Coût moyen d’une production

Une entreprise fabrique entre $1$ et $50$ unités d'un produit par jour. Le coût total de fabrication, en milliers d'euros, est modélisé par :

$C(x) = x^2 + 100$ pour $x \in [1\,;50]$,

où $x$ désigne le nombre d'unités produites par jour.

Le coût moyen par unité produite est alors la fonction $f$ définie sur $[1\,;50]$ par :

$f(x) = \dfrac{C(x)}{x} = x + \dfrac{100}{x}$.

Calculer $f(1)$ et $f(50)$.
On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;50]$ et que sa dérivée est donnée par $f'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2}$.
1. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[1\,;50]$.
2. En déduire les variations de $f$ sur $[1\,;50]$ et dresser son tableau de variations.
L'entreprise cherche à minimiser le coût moyen par unité. Quelle quantité doit-elle produire ? Quel est alors le coût moyen minimal ?
On souhaite étudier l'équation $f(x) = 30$ sur $[1\,;50]$.
1. Justifier que cette équation admet exactement deux solutions sur $[1\,;50]$, l'une dans $[1\,;10]$ et l'autre dans $[10\,;50]$.
2. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement à $10^{-1}$ près de chacune de ces deux solutions.
Interpréter les résultats de la question 4 dans le contexte de l'entreprise.

Corrigé

On calcule directement :
$f(1) = 1 + \dfrac{100}{1} = \mathbf{101}$.

$f(50) = 50 + \dfrac{100}{50} = 50 + 2 = \mathbf{52}.$
1. Pour tout $x \in [1\,;50]$ :
  $f'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{x^2 - 100}{x^2}$.
  
  Sur $[1\,;50]$, $x^2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x^2 - 100$.
  
  $x^2 - 100 = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (en ne retenant que la solution positive).
  
  Donc :
  - sur $[1\,;10]$, $x^2 \leqslant 100$, soit $f'(x) \leqslant 0$
  - sur $[10\,;50]$, $x^2 \geqslant 100$, soit $f'(x) \geqslant 0$
2. La fonction $f$ est donc décroissante sur $[1\,;10]$ et croissante sur $[10\,;50]$. Elle admet un minimum en $x = 10$ avec $f(10) = 10 + \dfrac{100}{10} = 20$.
Le coût moyen est minimal pour $x = 10$ unités produites. Le coût moyen minimal vaut alors $f(10) = \mathbf{20}$ milliers d'euros par unité, soit $20\,000$ € par unité.
1. La fonction $f$ est continue sur $[1\,;50]$ (somme et quotient de fonctions continues, le dénominateur ne s'annulant pas).
  
  Sur $[1\,;10]$ : $f$ est continue, strictement décroissante de $f(1) = 101$ à $f(10) = 20$. Or $30$ est compris entre $20$ et $101$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 30$ admet une unique solution $\alpha_1$ sur $[1\,;10]$.
  
  Sur $[10\,;50]$ : $f$ est continue, strictement croissante de $f(10) = 20$ à $f(50) = 52$. Or $30$ est compris entre $20$ et $52$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 30$ admet une unique solution $\alpha_2$ sur $[10\,;50]$.
  
  L'équation $f(x) = 30$ admet donc exactement deux solutions sur $[1\,;50]$ : $\alpha_1 \in [1\,;10]$ et $\alpha_2 \in [10\,;50]$.
2. À la calculatrice, on calcule des valeurs de $f$ pour encadrer les solutions.
  
  Pour $\alpha_1$ (sur $[1\,;10]$, où $f$ décroît) :
  $f(3{,}8) \approx 30{,}12$ et $f(3{,}9) \approx 29{,}54$, donc $f(3{,}8) > 30 > f(3{,}9)$.
  
  D'où $\mathbf{3{,}8 < \alpha_1 < 3{,}9}$.
  
  Pour $\alpha_2$ (sur $[10\,;50]$, où $f$ croît) :
  $f(26{,}1) \approx 29{,}93$ et $f(26{,}2) \approx 30{,}02$, donc $f(26{,}1) < 30 < f(26{,}2)$.
  
