analyse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
On écrit $\sqrt{a} = a^{1/2}$, puis on applique $\ln(a^n) = n\ln(a)$ : $\ln(\sqrt{a}) = \ln\!\left(a^{1/2}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$. Cette formule permet souvent de simplifier des expressions avec des racines carrées.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. En écrivant $\sqrt{a} = a^{1/2}$, on a $\ln(\sqrt{a}) = \ln\!\left(a^{1/2}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$ d'après la propriété $\ln(a^n) = n\ln(a)$.
[/solution]
[/etape]
