Justifier la continuité d’une fonction

Pour chacune des fonctions suivantes, justifier sa continuité sur l'intervalle indiqué.

$f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.
$g$ définie sur $\,]3\,;+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
$h$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $h(x) = \sqrt{x} + e^x$.
$k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{e^x + 2}$.

Corrigé

On rappelle que les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, sinus, cosinus et exponentielle sont continues sur leur ensemble de définition. La continuité est conservée par somme, produit et quotient (sous réserve de non-annulation du dénominateur).

$f$ est une fonction polynôme. Or toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.

Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
$g$ est une fonction rationnelle, quotient de deux polynômes. Son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$. Sur l'intervalle $\,]3\,;+\infty[$, le dénominateur $x - 3$ ne s'annule pas.

Donc $g$ est continue sur $\,]3\,;+\infty[$.
La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ et la fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$, donc en particulier sur $[0\,;+\infty[$. La somme de deux fonctions continues sur un intervalle l'est aussi.

Donc $h$ est continue sur $[0\,;+\infty[$.
La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est polynômiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $x \mapsto e^x + 2$ est la somme d'une fonction continue sur $\mathbb{R}$ (l'exponentielle) et d'une fonction constante : elle est continue sur $\mathbb{R}$.

De plus, $e^x > 0$ pour tout réel $x$, donc $e^x + 2 > 2 > 0$ : le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.

Le quotient de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$ dont le dénominateur ne s'annule pas est continu sur $\mathbb{R}$.

Donc $k$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Vrai/Faux : Continuité et dérivabilité

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est un théorème fondamental du cours : la dérivabilité implique la continuité. L'existence du nombre dérivé en chaque point assure la continuité de la fonction sur l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le sens de l'implication est essentiel : dérivable $\Longrightarrow$ continue (et non l'inverse). Une fonction qui admet un nombre dérivé en chaque point ne peut pas présenter de saut, donc elle est continue.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La dérivabilité sur $I$ entraîne la continuité sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ est dérivable sur $I$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La réciproque du théorème précédent est fausse. Contre-exemple : la fonction $x \mapsto |x|$ est continue sur $\mathbb{R}$ mais n'est pas dérivable en $0$ (présence d'un point anguleux).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'implication ne va que dans un sens : dérivable $\Longrightarrow$ continue. La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue, continue partout, n'est pas dérivable en $0$ : sa courbe forme un coin (point anguleux), et il n'y a pas de tangente unique en ce point.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La continuité n'implique pas la dérivabilité, comme le montre $x \mapsto |x|$ en $0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Toute fonction polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $\mathbb{R}$. C'est l'un des résultats de référence du cours sur les fonctions usuelles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Les polynômes font partie des fonctions de référence : ils sont définis et dérivables sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc continus sur $\mathbb{R}$. Aucun polynôme ne présente de saut ou de point anguleux.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Tout polynôme est dérivable, donc continu, sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction inverse n'est pas définie en $0$, donc elle ne peut pas être continue sur $\mathbb{R}$ tout entier. Elle est continue seulement sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Pour qu'une fonction soit continue sur un ensemble, il faut d'abord qu'elle y soit définie. Or $f(x) = \dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$. La continuité est valable séparément sur chacun des deux intervalles ouverts $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$, mais pas sur leur réunion qui exclut $0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction inverse n'est pas définie en $0$, donc pas continue sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
C'est l'une des règles opératoires du cours sur la continuité : le quotient de deux fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas. La condition « $g$ ne s'annule pas sur $I$ » est essentielle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La continuité se conserve par les opérations usuelles : somme, produit et quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas). C'est exactement ce qui justifie que les fonctions rationnelles soient continues sur leur ensemble de définition.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le quotient de fonctions continues est continu là où le dénominateur ne s'annule pas.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ n'est pas continue en $0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier : $\lim\limits_{x \to 0} |x| = 0 = |0|$. Ce qui n'est pas vérifié en $0$, c'est la dérivabilité (point anguleux), à ne pas confondre avec la continuité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion classique entre continuité et dérivabilité. La fonction $x \mapsto |x|$ est bien continue partout (sa courbe se trace sans lever le crayon), mais elle n'est pas dérivable en $0$ à cause du point anguleux. Continuité $\neq$ dérivabilité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ ; c'est sa dérivabilité qui pose problème en $0$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

