1. Pour tout entier naturel $ n $, la somme $ {a_n+b_n} $ représente le nombre total d'abonnés (en milliers) chez ce fournisseur d'accès internet.

   D'après l'énoncé ce nombre est stable et correspond à 2 millions, soit 2 000 milliers d'abonnés.

   Par conséquent, pour tout entier naturel $ n $ :

   $ a_n+b_n = 2\,000. $

2. $ a_{n+1} $ représente le nombre d'abonnés, en milliers, à la formule « Start » l'année $ 2010+n+1 $.

   Ce nombre comporte :

   • les abonnés à la formule « Start » de l'année précédente qui se réinscrivent à cette même formule, c'est à dire 70% de $ a_n $ soit $ 0{,}7a_n $ ;
   • les abonnés à la formule « Plus » de l'année précédente qui décident de migrer vers la formule « Start », c'est à dire 10% de $ b_n $ soit $ 0{,}1b_n $ ;

   Au total, on obtient :

   $ a_{n+1} =0{,}7a_n+0{,}1b_n. $

3. D'après la question 1., $ a_n+b_n = 2\,000 $ donc $ b_n = 2\,000 - a_n $.

   Comme $ a_{n+1} =0{,}7a_n+0{,}1b_n $, alors :

   $ a_{n+1} =0{,}7a_n+0{,}1(2\,000 - a_n) $
   $ \phantom{a_{n+1}} =0{,}7a_n+200 - 0{,}1a_n $
   $ \phantom{a_{n+1}} =0{,}6a_n+200. $

4. 1. Pour tout entier naturel $ n $ :

      $ u_{n+1}=a_{n+1} - 500 $

      $ \phantom{u_{n+1}}=0{,}6a_n+200 - 500 $

      $ \phantom{u_{n+1}}=0{,}6a_n - 300 $.

      Or $ u_n=a_n - 500 $ donc $ a_n=u_n+500 $ ; alors :

      $ u_{n+1}=0{,}6(u_n+500) - 300 $

      $ \phantom{u_{n+1}}=0{,}6u_n+500 - 500 $

      $ \phantom{u_{n+1}}=0{,}6u_n $.

      De plus, comme $ {u_0=a_0 - 500=1\,500 - 500=1\,000} $, la suite $ (u_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {u_0=1\,000} $ et de raison $ {q=0{,}6} $.

   2. Par conséquent :

      $ u_n=u_0q^n=1\,000 \times 0{,}6^n $.

   3. En utilisant la question précédente et la relation $ {a_n=u_n+500} $, on en déduit que pour tout entier naturel $ n $ :

      $ a_n=u_n+500=500+1\,000 \times 0{,}6^n $.

5. D'après la question précédente, pour tout entier naturel $ n $ :

   $ a_{n+1} - a_n=500+1000 \times 0{,}6^{n+1} - \left[500+1000 \times 0{,}6^n\right] $

   $ \phantom{a_{n+1} - a_n}=500+1000 \times 0{,}6^{n+1} - 500 - 1000 \times 0{,}6^n $

   $ \phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0{,}6^{n+1} - 1000 \times 0{,}6^n $.

   Or $ 0{,}6^{n+1}=0{,}6^n \times 0{,}6 $, donc :

   $ a_{n+1} - a_n=1000 \times 0{,}6^n \times 0{,}6 - 1000 \times 0{,}6^n $

   $ \phantom{a_{n+1} - a_n}=1000 \times 0{,}6^{n}\left(0{,}6 - 1\right) $

   $ \phantom{a_{n+1} - a_n}= - 0{,}4 \times 1000 \times 0{,}6^{n} $.

   $ a_{n+1} - a_n $ est strictement négatif pour tout entier naturel $ n $, donc la suite $ (a_n) $ est strictement décroissante.

   À retenir

   Pour démontrer qu'une suite $ (u_n) $ est croissante, on montre que pour tout entier naturel $ n $ :

   $ u_{n+1} - u_n \geqslant 0. $

   Pour démontrer qu'une suite $ (u_n) $ est décroissante, on montre que pour tout entier naturel $ n $ :

   $ u_{n+1} - u_n \leqslant 0. $

   Propriété

   En pratique

   La formule :

   $ a^{n+1} = a^n \times a. $

   qui est un cas particulier de la formule $ {a^{n+m} = a^n \times a^m} $ est très souvent utilisée dans les calculs concernant les suites géométriques.

