Vrai/Faux : Dérivée, limites et lien avec l’exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la dérivée, les limites du logarithme népérien et son lien avec l'exponentielle, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La dérivée de la fonction $f(x)=\ln(x)$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $f'(x)=\dfrac{1}{x}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
C'est la formule de dérivation à connaître par cœur : pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reviens à la formule du cours sur la dérivée du logarithme népérien.
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et sa dérivée est $\dfrac{1}{x}$, ce qui justifie sa stricte croissance sur cet intervalle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, $\ln(e^x) = e^x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La bonne relation est $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, et non $e^x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Souviens-toi que $\ln$ et $\exp$ sont réciproques l'une de l'autre.
Pour tout réel $x$, on a $\ln(e^x) = x$ (et non $e^x$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation correcte est $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, qui traduit le fait que $\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tout $x>0$, $e^{\ln x} = x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
C'est l'autre relation clé entre $\ln$ et $\exp$ : appliquer l'exponentielle au logarithme d'un réel strictement positif redonne ce réel.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pense au lien réciproque entre les fonctions $\ln$ et $\exp$.
Pour tout $x>0$, $e^{\ln x} = x$ ; cette identité est très utile pour résoudre les équations contenant à la fois $\ln$ et des exponentielles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Comme $\ln$ et $\exp$ sont réciproques, on a $e^{\ln x} = x$ pour tout $x>0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} = +\infty$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Par croissances comparées, $\dfrac{\ln(x)}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ : $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il s'agit d'une limite de référence par croissances comparées.
Pour $x \to +\infty$, on a $\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0$ : la croissance polynomiale de $x$ domine celle, beaucoup plus lente, de $\ln(x)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} = 0$. C'est une limite de référence à connaître.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la dérivée de $\ln(u(x))$ est $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
C'est la formule de dérivation d'une composée avec $\ln$ : $\bigl[\ln(u)\bigr]' = \dfrac{u'}{u}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Applique la dérivée d'une fonction composée à $\ln \circ u$.
Si $u>0$ et dérivable sur $I$, alors $\bigl[\ln(u(x))\bigr]' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. En appliquant la dérivée d'une composée à $f=\ln \circ u$ avec $u>0$, on obtient $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\ln(x)$ tend vers $-\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Observe la courbe de $\ln$ près de $0$ par valeurs positives.
On a $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = -\infty$ : la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe de $\ln$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La limite correcte est $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x) = -\infty$. La courbe de $\ln$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
[/solution]
[/etape]