  D'où $\mathbf{26{,}1 < \alpha_2 < 26{,}2}$.
Le coût moyen vaut $30$ milliers d'euros par unité (soit $30\,000$ €) pour deux niveaux de production : environ $3{,}8$ unités et environ $26{,}2$ unités. Entre ces deux quantités, le coût moyen est inférieur à $30\,000$ € par unité ; en dehors, il est supérieur. L'entreprise a donc intérêt à produire entre environ $4$ et $26$ unités par jour pour maintenir un coût moyen inférieur à $30\,000$ € par unité.

Vrai/Faux : Théorème des valeurs intermédiaires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur $[a\,;\,b]$.

Affirmation : Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $[a\,;\,b]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La condition $f(a) \times f(b) < 0$ signifie que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, donc $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Par le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, $0$ se trouve nécessairement entre les deux. Par continuité de $f$, le TVI assure que $f$ prend la valeur $0$ au moins une fois entre $a$ et $b$. C'est l'application la plus utilisée du théorème.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'application directe du TVI : continuité et changement de signe entraînent l'existence d'au moins une racine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le TVI permet de déterminer le nombre exact de solutions d'une équation.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le TVI seul garantit l'existence d'au moins une solution, pas leur nombre. Pour obtenir l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie (corollaire du TVI).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Distinguer existence et unicité : le TVI affirme qu'une solution existe, sans préciser combien. Une fonction continue qui change de signe peut traverser l'axe plusieurs fois. C'est le corollaire du TVI (avec stricte monotonie) qui donne l'unicité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le TVI donne l'existence d'au moins une solution ; le nombre exact nécessite le corollaire (monotonie).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'hypothèse de stricte monotonie est nécessaire pour appliquer le TVI.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le TVI dans sa version simple ne demande que la continuité. C'est dans son corollaire, qui donne l'unicité de la solution, qu'on ajoute la stricte monotonie. Le TVI fonctionne aussi pour des fonctions non monotones.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente entre le TVI et son corollaire. Le TVI seul exige uniquement la continuité de $f$ sur $[a\,;\,b]$ et que $y_0$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : il garantit l'existence d'au moins un antécédent. C'est seulement pour l'unicité (corollaire) qu'on impose la stricte monotonie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La stricte monotonie est nécessaire au corollaire du TVI (unicité), pas au TVI lui-même.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$ avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$.

Affirmation : L'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[0\,;\,4]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique le corollaire du TVI : $f$ est continue, strictement croissante sur $[0\,;\,4]$, et $1$ est compris entre $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$. Les trois conditions sont remplies, donc l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifions chaque hypothèse du corollaire du TVI : $f$ continue sur $[0\,;\,4]$ — ok ; $f$ strictement monotone — ok (croissante) ; $1$ compris entre $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$ — ok. Les trois conditions étant satisfaites, la solution existe et est unique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Continuité, stricte croissance et $1 \in [-2\,;\,5]$ donnent l'existence et l'unicité par le corollaire du TVI.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ et $y_0$ un réel.

Affirmation : Si $y_0$ n'est pas compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = y_0$ n'a pas de solution sur $[a\,;\,b]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le TVI fournit une condition suffisante d'existence, pas une équivalence. Une fonction continue peut atteindre des valeurs hors de $[f(a)\,;\,f(b)]$ entre $a$ et $b$ : par exemple, $f(x) = x(1-x)$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $0$ en $a$ et en $b$, mais atteint $\tfrac{1}{4}$ en $\tfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le TVI dit : si $y_0$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors une solution existe. Il ne dit rien dans le cas contraire ! Une fonction continue peut très bien dépasser $f(a)$ ou $f(b)$ entre $a$ et $b$ — pensez à un maximum interne. Donc l'absence de la condition n'entraîne pas l'absence de solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le TVI n'est pas une équivalence : $f$ peut prendre des valeurs hors de l'intervalle $[f(a)\,;\,f(b)]$ entre $a$ et $b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour appliquer le corollaire du TVI sur $[a\,;\,b]$, il faut vérifier trois conditions : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est le triplet d'hypothèses à vérifier avant toute rédaction : continuité de $f$ sur $[a\,;\,b]$, stricte monotonie de $f$ sur $[a\,;\,b]$, et $y_0 \in [f(a)\,;\,f(b)]$ (ou l'inverse selon le sens de variation). Si l'une manque, on ne peut pas conclure à l'existence et à l'unicité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour appliquer le corollaire du TVI (existence ET unicité), il faut systématiquement énoncer les trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ compris entre les valeurs aux bornes. C'est la rédaction-type attendue dans un raisonnement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les trois hypothèses du corollaire du TVI sont : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ entre $f(a)$ et $f(b)$.
[/solution]
[/etape]