   Comme $ 0 < 0{,}6 < 1 $, $ {\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}0{,}6^n=0} $ et $ {\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}1000 \times 0{,}6^n=0} $. Par conséquent :

   $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}500+1000 \times 0{,}6^n =500. $

   On en déduit que le nombre d'abonnés à la formule « Start » va décroître et se rapprocher de 500.

6. 1. Solution n°1

      On sait que pour tout entier naturel $ n $ : $ a_{n+1}=0{,}6a_n+200 $.

      En particulier $ a_1=0{,}6a_0+200 $.

      $ a_0 $ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

      =0,6*B2+200

      Solution n°2

      On sait que pour tout entier naturel $ n $ : $ a_{n}=500+1000 \times 0{,}6^n $.

      En particulier $ a_1=500+1000 \times 0{,}6^1 $.

      Les indices sont situés sur la ligne n°1 ; l'indice 1 est situé dans la cellule C1. On peut donc saisir dans la cellule C2 :

      =500+1000*PUISSANCE(0,6;C1)

   2. Pour tout entier naturel $ n $, $ b_n=2\,000 - a_n $.
      En particulier : $ {b_0=2\,000 - a_0} $.

      $ a_0 $ est situé dans la cellule B2. On peut donc saisir dans la cellule B3 :

      =2000-B2

      Remarque : D'autres solutions sont également possibles.

      Théorème

      À retenir

      Dans un tableur, une formule mathématique doit débuter par le signe = pour être exécutée.

Partie A

1. Le point $ M $ est le point d'intersection des droites $ D $ et $ \Delta $ d'équations $ y=0{,}9x+2 $ et $ y=x $.

   Son abscisse $ x_M $ est donc solution de l'équation $ 0{,}9x_M+2 = x_M $.

   $ 0{,}9x_M+2 = x_M\ \Leftrightarrow \ 2=x_M - 0{,}9x_M $

   $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ 2=0{,}1x_M $

   $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ \dfrac{2}{0{,}1}=x_M $

   $ \phantom{0{,}9x_M+2 = x_M}\ \Leftrightarrow \ x_M=20 $.

   Comme le point $ M $ est situé sur la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $ son ordonnée est $ y_M=x_M=20 $.

   Les coordonnées de $ M $ sont donc $ (20~;~20) $.

2. Le point $ A_0 $ est situé sur la droite $ D $ d'équation $ y=0{,}9x+2 $.

   Son abscisse est $ u_0 $ ; son ordonnée est donc :

   $ y_{A_0}=0{,}9u_0+2 $

   Or, d'après la définition de la suite $ (u_n) $ : $ u_1=0{,}9u_0+2 $ ; par conséquent $ y_{A_0}=u_1 $.

   L'ordonnée de $ A_0 $ est donc $ u_1 $.

3. La droite $ (A_0B_1) $ est parallèle à l'axe des abscisses donc l'ordonnée de $ B_1 $ est égale à l'ordonnée de $ A_0 $ c'est à dire $ u_1 $.

   Comme le point $ B_1 $ appartient à la droite $ \Delta $ d'équation $ y=x $ :

   $ y_{B_1}=x_{B_1}=u_1 $

   Les coordonnées du point $ B $ sont $ (u_1~;~u_1) $.

   On réitère la procédure de la manière suivante :

   • on trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $ B_1 $ ; cette droite coupe $ D $ en un point $ A_1(u_1~;~u_2) $
   • on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A_1 $ ; cette droite coupe $ D $ en un point $ B_2(u_2~;~u_2) $

   et ainsi de suite...

   On obtient ainsi le graphique ci-après :

   
   (Les ordonnées des points n'ont pas été indiquées pour ne pas surcharger la figure)

4. On conjecture que lorsque $ n $ augmente, les points $ A_n $ et $ B_n $ se rapprochent du point $ M $ et donc que :

   $ \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n =20. $

Partie B

1. Pour tout entier naturel $ n $ :

   $ v_{n+1}=u_{n+1} - 20 $

   $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9u_n+2 - 20 $

   $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9u_n - 18 $.

   Or $ v_n=u_n - 20 $ donc $ u_n=v_n+20 $ ; alors :

   $ v_{n+1}=0{,}9(v_n+20) - 18 $

   $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9v_n+18 - 18 $

   $ \phantom{v_{n+1}}=0{,}9v_n $.

   De plus $ {v_0=u_0 - 20=2 - 20= - 18} $ ; par conséquent, la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {v_0= - 18} $ et de raison $ {q=0{,}9} $.

2. On en déduit que :

   $ v_n=v_0q^n= - 18 \times 0{,}9^n $.