QCM : Dérivée de fonctions contenant ln

[enonce]
Ce QCM porte sur la dérivée de fonctions contenant le logarithme népérien : application de la formule $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ et dérivation d'expressions composées. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \ln(x)$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\ln(x)$[/option]
[option]$x$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{x^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La dérivée du logarithme népérien est une dérivée usuelle à connaître : pour tout $x > 0$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(x)$"]Non.
Une fonction n'est en général pas égale à sa dérivée. La dérivée de $\ln$ est une dérivée usuelle particulière, à mémoriser.[/reponse]
[reponse motif="$x$"]Non.
Il s'agit de la dérivée de $\dfrac{x^2}{2}$, pas de celle de $\ln(x)$. La dérivée de $\ln$ est une dérivée usuelle à connaître par cœur.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{x^2}$"]Non.
$-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de $\dfrac{1}{x}$. Ne pas confondre avec la dérivée de $\ln(x)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La dérivée de $\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$ fait partie des dérivées usuelles à connaître.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$ par $f(x) = \ln(2x+1)$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{2x+1}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{2x+1}$[/option]
[option]$\dfrac{2x+1}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On pose $u(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 2$. D'après $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, on obtient $f'(x) = \dfrac{2}{2x+1}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2x+1}$"]Non.
La dérivée $u'(x) = 2$ a été oubliée au numérateur. La formule complète est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, et non $\dfrac{1}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2x+1}{2}$"]Non.
Le numérateur et le dénominateur ont été inversés. La formule est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, avec $u'$ au-dessus de $u$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
Cela reviendrait à dériver $\ln$ comme si l'argument était $x$, sans tenir compte de la composition. Ici l'argument est $2x+1$, il faut appliquer la formule de la composée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier $u(x) = 2x+1$, calculer $u'(x)$, puis appliquer $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \ln(x^2+1)$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{x^2+1}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2x}{x^2+1}$[/option]
[option]$\dfrac{2x}{x^2}$[/option]
[option]$2x\ln(x^2+1)$[/option]
[reponse statut="correct"]Très bien !
On pose $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. D'après $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, on a $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
Remarque : $u(x) = x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est bien définie partout.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x^2+1}$"]Non.
La dérivée $u'(x) = 2x$ a été oubliée au numérateur. La formule est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, et pas seulement $\dfrac{1}{u}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2x}{x^2}$"]Non.
Le dénominateur doit être $u(x) = x^2 + 1$ entièrement, et non simplement $x^2$. Dans $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, le $u$ du dénominateur est l'argument complet du logarithme.[/reponse]
[reponse motif="$2x\ln(x^2+1)$"]Non.
Cela ressemble à une dérivée d'exponentielle, pas de logarithme. Pour $\ln u$, la dérivée est $\dfrac{u'}{u}$, sans $\ln$ qui réapparaît.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Poser $u(x) = x^2+1$, calculer $u'(x) = 2x$, puis appliquer $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u$ entier au dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x\ln(x)$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\ln(x)$[/option]
[option correct="true"]$\ln(x)+1$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
Il s'agit d'un produit. On pose $u(x) = x$ et $v(x) = \ln(x)$, donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x}$.
$f'(x) = u'v + uv' = 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} = \ln(x) + 1.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x}$"]Non.
Cela correspond à dériver uniquement le facteur $\ln(x)$, en ignorant le $x$ qui multiplie. Il faut utiliser la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[reponse motif="$\ln(x)$"]Non.
Cela correspond à appliquer (à tort) $(uv)' = u'v$, en oubliant le terme $uv'$. La formule complète est $(uv)' = u'v + uv'$, avec les deux termes.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Cela reviendrait à utiliser $(uv)' = u'v'$, ce qui est faux. La dérivée d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$, pas le produit des dérivées.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître un produit, poser $u(x) = x$ et $v(x) = \ln(x)$, et appliquer $(uv)' = u'v + uv'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = (\ln x)^2$. Quelle est l'expression de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{2}{x}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2\ln(x)}{x}$[/option]
[option]$2\ln(x)$[/option]
[option]$\dfrac{2}{x^2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On reconnaît la forme $u^2$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $u'(x) = \dfrac{1}{x}$. La formule $(u^2)' = 2u u'$ donne :
$f'(x) = 2 \ln(x) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x)}{x}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{x}$"]Non.
Le facteur $u = \ln(x)$ a été oublié. Pour $(u^2)' = 2u u'$, il faut bien faire apparaître $u$ et $u'$, pas seulement $u'$.[/reponse]
[reponse motif="$2\ln(x)$"]Non.
On a appliqué (à tort) la formule $(x^n)' = n x^{n-1}$ comme si $\ln(x)$ était la variable. Il faut la formule de la composée : $(u^2)' = 2u u'$, avec $u' = \dfrac{1}{x}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{x^2}$"]Non.
Cela ressemble au carré de $\dfrac{1}{x}$ multiplié par $2$, mais ce n'est pas la dérivée d'un carré. La règle est $(u^2)' = 2u u'$, pas $2(u')^2$ ni $2u'^2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Reconnaître la forme $u^2$ avec $u(x) = \ln(x)$, calculer $u'(x) = \dfrac{1}{x}$, puis appliquer $(u^2)' = 2u u'$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)$. Quelle est la forme la plus simple de $f'(x)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{x(x+1)}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$[/option]
[option]$\dfrac{x+1}{x}$[/option]
[option]$-\dfrac{1}{x(x+1)}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On utilise d'abord la propriété du logarithme : $f(x) = \ln(x) - \ln(x+1)$.
On dérive ensuite terme à terme : $f'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$.
On réduit au même dénominateur : $f'(x) = \dfrac{(x+1) - x}{x(x+1)} = \dfrac{1}{x(x+1)}.$[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$"]Non.
Erreur de signe : en utilisant $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$, on dérive $\ln(x) - \ln(x+1)$, ce qui donne $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$ (et non l'inverse).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{x+1}{x}$"]Non.
On a confondu la dérivée avec l'expression à l'intérieur du logarithme inversée. La formule à appliquer est $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ (ou la propriété $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$), pas l'inverse de l'argument.[/reponse]
[reponse motif="$-\dfrac{1}{x(x+1)}$"]Non.
Erreur de signe lors de la mise au même dénominateur : $(x+1) - x = +1$ (et non $-1$). Vérifier le calcul du numérateur après réduction.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la propriété $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$ pour transformer $f$ en $\ln(x) - \ln(x+1)$, puis dériver et réduire au même dénominateur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Logarithme – Bac ES/L Métropole Réunion 2016

