Calculer des intégrales simples

Calculer les intégrales suivantes.

$ A = \displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 + 1)\,dx $
$ B = \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}\,dx $
$ C = \displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,dx $
$ D = \displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx $

Corrigé

Pour chaque intégrale, on cherche une primitive de l'intégrande puis on applique la formule $ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a) $.

Une primitive de $ x \mapsto 3x^2 + 1 $ sur $ \mathbb{R} $ est $ F(x) = x^3 + x $.

$ A = \left[x^3 + x\right]_{0}^{2} = (2^3 + 2) - (0 + 0) = 10 $

soit $\mathbf{A = 10}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = \ln(x) $.

$ B = \left[\ln(x)\right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 $

soit $\mathbf{B = 1}$.
La fonction exponentielle est sa propre primitive.

$ C = \left[e^x\right]_{0}^{1} = e^1 - e^0 $

soit $\mathbf{C = e - 1}$.
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ F(x) = 2\sqrt{x} $.

$ D = \left[2\sqrt{x}\right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 $

soit $\mathbf{D = 2}$.

Primitives de fonctions usuelles

Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer une primitive sur l'intervalle indiqué.

$ f(x) = 3x^2 - 4x + 5 $ sur $ \mathbb{R} $.
$ g(x) = \dfrac{2}{x^3} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.
$ h(x) = e^x + \dfrac{1}{x} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.
$ k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $.

Corrigé

On utilise le tableau des primitives usuelles. On rappelle qu'une primitive est définie à une constante additive près.

$ f $ est une fonction polynôme. Par linéarité, on intègre terme à terme :

$ F(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} - 4 \times \dfrac{x^2}{2} + 5x $

soit $\mathbf{F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x}$.
On écrit $ g(x) = 2 \times \dfrac{1}{x^3} $. Une primitive de $ \dfrac{1}{x^n} $ (avec $ n = 3 $) sur $ ]0\,;+\infty[ $ est $ -\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} = -\dfrac{1}{2x^2} $. Par linéarité :

$ G(x) = 2 \times \left(-\dfrac{1}{2x^2}\right) $

soit $\mathbf{G(x) = -\dfrac{1}{x^2}}$.

Vérification : $ G^{\prime}(x) = -(-2)x^{-3} = \dfrac{2}{x^3} = g(x) $.
La fonction $ x \mapsto e^x $ a pour primitive $ x \mapsto e^x $, et la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $ a pour primitive $ x \mapsto \ln(x) $ sur $ ]0\,;+\infty[ $. Par linéarité :

$\mathbf{H(x) = e^x + \ln(x)}$
Une primitive de $ x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} $ sur $ ]0\,;+\infty[ $ est :