3. En utilisant la question précédente et la relation $ u_n=v_n+20 $ on obtient, pour tout entier naturel $ n $ :

   $ u_n=v_n+20=20 - 18 \times 0{,}9^n $.

4. $ {0 \leqslant 0{,}9 < 1}\ $ donc $ \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } 0{,}9^n = 0 $.

   Alors :

   $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}18 \times 0{,}9^n = 0\ $ et $ \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}20 - 18 \times 0{,}9^n = 20 $.

   La suite $ (u_n) $ converge vers 20.

1. Pour tout entier naturel $ n $, $ {u_{n+1}=0{,}8u_n+60} $ ; par conséquent :

   $ u_{1}=0{,}8u_0+60=0{,}8 \times 250+60=260 $.

   $ u_{2}=0{,}8u_1+60=0{,}8 \times 260+60=268 $.

2. L'algorithme peut être complété de la façon suivante :

   

   (Attention au sens de la condition « Tant que $ {U<290} $ ». On veut que la boucle « Tant que » se termine lorsque $ U \geqslant 290 $ ; on souhaite donc qu'elle continue à s'effectuer dans le cas contraire, c'est à dire tant que $ U < 290 $.)

3. 1. Pour tout entier naturel $ n $, $ v_{n}= u_{n} - 300 $ ; par conséquent :

      $ v_{n+1}= u_{n+1} - 300 $.

      Comme $ u_{n+1}=0{,}8u_n + 60 $ :

      $ v_{n+1} = 0{,}8u_n+60 - 300 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8u_n - 240. $

      Puisque $ v_{n}= u_{n} - 300 $, alors $ u_{n}= v_{n}+300 $. On en déduit :

      $ v_{n+1} = 0{,}8(v_n+300) - 240 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8v_n+240 - 240 $
      $ \phantom{v_{n+1}} = 0{,}8v_n. $

      Par ailleurs :

      $ v_{0}= u_{0} - 300=250 - 300= - 50 $.

      La suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de premier terme $ {v_0= - 50} $ et de raison $ 0{,}8 $.

   2. La suite $ (v_n) $ étant une suite géométrique :

      $ v_n=v_0q^n= - 50 \times 0{,}8^n $.

   3. D'après les questions précédentes :

      $ u_{n}= v_{n}+300 = 300 - 50 \times 0{,}8^n $.

4. À la calculatrice, on affiche un tableau de valeurs de la fonction $ x \longmapsto 300 - 50 \times 0{,}8^x $.

   On trouve alors :

   $ u_7 \approx 289{,}51 \quad $ et $ \quad u_8 \approx 291{,}61 $

   L'algorithme affiche le plus petit entier naturel $ n $ tel que $ u_n \geqslant 290 $. L'algorithme affichera donc la valeur 8.

5. Notons $ a_n $ le nombre de joueurs inscrits au tournoi l'année $ 2016+n $.

   En 2016, 200 joueurs ont participé au tournoi donc $ a_0=200 $.

   Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur de $ {1 - \dfrac{20}{100}=0{,}8} $ ; on ajoute ensuite les 60 nouveaux inscrits.

   On a donc :

   $ a_{n+1}=0{,}8a_n+60. $

   On reconnaît la même relation de récurrence que pour $ (u_n) $. En posant $ b_n=a_n - 300 $, le même calcul qu'à la question 3.a. montre que $ (b_n) $ est géométrique de raison $ 0{,}8 $, de premier terme $ b_0=a_0 - 300=200 - 300= - 100 $.

   On a donc $ b_n= - 100 \times 0{,}8^n $, puis :

   $ a_{n}= b_n+300 = 300 - 100 \times 0{,}8^n $.

   Comme $ 100 \times 0{,}8^n $ est strictement positif pour tout entier $ n $, le nombre $ 300 - 100 \times 0{,}8^n $ est strictement inférieur à 300.

   Quelle que soit l'année, le nombre d'inscrits sera inférieur à 300. Les organisateurs n'auront donc pas à refuser des inscriptions par manque de places dans les années à venir.

