[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $(u_n)$ une suite géométrique définie par $u_n = u_0 \times q^n$ avec $u_0 \neq 0$.

Affirmation : Si $-1 < q < 1$, alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour $-1 < q < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$. Par produit avec la constante $u_0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = u_0 \times 0 = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est l'un des résultats fondamentaux du chapitre : pour une raison strictement comprise entre $-1$ et $1$, les puissances $q^n$ tendent vers $0$, ce qui entraîne la même limite pour la suite, quel que soit le premier terme non nul.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La suite $(\sqrt{n})$ est une suite de référence : elle est strictement croissante et n'est pas majorée, donc sa limite est $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien que la racine carrée croisse plus lentement que $n$, elle continue de croître sans borne. Pour $n = 10^6$, on a déjà $\sqrt{n} = 1000$ : la limite est $+\infty$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$n^2$ tend vers $+\infty$, donc $\dfrac{1}{n^2}$ tend vers $0$. C'est l'une des limites de référence du cours.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand le dénominateur d'une fraction de numérateur constant tend vers $+\infty$, la fraction tend vers $0$. Ici $\dfrac{1}{n^2}$ devient infiniment petit quand $n$ croît.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Toute suite croissante a pour limite $+\infty$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Une suite peut être croissante et bornée, auquel cas elle converge vers une limite finie. Par exemple, $u_n = 1 - \dfrac{1}{n}$ pour $n \geqslant 1$ est croissante et tend vers $1$, pas vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Une suite croissante peut très bien être bornée et converger vers une limite finie. La croissance seule n'impose pas la divergence vers $+\infty$ : il faut aussi que la suite ne soit pas majorée.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.

Affirmation : $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = 0$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
La somme « $+\infty + (-\infty)$ » est une forme indéterminée : elle ne donne pas $0$ par règle générale. Par exemple, avec $u_n = n^2$ et $v_n = -n$, $u_n + v_n = n^2 - n \to +\infty$, et non $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
$\infty - \infty$ est une forme indéterminée : la limite dépend des suites précises et peut être $0$, mais aussi $+\infty$, $-\infty$ ou une valeur finie quelconque. On ne peut pas conclure sans étude supplémentaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Affirmation : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On encadre : $-\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{(-1)^n}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}$.
Comme $-\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$ tendent toutes deux vers $0$, par théorème d'encadrement, $u_n \to 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Bien que les termes alternent en signe, leur valeur absolue $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$. Le théorème d'encadrement (ou le résultat sur le produit d'une suite bornée par une suite tendant vers $0$) permet de conclure que la limite est bien $0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de limites de suites : suites usuelles, suites géométriques et opérations sur les limites. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{1}{n}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]La suite n'a pas de limite[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La suite $\left(\dfrac{1}{n}\right)$ est une suite de référence : sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$ est $0$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Lorsque $n$ devient grand, le dénominateur grandit et la fraction $\dfrac{1}{n}$ devient de plus en plus petite, pas de plus en plus grande.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
La valeur $\dfrac{1}{n}$ est égale à $1$ uniquement pour $n = 1$. Quand $n$ croît, $\dfrac{1}{n}$ s'éloigne de $1$ vers une autre valeur.[/reponse]
[reponse motif="La suite n'a pas de limite"]Non.