QCM : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

[enonce]
Ce QCM porte sur la continuité, la dérivabilité et le théorème des valeurs intermédiaires. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Parmi les implications suivantes concernant une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option]Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$[/option]
[option correct="true"]Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$[/option]
[option]Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$[/option]
[option]Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité : toute fonction dérivable sur un intervalle y est automatiquement continue. La réciproque est fausse (la fonction $x \mapsto |x|$ est continue mais pas dérivable en $0$).[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est dérivable sur $I$"]Non.
L'implication est inversée. Réfléchir à un contre-exemple simple : une fonction qui « fait un angle » peut être continue sans être dérivable.[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est continue sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$"]Non.
Une fonction continue peut très bien avoir des variations : penser à une parabole, qui est continue mais d'abord décroissante puis croissante.[/reponse]
[reponse motif="Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est strictement monotone sur $I$"]Non.
La dérivabilité ne donne aucune information sur le sens de variation. Une fonction dérivable peut alterner croissance et décroissance.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Examiner le lien entre dérivabilité et continuité : laquelle des deux propriétés implique l'autre ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Que peut-on dire de la fonction $f : x \mapsto |x|$ sur $\mathbb{R}$ ?
[qcm]
[option]Elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$[/option]
[option correct="true"]Elle est continue sur $\mathbb{R}$ mais pas dérivable en $0$[/option]
[option]Elle n'est ni continue ni dérivable en $0$[/option]
[option]Elle est dérivable mais pas continue en $0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La fonction valeur absolue est continue partout (pas de saut), mais sa courbe forme un angle en $0$ : la pente n'est pas la même à gauche ($-1$) et à droite ($+1$). Elle n'est donc pas dérivable en $0$.[/reponse]
[reponse motif="Elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$"]Non.
La courbe de la valeur absolue présente une « pointe » en $0$. Réfléchir à ce que cela implique pour la dérivabilité en ce point.[/reponse]
[reponse motif="Elle n'est ni continue ni dérivable en $0$"]Non.
La courbe de la valeur absolue est tracée d'un seul trait, sans saut : il n'y a pas de discontinuité. Le problème porte sur une autre propriété.[/reponse]
[reponse motif="Elle est dérivable mais pas continue en $0$"]Non.
La dérivabilité implique la continuité : il est impossible d'avoir l'une sans l'autre. Vérifier laquelle des deux propriétés est en défaut en $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Tracer mentalement la courbe de la valeur absolue : repérer la « pointe » en $0$ et déterminer quelle propriété y est mise en défaut.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[1\,;\,5]$ vérifiant $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$. Parmi les équations suivantes, laquelle est sûre d'admettre au moins une solution sur $[1\,;\,5]$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = 4$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = 0$[/option]
[option]$f(x) = -3$[/option]
[option]$f(x) = 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La valeur $0$ est comprise entre $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme $f$ est continue sur $[1\,;\,5]$, il existe au moins un réel $c$ dans $[1\,;\,5]$ tel que $f(c) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 4$"]Non.
$4$ n'est pas compris entre les valeurs prises aux bornes. Vérifier si $4$ se situe bien entre $f(1)$ et $f(5)$ avant d'appliquer le TVI.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = -3$"]Non.
$-3$ se situe en dehors de l'intervalle des valeurs $[f(1)\,;\,f(5)]$. Le TVI ne garantit l'existence d'une solution que pour des valeurs comprises entre les images des bornes.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = 10$"]Non.
$10$ est largement supérieur à $f(5) = 3$. Le TVI ne s'applique qu'aux valeurs intermédiaires entre $f(a)$ et $f(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour appliquer le TVI, vérifier que la valeur cible $y_0$ est bien comprise entre $f(1) = -2$ et $f(5) = 3$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une fonction $f$ continue sur $[a\,;\,b]$ vérifie $f(a) < y_0 < f(b)$. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que l'équation $f(x) = y_0$ admet…
[qcm]