La courbe $ (C) $ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ [0,5~;6] $.

Courbe de la fonction f sur [0,5 ; 6] avec tangentes en A et B

Les points $ A\ (1~;~3) $ et $ B $ d'abscisse $ 1,5 $ sont sur la courbe $ (C) $.

Les tangentes à la courbe $ (C) $ aux points $ A $ et $ B $ sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point $ B $ est horizontale.

On note $ f^\prime $ la fonction dérivée de $ f $. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Étude graphique

Déterminer $ f^\prime(1,5) $.
La tangente à la courbe $ (C) $ passant par $ A $ passe par le point de coordonnées $ (0\,;\,2) $. Déterminer une équation de cette tangente.
Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe $ (C) $, l'axe des abscisses et les droites d'équations $ x=1 $ et $ x=2 $.
Déterminer la convexité de la fonction $ f $ sur $ [0,5\,;\,6] $. Argumenter la réponse.

Partie B

Étude analytique

On admet que la fonction $ f $ est définie sur $ [0,5~;~6] $ par

$ f(x) = - 2x+5+3\ln (x). $

Pour tout réel $ x $ de $ [0,5~;~6] $, calculer $ f^\prime(x) $ et montrer que $ f^\prime(x)=\dfrac{ - 2x+3}{x} $.
Étudier le signe de $ f^\prime $ sur $ [0,5~;~6] $ puis dresser le tableau de variation de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.
Montrer que l'équation $ f(x)=0 $ admet exactement une solution $ \alpha $ sur $ [0,5\,;\,6] $.

Donner une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{ - 2} $ près.
En déduire le tableau de signe de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.
On considère la fonction $ F $ définie sur $ [0,5~;~6] $ par

$ F(x)= - x^2 +2x +3x \ln(x) $.
1. Montrer que $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ [0,5~;~6] $.
2. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $ (C) $, l'axe des abscisses et les droites d'équation $ x = 1 $ et $ x = 2 $. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.

Corrigé

Partie A

La tangente au point $ B $ d'abscisse $ 1,5 $ est horizontale, donc $\mathbf{f'(1,5) = 0}$.
La tangente à la courbe passant par $ A(1\,;\,3) $ et par le point $ (0\,;\,2) $ a pour coefficient directeur :

$ m = \dfrac{2 - 3}{0 - 1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 $

L'ordonnée à l'origine est $ 2 $ (puisque la tangente passe par le point $ (0\,;\,2) $).
Une équation de cette tangente est donc $\mathbf{y = x + 2}$.
L'aire du domaine est comprise entre l'aire des rectangles inférieurs et supérieurs. Graphiquement, pour $ x \in [1\,;\,2] $, on peut estimer l'aire $ S $ :
$\mathbf{3 < S < 4}$.
La courbe $ (C) $ est située en dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle $ [0,5\,;\,6] $, par conséquent la fonction $ f $ est concave sur cet intervalle.