1. D'après l'énoncé, le loueur revend 25 % de son parc chaque année, ce qui signifie qu'il en conserve $ 1 - 0{,}25 = 0{,}75 $ soit 75 %.
   De plus, il achète 3 000 voitures neuves chaque année.
   Si $ u_n $ est le nombre de voitures au 1er mars de l'année $ 2015+n $, alors le nombre de voitures l'année suivante est :

   $ u_{n+1} = 0{,}75 u_n + 3000 $

2. 1. Pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_n = u_n - 12000 $, soit $ u_n = v_n + 12000 $.
      Calculons $ v_{n+1} $ :
      $ v_{n+1} = u_{n+1} - 12000 $
      $ v_{n+1} = (0{,}75 u_n + 3000) - 12000 $
      $ v_{n+1} = 0{,}75(v_n + 12000) - 9000 $
      $ v_{n+1} = 0{,}75 v_n + 9000 - 9000 $
      $ v_{n+1} = 0{,}75 v_n $

      La suite $ \left(v_n\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}75 $.
      Son premier terme est :

      $ v_0 = u_0 - 12000 = 10000 - 12000 = - 2000 $

   2. Puisque $ \left(v_n\right) $ est géométrique, son terme général est $ v_n = v_0 \times q^n $.
      Pour tout entier naturel $ n $ :

      $ v_n = - 2000 \times 0{,}75^n $

      Limite de la suite v :
      Comme $ - 1 < 0{,}75 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}75^n = 0 $.
      On en déduit :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0 $

   3. On sait que $ u_n = v_n + 12000 $, donc :

      $ u_n = 12000 - 2000 \times 0{,}75^n $
   4. Comme $ \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 12000 $.
      D'autre part, comme $ 0{,}75^n > 0 $, on a $ u_n < 12000 $.
      Au bout d'un grand nombre d'années, on peut conjecturer que le nombre de voitures du parc automobile se stabilisera à 12 000.

3. 1. Voici l'algorithme complété :

      Initialisation	U prend la valeur 10000
      	N prend la valeur 0
      Traitement	Tant que $ U < 11950 $
      	N prend la valeur $ N+1 $
      	U prend la valeur $ 0{,}75 \times U + 3000 $
      	Fin Tant que
      Sortie	Afficher $ 2015+N $

   2. À l'aide de la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de $ n $ telle que $ u_n \geqslant 11950 $ :
      $ u_{12} = 11950 - 2000 \times 0{,}75^{12} \approx 11936{,}6 $
      $ u_{13} = 11950 - 2000 \times 0{,}75^{13} \approx 11952{,}4 $
      La condition est vérifiée pour $ n = 13 $.
      L'année recherchée est donc $ 2015 + 13 = 2028 $.

   3. Résolvons l'inéquation :
      $ 12000 - 2000 \times 0{,}75^n \geqslant 11950 $
      $ - 2000 \times 0{,}75^n \geqslant - 50 $
      $ 0{,}75^n \leqslant \dfrac{-50}{-2000} $
      $ 0{,}75^n \leqslant 0{,}025 $
      $ \ln(0{,}75^n) \leqslant \ln(0{,}025) $
      $ n \times \ln(0{,}75) \leqslant \ln(0{,}025) $

      $ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}025)}{\ln(0{,}75)} $ (car $ \ln(0{,}75) < 0 $)

      $ n \geqslant \dfrac{- 3{,}6888}{- 0{,}2876} \approx 12{,}82 $

      On retrouve $ n = 13 $, soit l'année 2028.

1. $ u_{1}=\left(1 - \dfrac{20}{100}\right)u_{0}+50=0{,}8\times 1500+50=1250 $

2. «20% de la surface engazonnée est détruite » $ \rightarrow $ on multiplie par le coefficient multiplicateur $ CM = \left(1 - \dfrac{20}{100}\right)=0.8 $.

   «Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$ ^{2} $ et la remplace par du gazon »$ \rightarrow $ on ajoute 50

   Donc $ u_{n+1}=0{,}8u_{n}+50 $

3. 1. $ v_{n+1} = u_{n+1} - 250 $ (d'après la définition de la suite $ v $)

      $ v_{n+1} = 0{,}8 u_{n} + 50 - 250 $ (d'après la définition de la suite $ u $)

      $ v_{n+1} = 0{,}8 u_{n} - 200 $

      $ v_{n+1} = 0{,}8 \left(v_{n} + 250\right) - 200 $(car $ v_{n}=u_{n} - 250 \Rightarrow u_{n}=v_{n}+250 $)

      $ v_{n+1} = 0{,}8 v_{n} $

      La suite $ \left(v_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=0{,}8 $. Son premier terme est :

      $ v_{0}=u_{0} - 250=1250 $

   2. On utilise la formule $ v_{n}=v_{0}\times q^{n} $ qui donne ici :

      $ v_{n}=1250\times 0{,}8^{n} $

      On en déduit que :

      $ u_{n}=v_{n}+250=1250\times 0{,}8^{n}+250 $

   3. La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est :

      $ u_{4}=1250\times 0{,}8^{4}+250=762 \text{m}^{2} $

4. 1. $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow 1250\times 0{,}8^{n} < 500 - 250 $