[option]exactement une solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option correct="true"]au moins une solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]exactement deux solutions sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]aucune solution sur $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le TVI garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité : il peut y en avoir une, deux, trois… ou plus. Pour obtenir l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie (corollaire du TVI).[/reponse]
[reponse motif="exactement une solution sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le TVI seul ne permet pas de conclure à l'unicité. Identifier l'hypothèse supplémentaire nécessaire pour avoir « exactement une » solution.[/reponse]
[reponse motif="exactement deux solutions sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le TVI ne précise jamais le nombre exact de solutions. Il garantit seulement leur existence.[/reponse]
[reponse motif="aucune solution sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Au contraire, sous les hypothèses du TVI (continuité et $y_0$ entre $f(a)$ et $f(b)$), l'existence d'une solution est garantie.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Distinguer ce que le TVI seul garantit (existence) et ce qui nécessite une hypothèse supplémentaire (unicité).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour appliquer le corollaire du TVI sur $[a\,;\,b]$ avec $f(a) < y_0 < f(b)$ et garantir l'unicité de la solution, quelle hypothèse manque-t-il à la continuité ?
[qcm]
[option]$f$ est paire sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]$f$ est positive sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option correct="true"]$f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$[/option]
[option]$f$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le corollaire du TVI exige deux hypothèses sur $[a\,;\,b]$ : la continuité et la stricte monotonie. La stricte monotonie garantit que la fonction ne « repasse » pas par la même valeur, donc qu'il y a au plus une solution. Combinée à l'existence donnée par le TVI, on obtient l'unicité.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est paire sur $[a\,;\,b]$"]Non.
La parité décrit une symétrie autour de l'axe des ordonnées, sans rapport avec l'unicité de la solution d'une équation.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est positive sur $[a\,;\,b]$"]Non.
Le signe de $f$ n'intervient pas dans le corollaire. Penser à une propriété qui empêche la fonction de prendre deux fois la même valeur.[/reponse]
[reponse motif="$f$ est dérivable sur $[a\,;\,b]$"]Non.
La dérivabilité est une condition plus forte que nécessaire. Le corollaire utilise une propriété qui découle souvent de l'étude du signe de la dérivée, mais l'hypothèse en elle-même porte sur les variations.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour qu'une fonction continue prenne une seule fois la valeur $y_0$, elle ne doit jamais « repasser » par cette valeur. Quelle propriété sur les variations garantit cela ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;\,2]$ telle que $f(0) = 1$ et $f(2) = 1$. Que peut-on dire des solutions de l'équation $f(x) = 1$ sur $[0\,;\,2]$ ?
[qcm]
[option]L'équation a exactement deux solutions[/option]
[option]L'équation n'a aucune solution[/option]
[option correct="true"]L'équation admet au moins une solution mais le TVI ne précise pas leur nombre exact[/option]
[option]L'équation a une infinité de solutions[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les bornes $0$ et $2$ sont déjà solutions puisque $f(0) = f(2) = 1$ : il y en a donc au moins deux. Mais sans plus d'information sur la fonction (variations, monotonie, autre valeur), on ne peut pas dire combien de solutions supplémentaires existent à l'intérieur de l'intervalle.[/reponse]
[reponse motif="L'équation a exactement deux solutions"]Non.
On sait déjà que $0$ et $2$ sont solutions, mais la fonction peut très bien repasser plusieurs fois par la valeur $1$ entre ces deux points. Sans information sur les variations, on ne peut pas conclure à exactement deux.[/reponse]
[reponse motif="L'équation n'a aucune solution"]Non.
Les deux bornes $0$ et $2$ vérifient déjà $f(x) = 1$ par hypothèse : il y a donc des solutions évidentes.[/reponse]
[reponse motif="L'équation a une infinité de solutions"]Non.
Rien dans l'énoncé n'impose une infinité de solutions. La fonction peut tout à fait n'avoir qu'un nombre fini de solutions, mais sans information supplémentaire on ne peut pas le préciser.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Commencer par identifier les solutions évidentes données par les valeurs aux bornes, puis réfléchir à ce que le TVI permet (ou pas) d'affirmer sur l'intérieur de l'intervalle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Théorème des valeurs intermédiaires

Montrer que l'équation

$\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$

admet une unique solution sur l'intervalle $[1;2]$.
À l'aide d'une calculatrice, donner une valeur approchée de cette solution à $10^{-3}$ près.