Partie B

Pour tout réel $ x $ de $ [0{,}5\,;\,6] $ :

$ f'(x) = -2 + \dfrac{3}{x} = \dfrac{-2x + 3}{x} $
Sur $ [0{,}5\,;\,6] $, $ x > 0 $, donc $ f'(x) $ est du même signe que $ -2x + 3 $.
$ -2x + 3 = 0 \iff x = 1{,}5 $.
$ -2x + 3 > 0 \iff x < 1{,}5 $.

On en déduit le tableau de variations de $ f $ :

Valeurs aux bornes : $ f(0{,}5) = 4 + 3\ln(0{,}5) \approx 1{,}9 $, $ f(1{,}5) = 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}2 $ et $ f(6) = -7 + 3\ln(6) \approx -1{,}6 $.
Sur l'intervalle $ [0{,}5\,;\,1{,}5] $, le maximum de $ f $ est $ 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}22 $, donc $ f(x) > 0 $ sur cet intervalle.
Sur l'intervalle $ [1{,}5\,;\,6] $ :
$ f $ est continue et strictement décroissante.
$ f(1{,}5) = 2 + 3\ln(1{,}5) \approx 3{,}22 > 0 $.
$ f(6) = -7 + 3\ln(6) \approx -1{,}62 < 0 $.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas des fonctions strictement monotones), l'équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur $ [1{,}5\,;\,6] $. Comme $ f(x) > 0 $ sur $ [0{,}5\,;\,1{,}5] $, $ \alpha $ est l'unique solution sur $ [0{,}5\,;\,6] $.
À la calculatrice, on trouve $\mathbf{\alpha \approx 4{,}88}$.
D'après le tableau de variations et la question précédente, on obtient le tableau de signe de $ f $ :
1. $ F $ est dérivable sur $ [0{,}5\,;\,6] $ comme somme et produit de fonctions dérivables.
  $ F'(x) = -2x + 2 + \left( 3 \times \ln(x) + 3x \times \dfrac{1}{x} \right) $
  $ F'(x) = -2x + 2 + 3\ln(x) + 3 $
  $ F'(x) = -2x + 5 + 3\ln(x) = f(x) $
  Donc $ F $ est une primitive de $ f $ sur $ [0{,}5\,;\,6] $.
2. Sur $ [1\,;\,2] $, $ f(x) > 0 $ (car $ 1 < \alpha $ et $ 2 < \alpha $), donc l'aire $ S $ est donnée par :
  $ S = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) $.
  $ F(2) = -2^{2} + 2 \times 2 + 3 \times 2 \times \ln(2) = -4 + 4 + 6\ln(2) = 6\ln(2) $.
  $ F(1) = -1^{2} + 2 \times 1 + 3 \times 1 \times \ln(1) = -1 + 2 + 0 = 1 $.
  L'aire exacte est $\mathbf{S = 6\ln(2) - 1}$ unités d'aire.
  $ S \approx 6 \times 0{,}693 - 1 \approx 4{,}158 - 1 \approx 3{,}158 $.
  La valeur arrondie au dixième est $\mathbf{S \approx 3{,}2}$.

Recherche du bénéfice maximal – Bac ES Pondichéry 2011

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un médicament qu'il commercialise sous forme liquide. Sa capacité journalière de production est comprise entre 25 et 500 litres, et on suppose que toute la production est commercialisée.

Dans tout l'exercice, les coûts et recettes sont exprimés en milliers d'euros, les quantités en centaines de litres.

Si $ x $ désigne la quantité journalière produite, on appelle $ C_{T}\left(x\right) $, pour $ x $ variant de 0,25 à 5, le coût total de production correspondant.

La courbe $ \Gamma _{1} $ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $ C_{T} $ sur l'intervalle [0,25 ; 5].