      $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0{,}8^{n} < \dfrac{250}{1250} $

      $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow 0{,}8^{n} < \dfrac{1}{5} $

      $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow \ln\left(0{,}8^{n}\right) < \ln\left(\dfrac{1}{5}\right) $ (car la fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ \left]0;+\infty \right[ $)

      $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow n \ln\left(0{,}8\right) < - \ln\left(5\right) $

      $ 250+1250\times 0{,}8^{n} < 500 \Leftrightarrow n > - \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0{,}8\right)} $

      Il faut penser à changer le sens de l'inégalité car $ \ln\left(0{,}8\right) $ est négatif !

      Comme $ - \dfrac{\ln\left(5\right)}{\ln\left(0{,}8\right)} \approx 7{,}2 $, la plus petite valeur de $ n $ telle que $ u_{n} < 500 $ est$\mathbf{8}$ .

   2. Initialisation :	$ u $ prend la valeur 1 500
      	$ n $ prend la valeur 0
      Traitement :	Tant que $\mathbf{\color{red}{u \geqslant 500}}$ faire
      	$ \quad \quad \quad \quad u $ prend la valeur $\mathbf{\color{red}{0{,}8u+50}}$
      	$ \quad \quad \quad \quad n $ prend la valeur $\mathbf{\color{red}{n+1}}$
      	Fin Tant que
      Sortie :	Afficher $ n $

5. L'égalité $ u_{n}=1250\times 0{,}8^{n}+250 $ montre que pour tout entier $ n $, $ u_{n} > 250 $ (car $ 1250\times 0{,}8^{n} > 0 $)

   La surface de terrain engazonné sera donc toujours supérieure à 250 m$ ^{2} $ et Claude a donc raison.

Partie A

1. L'algorithme qui convient est l'algorithme 3.

   • Algorithme 1 : L'affichage est situé après la boucle « Pour ». Il n'affichera donc que la dernière valeur de $ U $ ($ u_{N+1} $) et non tous les termes.
   • Algorithme 2 : La variable $ U $ est réinitialisée à 5 à chaque itération de la boucle. Il affichera donc $ N+1 $ fois la valeur 5.
   • Algorithme 3 : Il initialise $ U $ à 5, puis dans la boucle, il affiche la valeur courante avant de calculer la suivante (qui sera affichée au tour suivant). Cela permet bien d'afficher tous les termes de $ u_0 $ à $ u_N $.
2. Au vu des premières valeurs de la suite ($ 5 > 3{,}5 > 2{,}75 \dots $), on peut conjecturer que la suite $ (u_n) $ est décroissante.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $ n $ :

   $ v_{n+1} = u_{n+1} - 2 $

   En remplaçant $ u_{n+1} $ par son expression :

   $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 1 - 2 = \dfrac{1}{2}u_n - 1 $

   En factorisant par $ \dfrac{1}{2} $ :

   $ v_{n+1} = \dfrac{1}{2}(u_n - 2) = \dfrac{1}{2}v_n $

   La suite $ (v_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = \dfrac{1}{2} $ et de premier terme $ v_0 = u_0 - 2 = 5 - 2 = 3 $.

2. Comme $ (v_n) $ est géométrique, on a pour tout entier naturel $ n $ :

   $ v_n = v_0 \times q^n = 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n $

   Comme $ v_n = u_n - 2 $, on en déduit :

   $ u_n = v_n + 2 = 2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n $

3. Pour étudier les variations de $ (u_n) $, calculons la différence $ u_{n+1} - u_n $ :

   $ u_{n+1} - u_n = \left(2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) - \left(2 + 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right) $
   $ u_{n+1} - u_n = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} - 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \left(-\dfrac{1}{2}\right) $

   Comme $ 3 > 0 $, $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n > 0 $ et $ -\dfrac{1}{2} < 0 $, on a $ u_{n+1} - u_n < 0 $ pour tout $ n $.
   La suite $ (u_n) $ est donc décroissante.

4. Comme $ -1 < \dfrac{1}{2} < 1 $, alors $ \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0 $.
   On en déduit par limite de somme :

   $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 + 3 \times 0 = 2 $

5. On cherche $ n $ tel que $ u_n - 2 \le 10^{-6} $.
   Cela revient à résoudre $ v_n \le 10^{-6} $ :

   $ 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le 10^{-6} $
   $ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{10^{-6}}{3} $

   En utilisant le logarithme népérien :

   $ n \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \le \ln\left(\dfrac{10^{-6}}{3}\right) $

   Comme $ \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 $, on change le sens de l'inégalité en divisant :

   $ n \ge \dfrac{\ln\left(\dfrac{10^{-6}}{3}\right)}{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx \dfrac{-14{,}91}{-0{,}693} \approx 21{,}52 $

   Le plus petit entier $ n $ convenant est donc $ n = 22 $.