Corrigé

L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$ équivaut à $\dfrac{2x+3}{x+1} - x^2 = 0$.

Posons $f(x) = \dfrac{2x+3}{x+1} - x^2$ sur l'intervalle $I = [1;2]$.

Puisque $x+1 \neq 0$ pour tout $x$ de $I$, $f$ est définie et dérivable, donc continue, sur $I$.

On calcule la dérivée :

$f'(x) = \dfrac{2(x+1) - (2x+3)}{(x+1)^2} - 2x = \dfrac{-1}{(x+1)^2} - 2x$

$f'(x)$ est strictement négative sur $[1;2]$ comme somme de deux quantités strictement négatives.

Par ailleurs, $f(1) = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}$ et $f(2) = \dfrac{7}{3} - 4 = -\dfrac{5}{3}$.

On en déduit le tableau de variations de $f$ sur $I$ :

La fonction $f$ est continue, strictement décroissante sur $[1;2]$, et $0$ est compris entre $f(1) = \dfrac{3}{2}$ et $f(2) = -\dfrac{5}{3}$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1} = x^2$ admet une unique solution sur $I = [1;2]$.
À l'aide d'une calculatrice (par balayage ou avec la table de valeurs), une valeur approchée à $10^{-3}$ près de cette solution est $\mathbf{1{,}547}$.

Fonctions d’offre et de demande – TVI

On rappelle que les fonctions d'offre et de demande indiquent respectivement la quantité d'un produit que les acteurs du marché sont prêts à vendre ou à acheter pour un prix donné.

Un disquaire vend sur internet des CD musicaux dont le prix unitaire varie entre $10$ et $30$ euros.

Une étude de marché a permis de modéliser les fonctions d'offre $f$ et de demande $g$ d'un de ces CD à l'aide des formules :

$f(x) = 22{,}32x + 268$ et $g(x) = -0{,}048x^3 + 4x^2 - 120x + 1760$

où $x$ désigne le prix d'un CD en euros.

Donner le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[10;30]$. Quelle interprétation économique de ce résultat peut-on faire ?
Indiquer pourquoi la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[10;30]$ et calculer sa dérivée.

En déduire le sens de variation de $g$ sur cet intervalle. Interpréter économiquement ce résultat.
On appelle « prix d'équilibre » le prix $x_0$ pour lequel l'offre et la demande sont égales.
1. On pose $h(x) = f(x) - g(x)$. Montrer que le prix d'équilibre $x_0$ est solution de l'équation $h(x) = 0$ sur l'intervalle $[10;30]$.
2. Étudier les variations de la fonction $h$.
  
  En déduire que, pour le problème posé, il existe un et un seul point d'équilibre.
3. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $x_0$.
  
  Quelles sont alors les valeurs de l'offre et de la demande ?

Corrigé

La fonction $f$ est une fonction affine définie par $f(x) = 22{,}32x + 268$.

Son coefficient directeur $a = 22{,}32$ est strictement positif.

Par conséquent, la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[10;30]$.

D'un point de vue économique, cela signifie que plus le prix de vente d'un CD est élevé, plus le disquaire est prêt à en offrir (vendre) sur le marché.
La fonction $g$ est une fonction polynôme du troisième degré.

En tant que telle, elle est dérivable sur tout intervalle réel, et donc sur $[10;30]$.

Sa dérivée est donnée par :

$g'(x) = -0{,}048 \times 3x^2 + 4 \times 2x - 120 = -0{,}144x^2 + 8x - 120$

Étudions le signe de $g'(x)$ en calculant le discriminant du trinôme $-0{,}144x^2 + 8x - 120$ :
$\Delta = 8^2 - 4 \times (-0{,}144) \times (-120) = 64 - 69{,}12 = -5{,}12$.