$\mathbf{K(x) = 2\sqrt{x}}$

Vrai/Faux : Calcul d’intégrales

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le calcul d'intégrales, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Poser chaque calcul avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} 4x^3\,\mathrm{d}x = 16$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $4x^3$ est $x^4$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} 4x^3\,\mathrm{d}x = \left[x^4\right]_{0}^{2} = 16 - 0 = 16$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : trouver une primitive (ici $x^4$) et appliquer $F(2) - F(0)$.
$F(2) = 16$, $F(0) = 0$, donc l'intégrale vaut bien $16$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^4\right]_0^2 = 16$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x = 2$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Par linéarité, une primitive de $\dfrac{2}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $2\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x}\,\mathrm{d}x = \left[2\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}} = 2\ln(\mathrm{e}) - 2\ln(1) = 2 \times 1 - 2 \times 0 = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, et $\ln(\mathrm{e}) = 1$, $\ln(1) = 0$.
Avec la linéarité : $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{2}{x} = 2(1 - 0) = 2$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[2\ln x\right]_1^{\mathrm{e}} = 2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\mathrm{e}^{-x}$ est $-\mathrm{e}^{-x}$ (vérification : $(-\mathrm{e}^{-x})^{\prime} = -(-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x}$).
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = \left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{1} = -\mathrm{e}^{-1} - (-\mathrm{e}^{0}) = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} + 1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Repère : la primitive de $\mathrm{e}^{ax}$ est $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$. Avec $a = -1$, on obtient $-\mathrm{e}^{-x}$.
Évaluer ensuite aux bornes $0$ et $1$ : $-\mathrm{e}^{-1} - (-1) = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_0^1 = -\dfrac{1}{\mathrm{e}} + 1 = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = 4$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par linéarité, une primitive de $3x^2 - 2x$ est $x^3 - x^2$.
$\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x)\,\mathrm{d}x = \left[x^3 - x^2\right]_{0}^{2} = (8 - 4) - 0 = 4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : primitiver terme à terme ($3x^2 \to x^3$, $-2x \to -x^2$), puis évaluer entre les bornes.
$F(2) - F(0) = (8 - 4) - 0 = 4$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\left[x^3 - x^2\right]_0^2 = 4 - 0 = 4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ est bien défini et vaut un nombre fini.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La fonction $\dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ : elle n'est donc pas continue sur $[0\,;\,1]$.
La condition pour calculer $\displaystyle\int_a^b f$ est que $f$ soit continue (ou au moins définie) sur $[a\,;\,b]$. L'intégrale n'a pas de sens dans le cadre du programme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Vérifier le domaine : la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ a une asymptote verticale en $0$. L'intervalle $[0\,;\,1]$ contient une valeur où $f$ n'est pas définie.
Une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ existe ($\ln x$), mais l'intégrale entre $0$ et $1$ sort du cadre du programme (intégrale impropre).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La fonction $\dfrac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$ : on ne peut pas calculer son intégrale sur $[0\,;\,1]$ dans le cadre du programme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \ln 2 - 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction est de la forme $\dfrac{u^{\prime}}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$ : une primitive est $\ln(x^2 + 1)$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \left[\ln(x^2 + 1)\right]_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.