[enonce]
Ce QCM porte sur la continuité, la dérivabilité et le théorème des valeurs intermédiaires. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les implications suivantes concernant une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$[/option]
[option correct="true"]Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$[/option]
[option]Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$[/option]
[option]Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité : toute fonction dérivable sur un intervalle y est automatiquement continue. La réciproque est fausse (la fonction $x \mapsto |x|$ est continue mais pas dérivable en $0$).[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$"]Non.
L'implication est inversée. Réfléchir à un contre-exemple simple : une fonction qui « fait un angle » peut être continue sans être dérivable.[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$"]Non.
Une fonction continue peut très bien avoir des variations : penser à une parabole, qui est continue mais d'abord décroissante puis croissante.[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$"]Non.
La dérivabilité ne donne aucune information sur le sens de variation. Une fonction dérivable peut alterner croissance et décroissance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner le lien entre dérivabilité et continuité : laquelle des deux propriétés implique l'autre ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que peut-on dire de la fonction $f : x \mapsto |x|$ sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]Elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Elle est continue sur $\mathbb{R}$ mais pas dérivable en $0$[/option]
[option]Elle n'est ni continue ni dérivable en $0$[/option]
[option]Elle est dérivable mais pas continue en $0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction valeur absolue est continue partout (pas de saut), mais sa courbe forme un angle en $0$ : la pente n'est pas la même à gauche ($-1$) et à droite ($+1$). Elle n'est donc pas dérivable en $0$.[/reponse]
[reponse motif="Elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$"]Non.
La courbe de la valeur absolue présente une « pointe » en $0$. Réfléchir à ce que cela implique pour la dérivabilité en ce point.[/reponse]
[reponse motif="Elle n'est ni continue ni dérivable en $0$"]Non.
La courbe de la valeur absolue est tracée d'un seul trait, sans saut : il n'y a pas de discontinuité. Le problème porte sur une autre propriété.[/reponse]
[reponse motif="Elle est dérivable mais pas continue en $0$"]Non.
La dérivabilité implique la continuité : il est impossible d'avoir l'une sans l'autre. Vérifier laquelle des deux propriétés est en défaut en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tracer mentalement la courbe de la valeur absolue : repérer la « pointe » en $0$ et déterminer quelle propriété y est mise en défaut.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[1\,;\,5]$ vérifiant $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$. Parmi les équations suivantes, laquelle est sûre d'admettre au moins une solution sur $[1\,;\,5]$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 4$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 0$[/option]
[option]$f(x) = -3$[/option]
[option]$f(x) = 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La valeur $0$ est comprise entre $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[1\,;\,5]$, il existe au moins un réel $c$ dans $[1\,;\,5]$ tel que $f(c) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 4$"]Non.
$4$ n'est pas compris entre les valeurs prises aux bornes. Vérifier si $4$ se situe bien entre $f(1)$ et $f(5)$ avant d'appliquer le TVI.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -3$"]Non.
$-3$ se situe en dehors de l'intervalle des valeurs $[f(1)\,;\,f(5)]$. Le TVI ne garantit l'existence d'une solution que pour des valeurs comprises entre les images des bornes.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 10$"]Non.
$10$ est largement supérieur à $f(5) = 3$. Le TVI ne s'applique qu'aux valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour appliquer le TVI, vérifier que la valeur cible $y_0$ est bien comprise entre $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une fonction $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ vérifie $f(a) < y_0 < f(b)$. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation $f(x) = y_0$ admet…
[qcm]