La tangente à $ \Gamma _{1} $ au point $ A\left(1 ; 1\right) $ est horizontale.

Recherche du bénéfice maximal - Bac ES Pondichéry 2011

Partie A

1. On admet que la recette $ R\left(x\right) $ (en milliers d'euros) résultant de la vente de $ x $ centaines de litres de médicament, est définie sur [0,25 ; 5] par $ R\left(x\right)=1,5 x $.
  
  Quelle est la recette (en euros) pour 200 litres de médicament vendus ?
2. Tracer, sur le graphique fourni ci-dessus, le segment représentant graphiquement la fonction $ R $.
Lectures graphiques

Les questions a., b., c. suivantes seront résolues à l'aide de lectures graphiques seulement. On fera apparaître les traits de construction sur le graphique.

Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte.
1. Déterminer des valeurs approximatives des bornes de la « plage de rentabilité », c'est-à-dire de l'intervalle correspondant aux quantités commercialisées dégageant un bénéfice positif.
2. Donner une valeur approximative du bénéfice en euros réalisé par le laboratoire lorsque 200 litres de médicament sont commercialisés.
3. Pour quelle quantité de médicament commercialisée le bénéfice paraît-il maximal ?
  
  A combien peut-on évaluer le bénéfice maximal obtenu ?

Partie B

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction coût total $ C_{T} $ est définie sur l'intervalle [0,25 ; 5] par

$ C_{T}\left(x\right)=x^{2} - 2x \ln \left(x\right) $.

Justifier que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé par le laboratoire pour x centaines de litres commercialisés, est donné par :

$ B\left(x\right)=1,5x - x^{2}+2x \ln \left(x\right) $.

Calculer $ B\left(2\right) $, et comparer au résultat obtenu à la question 2.b. de la Partie A.
On suppose que la fonction B est dérivable sur l'intervalle [0,25 ; 5] et on note B' sa fonction dérivée. Montrer que $ B^{\prime}\left(x\right)=2\ln \left(x\right) - 2x+3,5 $.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $ B^{\prime} $, dérivée de la fonction $ B $, sur l'intervalle [0,25 ; 5] :

On précise les encadrements : $ 0,22 < y_{1} < 0,23 $ et $ - 3,29 < y_{2} < - 3,28 $.
1. Démontrer que l'équation $ B^{\prime}\left(x\right)=0 $ admet une solution unique $ \alpha $ dans l'intervalle [0,25 ; 5].
  
  Pour la suite de l'exercice, on prendra 2,77 pour valeur approchée de $ \alpha $.
2. Dresser le tableau précisant le signe de $ B^{\prime}\left(x\right) $ pour $ x $ appartenant à l'intervalle [0,25 ; 5].
  
  En déduire le tableau de variations de la fonction $ B $ sur l'intervalle [0,25 ; 5].
1. Pour quelle quantité de médicament commercialisée, le bénéfice est-il maximal ? (On donnera une valeur approchée de cette quantité en litres).
  
  Donner alors une valeur approchée en euros de ce bénéfice maximal.
2. Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus graphiquement à la question 2.c. de la partie A ?

Corrigé

Partie A
1. On calcule la recette pour 200 litres de médicament vendus (soit $ x=2 $ car les quantités sont exprimées en centaines de litres) :
  