La valeur correcte est $\ln 2$, pas $\ln 2 - 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : croire que $\ln 1 = 1$. En réalité $\ln 1 = 0$, donc $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$, et non $\ln 2 - 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$, et non $\ln 2 - 1$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Primitives d’une fonction

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les primitives, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors $F^{\prime}(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition d'une primitive : $F$ est dérivable sur $I$ et $F^{\prime}(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $I$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : la définition même d'une primitive $F$ de $f$ sur $I$ est que $F^{\prime} = f$ sur $I$.
Ne pas confondre avec la dérivée d'une fonction (le rôle inverse).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition d'une primitive : $F^{\prime} = f$ sur $I$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = 3x^2$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = 6x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On dérive : $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$. Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le réflexe : pour vérifier si $F$ est une primitive de $f$, dériver $F$ et comparer à $f$.
Ici $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$, ce qui valide la propriété.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F^{\prime}(x) = 6x = f(x)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle $I$, alors $F = G$ sur $I$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Deux primitives diffèrent d'une constante : $G(x) = F(x) + k$. Elles ne sont donc pas nécessairement égales.
Par exemple, $F(x) = x^2$ et $G(x) = x^2 + 5$ sont toutes deux des primitives de $2x$ sur $\mathbb{R}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est l'unicité : on a en réalité unicité à une constante près. Deux primitives diffèrent d'une constante, ce qui les rend généralement distinctes.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante : $G = F + k$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 5$ est $F(x) = 5$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La dérivée de la fonction constante $F(x) = 5$ vaut $0$, et non $5$. Une primitive de $f(x) = 5$ est $F(x) = 5x$ (vérification : $(5x)^{\prime} = 5$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : la dérivée d'une fonction constante est $0$, pas la constante elle-même. Une primitive d'une constante non nulle est une fonction affine.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée de $F(x) = 5$ est $0$, pas $5$. Une primitive de $5$ est $F(x) = 5x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = (x^2 + 1)^4$ est une primitive de $f$ définie par $f(x) = 4(x^2 + 1)^3$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On dérive $F$ comme une fonction composée : avec $u = x^2 + 1$ et $u^{\prime} = 2x$, on a $F^{\prime} = 4 \times 2x \times (x^2 + 1)^3 = 8x(x^2 + 1)^3$.
Or $f(x) = 4(x^2 + 1)^3$ : il manque le facteur $2x$. Donc $F$ n'est pas une primitive de $f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : appliquer la règle des puissances comme si la base était $x$. Or ici la base est $u = x^2 + 1$ ; en dérivant, le facteur $u^{\prime} = 2x$ apparaît obligatoirement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La dérivée de $F$ est $8x(x^2 + 1)^3$ (par dérivée d'une fonction composée), pas $4(x^2 + 1)^3$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Sur $]0\,;\,+\infty[$, une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$ est $F(x) = x^2 + \ln x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On primitive terme à terme : $2x \to x^2$ et $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ (sur $]0\,;\,+\infty[$).
Donc $F(x) = x^2 + \ln x$ est une primitive. Vérification : $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x} = f(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Méthode : primitiver chaque terme par linéarité. Pour $2x$, la primitive est $x^2$ ; pour $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$, la primitive est $\ln x$.
La somme convient : $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F^{\prime}(x) = 2x + \dfrac{1}{x} = f(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Calcul d’intégrales par primitivation