1. 1. L'année 2014 correspond au rang $ n=1 $.

      $ u_1 = 0{,}7 \times u_0 + 300 = 0{,}7 \times 500 + 300 = 350 + 300 = 650 $

      En 2014, le lycée accueillera 650 élèves.

   2. L'année 2015 correspond au rang $ n=2 $.

      $ u_2 = 0{,}7 \times u_1 + 300 = 0{,}7 \times 650 + 300 = 455 + 300 = 755 $

      En 2015, le lycée accueillera 755 élèves.

2. D'après l'énoncé, chaque année le lycée perd 30 % de son effectif (il en reste donc $ 70\ \% $, soit un coefficient de $ 0{,}7 $) et accueille $ 300 $ nouveaux élèves.
   Le nombre d'élèves $ u_{n+1} $ l'année suivant l'année $ n $ est donc :

   $ u_{n+1} = 0{,}7u_n + 300 $

3. On souhaite afficher tous les termes de $ u_0 $ à $ u_n $.

   • L'Algorithme 1 n'affiche que les termes de $ u_0 $ à $ u_{n-1} $. En effet, l'affichage a lieu avant la mise à jour de $ u $, et la boucle s'arrête à $ i=n $. Le dernier terme affiché est donc $ u_{n-1} $ juste avant que $ u $ ne prenne la valeur $ u_n $.
   • L'Algorithme 2 convient. Il affiche les termes de $ u_0 $ à $ u_{n-1} $ à l'intérieur de la boucle, puis affiche la dernière valeur calculée ($ u_n $) après la sortie de la boucle.
   • L'Algorithme 3 n'affiche que les termes de $ u_1 $ à $ u_n $ car il calcule la nouvelle valeur avant de l'afficher.

   C'est donc l'Algorithme 2 qui permet d'obtenir le résultat souhaité.

4. 1. Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :

      $ v_{n+1} = u_{n+1} - 1\,000 $
      $ v_{n+1} = 0{,}7u_n + 300 - 1\,000 = 0{,}7u_n - 700 $
      $ v_{n+1} = 0{,}7(u_n - 1\,000) $
      $ v_{n+1} = 0{,}7v_n $

      La suite $ \left(v_n\right) $ est donc géométrique de raison $ q=0{,}7 $.
      Son premier terme est $ v_0 = u_0 - 1\,000 = 500 - 1\,000 = -500 $.

   2. Puisque $ \left(v_n\right) $ est géométrique, on a pour tout $ n $ : $ v_n = v_0 \times q^n = -500 \times 0{,}7^n $.
      Comme $ v_n = u_n - 1\,000 $, on en déduit $ u_n = v_n + 1\,000 $, soit :

      $ u_n = 1\,000 - 500 \times 0{,}7^n $

   3. Comme $ -1 < 0{,}7 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}7^n = 0 $.
      Par conséquent :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 1\,000 - 500 \times 0 = 1\,000 $
   4. À long terme, l'effectif du lycée se stabilisera autour de $ 1\,000 $ élèves.

5. 1. Résolvons l'inéquation :

      $ 1\,000 - 500 \times 0{,}7^n \geqslant 990 $
      $ 10 \geqslant 500 \times 0{,}7^n $
      $ 0{,}02 \geqslant 0{,}7^n $
      $ \ln(0{,}02) \geqslant n \ln(0{,}7) $

      Puisque $ \ln(0{,}7) < 0 $, on a :

      $ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}7)} $

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $ \dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}7)} \approx 10{,}97 $.
      Comme $ n $ est un entier naturel, $ n \geqslant 11 $.

   2. Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2013 + 11 = 2024 $, l'effectif du lycée sera supérieur ou égal à 990 élèves.

1. 1. L'année 2014 correspond au rang $ n=1 $. En 2013 ($ n=0 $), la forêt comptait $ 50\,000 $ arbres ($ u_0 = 50\,000 $).
      L'énoncé indique que chaque année, on abat 5 % des arbres et on en replante $ 3\,000 $.