[option]exactement une solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option correct="true"]au moins une solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]exactement deux solutions sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]aucune solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité : il peut y en avoir une, deux, trois… ou plus. Pour obtenir l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie (corollaire du TVI).[/reponse]
[reponse motif="exactement une solution sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le TVI seul ne permet pas de conclure à l'unicité. Identifier l'hypothèse supplémentaire nécessaire pour avoir « exactement une » solution.[/reponse]
[reponse motif="exactement deux solutions sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le TVI ne précise jamais le nombre exact de solutions. Il garantit seulement leur existence.[/reponse]
[reponse motif="aucune solution sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Au contraire, sous les hypothèses du TVI (continuité et $y_0$ entre $f(a)$ et $f(b)$), l'existence d'une solution est garantie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer ce que le TVI seul garantit (existence) et ce qui nécessite une hypothèse supplémentaire (unicité).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour appliquer le corollaire du TVI sur $[a\,;\,b]$ avec $f(a) < y_0 < f(b)$ et garantir l'unicité de la solution, quelle hypothèse manque-t-il à la continuité ?
[qcm]
[option]$f$ est paire sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]$f$ est positive sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option correct="true"]$f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]$f$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le corollaire du TVI exige deux hypothèses sur $[a\,;\,b]$ : la continuité et la stricte monotonie. La stricte monotonie garantit que la fonction ne « repasse » pas par la même valeur, donc qu'il y a au plus une solution. Combinée à l'existence donnée par le TVI, on obtient l'unicité.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est paire sur $[a\,;\,b]$"]Non.
La parité décrit une symétrie autour de l'axe des ordonnées, sans rapport avec l'unicité de la solution d'une équation.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est positive sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le signe de $f$ n'intervient pas dans le corollaire. Penser à une propriété qui empêche la fonction de prendre deux fois la même valeur.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$"]Non.
La dérivabilité est une condition plus forte que nécessaire. Le corollaire utilise une propriété qui découle souvent de l'étude du signe de la dérivée, mais l'hypothèse en elle-même porte sur les variations.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'une fonction continue prenne une seule fois la valeur $y_0$, elle ne doit jamais « repasser » par cette valeur. Quelle propriété sur les variations garantit cela ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;\,2]$ telle que $f(0) = 1$ et $f(2) = 1$. Que peut-on dire des solutions de l'équation $f(x) = 1$ sur $[0\,;\,2]$ ?
[qcm]
[option]L'équation a exactement deux solutions[/option]
[option]L'équation n'a aucune solution[/option]
[option correct="true"]L'équation admet au moins une solution mais le TVI ne précise pas leur nombre exact[/option]
[option]L'équation a une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les bornes $0$ et $2$ sont déjà solutions puisque $f(0) = f(2) = 1$ : il y en a donc au moins deux. Mais sans plus d'information sur la fonction (variations, monotonie, autre valeur), on ne peut pas dire combien de solutions supplémentaires existent à l'intérieur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="L'équation a exactement deux solutions"]Non.
On sait déjà que $0$ et $2$ sont solutions, mais la fonction peut très bien repasser plusieurs fois par la valeur $1$ entre ces deux points. Sans information sur les variations, on ne peut pas conclure à exactement deux.[/reponse]
[reponse motif="L'équation n'a aucune solution"]Non.
Les deux bornes $0$ et $2$ vérifient déjà $f(x) = 1$ par hypothèse : il y a donc des solutions évidentes.[/reponse]
[reponse motif="L'équation a une infinité de solutions"]Non.
Rien dans l'énoncé n'impose une infinité de solutions. La fonction peut tout à fait n'avoir qu'un nombre fini de solutions, mais sans information supplémentaire on ne peut pas le préciser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par identifier les solutions évidentes données par les valeurs aux bornes, puis réfléchir à ce que le TVI permet (ou pas) d'affirmer sur l'intérieur de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]