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul d'intégrales par primitivation : trouver une primitive et appliquer la formule $F(b) - F(a)$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{3} 2x \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$8$[/option]
[option]$6$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Une primitive de $2x$ est $x^2$.
$\displaystyle\int_{1}^{3} 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
La différence $9 - 1 = 8$, pas $4$. Vérifier le calcul : $3^2 = 9$, $1^2 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspondrait à $3^2 - 3 = 6$. Vérifier : la primitive de $2x$ est bien $x^2$, pas $x^2 - x$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ correspond à la dérivée de $2x$ (qui est $2$) plutôt qu'à une primitive. Primitiver $2x$ donne $x^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver une primitive de $2x$, puis appliquer $F(b) - F(a)$ avec $a = 1$ et $b = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$\mathrm{e}$[/option]
[option correct="true"]$\mathrm{e} - 1$[/option]
[option]$\mathrm{e} + 1$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une primitive de $\mathrm{e}^{x}$ est $\mathrm{e}^{x}$.
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, \mathrm{d}x = \left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{1} = \mathrm{e}^{1} - \mathrm{e}^{0} = \mathrm{e} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
On a $\mathrm{e}^{0} = 1$ mais $\mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}$, pas $1$. La différence $\mathrm{e} - 1$ ne se simplifie pas en $1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}$"]Non.
La valeur en $0$ a été oubliée : $\mathrm{e}^{0} = 1$ doit être soustrait.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e} + 1$"]Non.
Erreur de signe : la formule est $F(b) - F(a)$, donc on soustrait $F(0)$, pas on l'ajoute.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Une primitive de $\mathrm{e}^x$ est $\mathrm{e}^x$ ; appliquer $F(1) - F(0)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\ln 2$[/option]
[option]$\ln 2 - 1$[/option]
[option]$1 - \dfrac{1}{2}$[/option]
[option]$\ln(1) = 0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln 2 - 1$"]Non.
$\ln 1 = 0$, pas $1$. La soustraction donne donc $\ln 2 - 0 = \ln 2$.[/reponse]
[reponse motif="$1 - \dfrac{1}{2}$"]Non.
Confusion : $\dfrac{1}{x}$ a été primitivé en $-\dfrac{1}{x^2}$ ou similaire. La règle de la puissance ne s'applique pas pour $n = -1$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(1) = 0$"]Non.
On n'évalue pas la primitive seulement en $1$ : il faut faire la différence entre les valeurs en $2$ et en $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$ ; faire $\ln 2 - \ln 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e} - 1$[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[option]$\mathrm{e}$[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $\ln x$.
$\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d}x = \left[\ln x\right]_{1}^{\mathrm{e}} = \ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e} - 1$"]Non.
La primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$, pas $\mathrm{e}^{x}$. On évalue $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1)$, pas $\mathrm{e} - 1$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}$"]Non.
La valeur en $1$ a été oubliée : $\ln(1) = 0$ doit bien être soustrait, mais c'est $\ln(\mathrm{e}) = 1$ qu'on évalue, pas $\mathrm{e}$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
On n'évalue pas la primitive seulement en $1$ : il faut faire $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1) = 1 - 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitive de $\dfrac{1}{x}$ : $\ln x$. Calculer $\ln(\mathrm{e}) - \ln(1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^2 + 2)\, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option]$4$[/option]
[option correct="true"]$6$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Par linéarité, une primitive de $3x^2 + 2$ est $x^3 + 2x$.
$\left[x^3 + 2x\right]_{-1}^{1} = (1 + 2) - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 6$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Le terme $3x^2$ semble avoir été oublié. Sa primitive est $x^3$, qui contribue par $1 - (-1) = 2$ à l'intégrale, en plus de $4$ pour le terme constant.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
Le terme $2$ a une primitive $2x$ qui donne $2 - (-2) = 4$. Mais le terme $3x^2$, qui contribue aussi, a été oublié.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
La primitive de $3x^2$ est $x^3$ (et non $3x^3$). L'erreur la plus probable est sur le coefficient.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitiver chaque terme par linéarité, puis appliquer $F(1) - F(-1)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que vaut $\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{2x} \, \mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\mathrm{e}^{2} - 1$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{\mathrm{e}^{2} - 1}{2}$[/option]
[option]$2(\mathrm{e}^{2} - 1)$[/option]
[option]$\mathrm{e}^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Une primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{e}^{2x}$ (forme $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$ avec $a = 2$).
$\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{2x} \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{\mathrm{e}^{2}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\mathrm{e}^{2} - 1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{2} - 1$"]Non.
Le facteur $\dfrac{1}{2}$ provenant de la primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ a été oublié. La primitive n'est pas $\mathrm{e}^{2x}$.[/reponse]
[reponse motif="$2(\mathrm{e}^{2} - 1)$"]Non.
Mauvais sens du coefficient : la primitive de $\mathrm{e}^{2x}$ a un facteur $\dfrac{1}{2}$ (on divise par $a = 2$), pas $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathrm{e}^{2}$"]Non.
La valeur en $0$ a été oubliée : $\mathrm{e}^{0} = 1$ contribue avec un facteur $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour $\mathrm{e}^{ax}$, une primitive est $\dfrac{1}{a}\,\mathrm{e}^{ax}$ ; ici $a = 2$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Primitives de fonctions usuelles