      $ u_1 = 50\,000 - 0{,}05 \times 50\,000 + 3\,000 $
      $ u_1 = 0{,}95 \times 50\,000 + 3\,000 $
      $ u_1 = 47\,500 + 3\,000 = 50\,500 $

      En 2014, la forêt comptera $ 50\,500 $ arbres.

   2. On sait que $ u_n $ est le nombre d'arbres lors de l'année $ (2013+n) $. En 2013 ($ n=0 $), il y a $ 50\,000 $ arbres, donc $ u_0 = 50\,000 $.
      D'une année $ n $ à l'année $ n+1 $, on retranche 5 % des arbres (il en reste donc $ 95\ \% $, soit un coefficient de $ 0{,}95 $) et on ajoute $ 3\,000 $ arbres.
      On a donc bien, pour tout entier naturel $ n $ :

      $ u_{n+1} = 0{,}95u_n + 3\,000 $

2. 1. Soit $ v_n = 60\,000 - u_n $. Exprimons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_n $ :

      $ v_{n+1} = 60\,000 - u_{n+1} $
      $ v_{n+1} = 60\,000 - (0{,}95u_n + 3\,000) $
      $ v_{n+1} = 57\,000 - 0{,}95u_n $

      Or, de $ v_n = 60\,000 - u_n $, on tire $ u_n = 60\,000 - v_n $. En remplaçant dans l'expression de $ v_{n+1} $ :

      $ v_{n+1} = 57\,000 - 0{,}95(60\,000 - v_n) $
      $ v_{n+1} = 57\,000 - 57\,000 + 0{,}95v_n $
      $ v_{n+1} = 0{,}95v_n $

      La suite $ v $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}95 $.
      Son premier terme est :

      $ v_0 = 60\,000 - u_0 = 60\,000 - 50\,000 = 10\,000 $

   2. Comme $ v $ est une suite géométrique de premier terme $ v_0 = 10\,000 $ et de raison $ q = 0{,}95 $, on a pour tout $ n $ :

      $ v_n = v_0 \times q^n = 10\,000 \times 0{,}95^n $

   3. On sait que $ v_n = 60\,000 - u_n $, donc $ u_n = 60\,000 - v_n $.
      En remplaçant $ v_n $ par son expression trouvée précédemment :

      $ u_n = 60\,000 - 10\,000 \times 0{,}95^n $

      En factorisant par $ 10\,000 $, on obtient :

      $ u_n = 10\,000 (6 - 0{,}95^n) $

   4. Comme $ -1 < 0{,}95 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}95^n = 0 $.
      On en déduit par limite de somme et de produit :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 10\,000 \times (6 - 0) = 60\,000 $
   5. À long terme, le nombre d'arbres de cette forêt va tendre vers $ 60\,000 $.

3. 1. Résolvons l'inéquation :

      $ 10\,000(6 - 0{,}95^n) \geqslant 57\,000 $
      $ 6 - 0{,}95^n \geqslant \dfrac{57\,000}{10\,000} $
      $ 6 - 0{,}95^n \geqslant 5{,}7 $
      $ 6 - 5{,}7 \geqslant 0{,}95^n $
      $ 0{,}3 \geqslant 0{,}95^n $

      Par croissance de la fonction logarithme népérien sur $ ]0\ ; +\infty[ $ :

      $ \ln(0{,}3) \geqslant \ln(0{,}95^n) $
      $ \ln(0{,}3) \geqslant n \ln(0{,}95) $

      Comme $ 0{,}95 < 1 $, alors $ \ln(0{,}95) < 0 $. En divisant par ce nombre, l'ordre de l'inégalité change :

      $ n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}3)}{\ln(0{,}95)} $

      À l'aide d'une calculatrice, on trouve $ \dfrac{\ln(0{,}3)}{\ln(0{,}95)} \approx 23{,}45 $.
      Comme $ n $ est un entier naturel, on en déduit $ n \geqslant 24 $.

   2. Cela signifie qu'à partir de l'année $ 2013 + 24 = 2037 $, la forêt comptera au moins $ 57\,000 $ arbres.

4. 1. L'algorithme qui affiche tous les termes du rang 0 au rang $ n $ est l'algorithme 3.
      En effet :

      • L'algorithme 1 ne demande pas $ n $ et affiche un rang à la fin.
      • L'algorithme 2 n'affiche que le dernier terme calculé (car l'affichage est en dehors de la boucle).
      • L'algorithme 3 affiche la valeur actuelle de $ U $ ($ u_I $) avant de calculer la suivante à chaque passage dans la boucle, et affiche la dernière valeur après la boucle.
   2. La valeur 24 affichée par l'algorithme 1 pour $ A = 57\,000 $ confirme notre résultat de la question 3 : c'est en 2037 que le nombre d'arbres dépassera pour la première fois les $ 57\,000 $ unités.