Cette suite est monotone et bornée : elle admet une limite. Étudier le comportement de $\dfrac{1}{n}$ pour $n$ grand.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner ce que devient $\dfrac{1}{n}$ quand on remplace $n$ par des valeurs très grandes : $10$, $100$, $1000$...[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2 \times (0{,}3)^n$. Quelle est sa limite ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$0$[/option]
[option]$0{,}3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La raison est $q = 0{,}3$ et $-1 < 0{,}3 < 1$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Par produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} 2 \times (0{,}3)^n = 2 \times 0 = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
La raison $0{,}3$ est plus petite que $1$ en valeur absolue : la suite géométrique $(q^n)$ tend vers $0$, pas vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la valeur de $u_0$, pas la limite. Quand $n$ croît, le facteur $(0{,}3)^n$ tend vers $0$, ce qui modifie le résultat.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3$ est la raison, pas la limite. Pour une suite géométrique de raison $q$ avec $|q| < 1$, la limite est $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une suite géométrique de raison $q$ avec $-1 < q < 1$, la limite de $q^n$ est $0$. Multiplier ensuite par le coefficient devant.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite de la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_n = (1{,}5)^n$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$1$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$1{,}5$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La raison est $q = 1{,}5 > 1$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} (1{,}5)^n = +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$(1{,}5)^n = 1$ uniquement pour $n = 0$. Comme la raison est strictement supérieure à $1$, les termes croissent sans cesse.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La limite vaut $0$ uniquement quand la raison est strictement comprise entre $-1$ et $1$. Ici $q = 1{,}5 > 1$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}5$"]Non.
$1{,}5$ est la raison, pas la limite. Vérifier la position de la raison par rapport à $1$ pour conclure.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une suite géométrique de raison $q$ avec $q > 1$, la limite est $+\infty$. Comparer la raison à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - n$ ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$+\infty$[/option]
[option]$-\infty$[/option]
[option]Forme indéterminée[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On factorise par $n^2$ : $u_n = n^2 \left(1 - \dfrac{1}{n}\right)$.
$n^2$ tend vers $+\infty$ et $1 - \dfrac{1}{n}$ tend vers $1$, donc par produit $u_n \to +\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La différence $n^2 - n$ croît sans limite quand $n$ devient grand : c'est la croissance du carré qui domine.[/reponse]
[reponse motif="$-\infty$"]Non.
Pour $n \geqslant 2$, on a $n^2 > n$, donc $u_n > 0$. La suite ne peut pas tendre vers $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="Forme indéterminée"]Non.
La forme « $+\infty - \infty$ » est ici levée par factorisation : $n^2$ croît beaucoup plus vite que $n$ et impose son comportement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Factoriser par la plus haute puissance de $n$ et utiliser les limites de référence pour conclure.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \dfrac{3n + 5}{n}$ ?
[qcm]
[option]$+\infty$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$0$[/option]
[option]$8$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On simplifie : $u_n = \dfrac{3n}{n} + \dfrac{5}{n} = 3 + \dfrac{5}{n}$.
Comme $\dfrac{5}{n} \to 0$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 3 + 0 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$+\infty$"]Non.
Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée. Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Le terme dominant du numérateur est $3n$, qui croît à la même vitesse que le dénominateur $n$. La fraction n'écrase pas vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="$8$"]Non.
$8 = 3 + 5$ correspond au numérateur évalué pour $n = 1$. Pour la limite, simplifier la fraction et appliquer les théorèmes sur les opérations.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Séparer la fraction en deux termes ou factoriser le $n$ pour faire apparaître les limites de référence.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = (-2)^n$. Que peut-on dire de sa limite ?
[qcm]
[option]$\lim u_n = +\infty$[/option]
[option]$\lim u_n = -\infty$[/option]
[option]$\lim u_n = 0$[/option]
[option correct="true"]La suite n'a pas de limite[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La raison $q = -2$ vérifie $q \leqslant -1$. Les termes oscillent en signe et leur valeur absolue tend vers $+\infty$ : la suite n'a pas de limite (elle diverge sans tendre vers $\pm\infty$).[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = +\infty$"]Non.
Quand $n$ est impair, $(-2)^n < 0$. La suite ne reste donc pas positive et ne peut pas tendre vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = -\infty$"]Non.
Quand $n$ est pair, $(-2)^n > 0$. La suite ne reste donc pas négative et ne peut pas tendre vers $-\infty$.[/reponse]
[reponse motif="$\lim u_n = 0$"]Non.
La limite vaut $0$ uniquement pour les raisons strictement comprises entre $-1$ et $1$. Ici $|q| = 2 > 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une suite géométrique $(q^n)$, examiner les cas $q > 1$, $-1 < q < 1$, $q = 1$ et $q \leqslant -1$. Le dernier cas mérite une attention particulière.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]