[enonce]
Ce QCM porte sur les primitives des fonctions usuelles : puissances, inverse, exponentielle et formes composées. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3$ ?
[qcm]
[option]$3x^2$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{x^4}{4}$[/option]
[option]$\dfrac{x^3}{3}$[/option]
[option]$4x^4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour $f(x) = x^n$ (avec $n \neq -1$), une primitive est $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
Ici $n = 3$ donc $F(x) = \dfrac{x^4}{4}$. On vérifie : $F^{\prime}(x) = \dfrac{4x^3}{4} = x^3$.[/reponse]
[reponse motif="$3x^2$"]Non.
$3x^2$ est la dérivée de $x^3$, pas une primitive. Une primitive s'obtient en augmentant l'exposant de $1$ et en divisant par le nouvel exposant.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x^3}{3}$"]Non.
L'exposant n'a pas été augmenté. La règle est : nouvelle puissance $= n + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$4x^4$"]Non.
Le coefficient n'est pas $4$ mais $\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{4}$. Diviser par le nouvel exposant, ne pas multiplier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour primitiver $x^n$, on ajoute $1$ à l'exposant et on divise par le nouvel exposant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \mathrm{e}^{x}$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\mathrm{e}^{x}$[/option]
[option]$x\,\mathrm{e}^{x}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction exponentielle est sa propre primitive : si $F(x) = \mathrm{e}^{x}$ alors $F^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$x\,\mathrm{e}^{x}$"]Non.
La dérivée de $x\,\mathrm{e}^{x}$ est $\mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}$ (par dérivation d'un produit), ce n'est pas $\mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$"]Non.
Confusion avec une règle de puissance. L'exponentielle est un cas particulier : sa primitive est elle-même.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x+1}}{x+1}$"]Non.
On a appliqué la règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, qui ne s'applique qu'aux puissances de $x$, pas à $\mathrm{e}^{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La fonction exponentielle a une particularité : revoir sa dérivée et sa primitive.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{1}{x^2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2x^2}$[/option]
[option correct="true"]$\ln x$[/option]
[option]$\dfrac{1}{\ln x}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Sur $]0\,;\,+\infty[$, la fonction $\ln$ est dérivable et $(\ln x)^{\prime} = \dfrac{1}{x}$.
Donc une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{x^2}$"]Non.
$-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x}$, pas une primitive.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x^2}$"]Non.
La règle $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ne fonctionne pas pour $n = -1$ (elle donnerait une division par zéro). Le cas $\dfrac{1}{x}$ est traité à part.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{\ln x}$"]Non.
$\ln x$ apparaît bien dans la réponse, mais pas en dénominateur. Vérifier la formule de dérivée de $\ln$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le cas $\dfrac{1}{x}$ est exceptionnel : penser à la dérivée d'une fonction logarithme.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $]0\,;\,+\infty[$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ ?
[qcm]
[option]$-\dfrac{2}{x^3}$[/option]
[option correct="true"]$-\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3x^3}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On écrit $\dfrac{1}{x^2}$ sous la forme $\dfrac{1}{x^n}$ avec $n = 2$ : une primitive est $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} = -\dfrac{1}{x}$. Vérification : $\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{\prime} = \dfrac{1}{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{2}{x^3}$"]Non.
$-\dfrac{2}{x^3}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$, pas une primitive. Primitiver et dériver sont des opérations inverses.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x}$"]Non.
Erreur de signe. La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est $-\dfrac{1}{x^2}$ ; il faut donc l'opposé : $-\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3x^3}$"]Non.
On a appliqué la règle des puissances de $x$ à un dénominateur. Pour $\dfrac{1}{x^n}$, la primitive est $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $\dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{x^n}$ avec $n = 2$ et appliquer la formule $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 4x^3 - 6x + 5$ ?
[qcm]
[option]$12x^2 - 6$[/option]
[option]$x^4 - 3x^2 + 5$[/option]
[option correct="true"]$x^4 - 3x^2 + 5x$[/option]
[option]$\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{6x^2}{2} + 5x$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On primitive terme à terme par linéarité.
$4x^3 \to \dfrac{4x^4}{4} = x^4$ ; $-6x \to -\dfrac{6x^2}{2} = -3x^2$ ; $5 \to 5x$.
Donc $F(x) = x^4 - 3x^2 + 5x$. Vérification : $F^{\prime}(x) = 4x^3 - 6x + 5$.[/reponse]
[reponse motif="$12x^2 - 6$"]Non.
$12x^2 - 6$ est la dérivée de $f$, pas une primitive. Pour primitiver, augmenter l'exposant et diviser ; pour dériver, c'est l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$x^4 - 3x^2 + 5$"]Non.
La constante $5$ a été oubliée : sa primitive est $5x$, pas $5$. Une constante non nulle n'est pas sa propre primitive.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{6x^2}{2} + 5x$"]Pas tout à fait.
Le résultat est correct mathématiquement mais il faut simplifier : $\dfrac{4x^4}{4} = x^4$ et $\dfrac{6x^2}{2} = 3x^2$. Toujours simplifier les fractions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Primitiver chaque terme séparément (linéarité) et ne pas oublier le terme constant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ ?
[qcm]
[option]$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option correct="true"]$\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$2\,\mathrm{e}^{x^2}$[/option]
[option]$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La fonction est de la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x) = x^2$ et $u^{\prime}(x) = 2x$. Ses primitives sont $\mathrm{e}^{u} + k$, soit $\mathrm{e}^{x^2}$. Vérification : $\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)^{\prime} = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$x^2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
On ne primitive pas $\mathrm{e}^{x^2}$ en remplaçant $2x$ par $x^2$. Reconnaître la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ dont la primitive est $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$2\,\mathrm{e}^{x^2}$"]Non.
Le facteur $2$ est en trop. La dérivée de $2\,\mathrm{e}^{x^2}$ est $4x\,\mathrm{e}^{x^2}$, pas $2x\,\mathrm{e}^{x^2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{\mathrm{e}^{x^2}}{2x}$"]Non.
On ne divise pas par $u^{\prime}$. Pour la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$, la primitive est simplement $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u^{\prime}\,\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x) = x^2$ : une primitive est $\mathrm{e}^{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]