1. D'après l'énoncé, le premier terme est $ u_{0}=115 $.
   Chaque année, 40 % des oiseaux présents restent, ce qui correspond à un coefficient de $ 0{,}4 $, et 120 oiseaux nouveaux sont accueillis.
   On calcule les termes suivants :
   $ u_{1} = 115 \times 0{,}4 + 120 = 46 + 120 = 166 $
   $ u_{2} = 166 \times 0{,}4 + 120 = 66{,}4 + 120 = 186{,}4 $

   S'agissant d'une estimation d'un nombre d'oiseaux, il convient de donner ces résultats à l'unité près. On peut donc estimer qu'il y aura 166 oiseaux en 2014 et environ 186 oiseaux en 2015.

2. 1. Analysons les algorithmes proposés :
      Algorithme 1 : Il utilise un coefficient de 0,6 au lieu de 0,4 (ce qui correspondrait à 60 % d'oiseaux restants).
      Algorithme 2 : L'affectation de la valeur initiale ($ 115 \to U $) est placée à l'intérieur de la boucle. Ainsi, à chaque itération, $ U $ est réinitialisé et l'algorithme ne calcule pas les termes successifs.
      Algorithme 3 : C'est le seul qui convient car il initialise $ U $ à $ u_0 $ avant la boucle et applique correctement la structure de la relation de récurrence (on notera une légère erreur dans le texte de l'algorithme affichant « + 115 » au lieu de « + 120 »).

   2. Pour tout entier naturel $ n $, le nombre d'oiseaux l'année $ n+1 $ est égal à 40 % du nombre d'oiseaux l'année $ n $ plus les 120 nouveaux arrivants :

      $ u_{n+1} = 0{,}4u_{n} + 120 $

3. 1. Pour tout entier naturel $ n $, on a $ v_{n}=u_{n} - 200 $, d'où $ u_{n} = v_{n} + 200 $.
      Calculons $ v_{n+1} $ en fonction de $ v_{n} $ :
      $ v_{n+1} = u_{n+1} - 200 $
      $ v_{n+1} = (0{,}4u_{n} + 120) - 200 $
      $ v_{n+1} = 0{,}4(v_{n} + 200) - 80 $
      $ v_{n+1} = 0{,}4v_{n} + 80 - 80 $
      $ v_{n+1} = 0{,}4v_{n} $

      La suite $ \left(v_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}4 $.
      Son premier terme est :

      $ v_{0} = u_{0} - 200 = 115 - 200 = - 85 $

   2. Puisque $ \left(v_{n}\right) $ est géométrique, son terme général est $ v_{n} = v_{0} \times q^{n} $.
      Pour tout entier naturel $ n $ :

      $ v_{n} = - 85 \times 0{,}4^{n} $

   3. On sait que $ u_{n} = v_{n} + 200 $, donc :

      $ u_{n} = 200 - 85 \times 0{,}4^{n} $

   4. Étudions la limite de la suite $ \left(u_{n}\right) $ quand $ n $ tend vers l'infini.
      Comme $ - 1 < 0{,}4 < 1 $, on a $ \lim\limits_{n \to +\infty} 0{,}4^{n} = 0 $.
      On en déduit :

      $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 200 $

      Comme $ 85 \times 0{,}4^{n} > 0 $ pour tout $ n $, on a $ u_{n} < 200 $.
      Le nombre d'oiseaux s'approche de 200 par valeurs inférieures. La capacité d'accueil de 200 oiseaux est donc suffisante.

4. La subvention est de 20 € par oiseau présent au 1er janvier.
   Les années concernées sont de 2013 ($ n=0 $) à 2018 ($ n=5 $).
   Il faut sommer le nombre d'oiseaux présents chaque 1er janvier et multiplier par 20.
   $ u_0 = 115 $
   $ u_1 = 166 $
   $ u_2 = 186{,}4 $
   $ u_3 = 200 - 85 \times 0{,}4^3 = 194{,}56 $
   $ u_4 = 200 - 85 \times 0{,}4^4 = 197{,}824 $
   $ u_5 = 200 - 85 \times 0{,}4^5 = 199{,}1296 $

   La somme des oiseaux est égale à $ 1058{,}9136 $.
   Le montant total des subventions est donc :

   $ 1058{,}9136 \times 20 = 21178{,}272 \text{ €} $

   Le centre percevra environ 21 178 € de subventions sur cette période.