  $ R(2) = 1{,}5 \times 2 = 3 $
  
  D'après l'énoncé, les recettes sont en milliers d'euros, donc la recette pour 200 litres est de 3 000 euros.
2. La fonction $ R $ est définie par $ R(x) = 1{,}5x $. Sa représentation graphique est un segment de droite passant par l'origine $ (0\,;\,0) $ et par le point $ (2\,;\,3) $. Ce segment doit être tracé sur l'intervalle $ [0{,}25\,;\,5] $.
Lectures graphiques
1. La « plage de rentabilité » correspond aux valeurs de $ x $ pour lesquelles la recette est supérieure au coût total ($ R(x) > C_T(x) $). Graphiquement, cela correspond à l'intervalle où le segment de droite représentant $ R $ est situé au-dessus de la courbe $ \Gamma_1 $.
  Par lecture graphique, la plage de rentabilité est environ l'intervalle $ [0{,}6\,;\,4{,}5] $, soit une production comprise entre 60 et 450 litres.
2. Pour 200 litres ($ x = 2 $), le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total. Graphiquement, il s'agit de l'écart vertical entre le point de la droite $ R $ ($ y = 3 $) et le point de la courbe $ \Gamma_{1} $ ($ y \approx 1{,}2 $).
  $ 3 - 1{,}2 = 1{,}8 $. Le bénéfice est donc d'environ 1 800 euros.
3. Le bénéfice maximal est atteint pour la valeur de $ x $ où l'écart vertical entre la droite et la courbe est le plus grand.
  On lit graphiquement que cela se produit pour $ x \approx 2{,}75 $, soit environ 275 litres.
  Le bénéfice maximal est alors d'environ $ 2{,}15 $ milliers d'euros, soit 2 150 euros.
Partie B
1. Le bénéfice est défini par $ B(x) = R(x) - C_T(x) $.
  
  $ B(x) = 1{,}5x - (x^{2} - 2x \ln(x)) = 1{,}5x - x^{2} + 2x \ln(x) $
  
  Calcul de $ B(2) $ :
  $ B(2) = 1{,}5 \times 2 - 2^{2} + 2 \times 2 \times \ln(2) = 3 - 4 + 4 \ln(2) = -1 + 4 \ln(2) $.
  Avec $ \ln(2) \approx 0{,}693 $, on a $ B(2) \approx -1 + 2{,}772 = 1{,}772 $.
  Le bénéfice pour 200 litres est donc d'environ 1 772 euros, ce qui est cohérent avec l'estimation graphique de 1 800 €.
2. La fonction $ B $ est dérivable sur $ [0{,}25\,;\,5] $ comme somme de fonctions dérivables.
  $ B'(x) = 1{,}5 - 2x + 2 \left( 1 \times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} \right) $
  $ B'(x) = 1{,}5 - 2x + 2\ln(x) + 2 $
  
  $ B'(x) = 2\ln(x) - 2x + 3{,}5 $
3. La fonction $ B' $ est continue sur $ [1\,;\,5] $. Elle est strictement décroissante sur cet intervalle d'après le tableau de variations de $ B' $ fourni dans l'énoncé.
  $ B'(1) = 2 \ln(1) - 2 \times 1 + 3{,}5 = 1{,}5 > 0 $.
  $ B'(5) = 2 \ln(5) - 10 + 3{,}5 \approx 3{,}219 - 10 + 3{,}5 = -3{,}281 < 0 $.
  D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $ B'(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur $ [1\,;\,5] $.
  Sur $ [0{,}25\,;\,1] $, la fonction $ B' $ est croissante et son minimum est $ B'(0{,}25) \approx 0{,}22 > 0 $, donc elle ne s'annule pas sur cet intervalle.
  L'équation $ B'(x) = 0 $ admet donc une solution unique $ \alpha $ sur $ [0{,}25\,;\,5] $.
4. On en déduit le signe de $ B'(x) $ et les variations de $ B $ :
5. Le bénéfice est maximal lorsque sa dérivée s'annule en changeant de signe, c'est-à-dire pour $ x = \alpha \approx 2{,}77 $.
  La quantité à produire est donc de $ 2{,}77 \times 100 = $ 277 litres.
  Le bénéfice maximal est :
  $ B(2{,}77) \approx 1{,}5 \times 2{,}77 - (2{,}77)^{2} + 2 \times 2{,}77 \times \ln(2{,}77) \approx 2{,}13 $.
  Soit environ 2 130 euros.
6. Ces résultats (277 litres et 2 130 €) confirment les estimations graphiques de la partie A (275 litres et 2 150 €).

[Bac] Lecture graphique – Fonction logarithme

(D'après Bac ES Métropole 2009)

Soit $ f $ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $ [-2\,;\,5] $, décroissante sur chacun des intervalles $ [-2\,;\,0] $ et $ [2\,;\,5] $, et croissante sur l'intervalle $ [0\,;\,2] $.

On note $ f^{\prime} $ sa fonction dérivée sur l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.

La courbe $ (\Gamma) $ représentative de la fonction $ f $ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points $ A(-2\,;\,9) $, $ B(0\,;\,4) $, $ C(1\,;\,4{,}5) $, $ D(2\,;\,5) $ et $ E(4\,;\,0) $.

En chacun des points $ B $ et $ D $, la tangente à la courbe $ (\Gamma) $ est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $ F $ le point de coordonnées $ (3\,;\,6) $.

La droite $ (CF) $ est la tangente à la courbe $ (\Gamma) $ au point $ C $.

Courbe représentative de f passant par A(-2,9), B(0,4), C(1,4.5), D(2,5), E(4,0) avec tangente en C

À l'aide des informations précédentes et du graphique ci-dessus, préciser sans justifier :
1. les valeurs de $ f(0) $, $ f^{\prime}(1) $ et $ f^{\prime}(2) $.
2. le signe de $ f^{\prime}(x) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.
3. le signe de $ f(x) $ suivant les valeurs du nombre réel $ x $ de l'intervalle $ [-2\,;\,5] $.
On considère la fonction $ g $ définie par $ g(x)=\ln(f(x)) $ où $ \ln $ désigne la fonction logarithme népérien.
1. Expliquer pourquoi la fonction $ g $ est définie sur l'intervalle $ [-2\,;\,4[ $.
2. Calculer $ g(-2) $, $ g(0) $ et $ g(2) $.
3. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction $ g $ sur l'intervalle $ [-2\,;\,4[ $.

Corrigé

1. Par lecture graphique :
  $ f(0) = 4 $.
  $ f^{\prime}(1) $ est le coefficient directeur de la tangente $ (CF) $ : $ f^{\prime}(1) = \dfrac{6 - 4{,}5}{3 - 1} = \dfrac{1{,}5}{2} = \dfrac{3}{4} $.
  La tangente en $ D $ est horizontale donc $ f^{\prime}(2) = 0 $.
2. $ f $ est croissante sur $ [0\,;\,2] $ donc $ f^{\prime}(x) \geqslant 0 $ sur cet intervalle.
  $ f $ est décroissante sur $ [-2\,;\,0] $ et sur $ [2\,;\,5] $ donc $ f^{\prime}(x) \leqslant 0 $ sur ces intervalles.
  $ f^{\prime}(0) = 0 $ et $ f^{\prime}(2) = 0 $ (tangentes horizontales).
3. D'après le graphique, $ f $ est positive sur $ [-2\,;\,4[ $, s'annule en $ x = 4 $ et est négative sur $ ]4\,;\,5] $.
1. $ g(x) = \ln(f(x)) $ est définie si et seulement si $ f(x) > 0 $, donc si et seulement si $ x \in [-2\,;\,4[ $.
2. $ g(-2) = \ln(f(-2)) = \ln(9) = 2\ln(3) $.
  $ g(0) = \ln(f(0)) = \ln(4) = 2\ln(2) $.
  $ g(2) = \ln(f(2)) = \ln(5) $.
3. Sur $ [-2\,;\,4[ $, $ g $ est dérivable et $ g^{\prime}(x) = \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)} $.
  La fonction $ f $ étant strictement positive sur $ [-2\,;\,4[ $, $ g^{\prime}(x) $ est du signe de $ f^{\prime}(x) $.
  $ g $ est donc strictement croissante sur $ [0\,;\,2] $ et strictement décroissante sur $ [-2\,;\,0] $ et sur $ [2\,;\,4[ $.