Le discriminant est strictement négatif. Le trinôme ne possède donc pas de racine réelle et il est du signe de son coefficient dominant $a = -0{,}144$ pour tout $x$.

Ainsi, $g'(x) < 0$ pour tout $x \in [10;30]$. On en déduit que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[10;30]$.

Économiquement, ce résultat traduit le fait que plus le prix d'un CD augmente, plus la demande des consommateurs diminue.
1. Le prix d'équilibre $x_0$ est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande, c'est-à-dire $f(x_0) = g(x_0)$.
  
  Cette égalité est équivalente à $f(x_0) - g(x_0) = 0$.
  
  En posant $h(x) = f(x) - g(x)$, le prix d'équilibre $x_0$ est donc bien solution de l'équation $h(x) = 0$.
2. La fonction $h$ est définie par :
  $h(x) = 22{,}32x + 268 - (-0{,}048x^3 + 4x^2 - 120x + 1760)$
  $h(x) = 0{,}048x^3 - 4x^2 + 142{,}32x - 1492$.
  
  Sa dérivée est $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 22{,}32 - (-0{,}144x^2 + 8x - 120) = 0{,}144x^2 - 8x + 142{,}32$.
  
  Le discriminant de ce trinôme est :
  $\Delta_h = (-8)^2 - 4 \times 0{,}144 \times 142{,}32 = 64 - 81{,}97632 = -17{,}97632$.
  
  Puisque $\Delta_h < 0$, $h'(x)$ est toujours du signe de $a = 0{,}144$, donc $h'(x) > 0$.
  
  La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $[10;30]$.
  
  De plus :
  - $h(10) = 0{,}048 \times 10^3 - 4 \times 10^2 + 142{,}32 \times 10 - 1492 = 48 - 400 + 1423{,}2 - 1492 = -420{,}8$
  - $h(30) = 0{,}048 \times 30^3 - 4 \times 30^2 + 142{,}32 \times 30 - 1492 = 1296 - 3600 + 4269{,}6 - 1492 = 473{,}6$
  La fonction $h$ est continue et strictement croissante sur $[10;30]$, et elle change de signe sur cet intervalle (car $h(10) < 0$ et $h(30) > 0$).
  
  D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_0$ dans l'intervalle $[10;30]$.
  
  Il existe donc un et un seul prix d'équilibre pour ce marché.
3. Par balayage à la calculatrice, on trouve $h(16{,}84) \approx -0{,}45$ et $h(16{,}85) \approx 0{,}04$.
  
  Le prix d'équilibre, arrondi au centime d'euro, est donc $x_0 \approx 16{,}85$ euros.
  
  Les valeurs de l'offre et de la demande sont alors :
  $f(16{,}85) = 22{,}32 \times 16{,}85 + 268 \approx 644{,}09$.
  
  L'offre et la demande sont d'environ $644$ unités.

[Bac] Étude de fonctions et équations

Extrait d'un exercice du Bac ES/L Liban 2013.

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[5;60]$ par :

$C(x) = \dfrac{e^{0{,}1x} + 20}{x}$

On désigne par $C'$ la dérivée de la fonction $C$.

Montrer que, pour tout $x \in [5;60]$ :

$C'(x) = \dfrac{0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20}{x^2}$
On considère la fonction $f$ définie sur $[5;60]$ par

$f(x) = 0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20$
1. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[5;60]$.
2. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[5;60]$.
3. Donner un encadrement à l'unité de $\alpha$.
4. En déduire le tableau de signes de $f(x)$ sur $[5;60]$.
En déduire le tableau de variations de $C$ sur $[5;60]$.
En utilisant le tableau de variations précédent, déterminer le nombre de solutions des équations suivantes :
1. $C(x) = 2$
2. $C(x) = 5$

Corrigé

La fonction $C$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x) = e^{0{,}1x} + 20$ et $v(x) = x$.

On a alors $u'(x) = 0{,}1 \, e^{0{,}1x}$ et $v'(x) = 1$.

La dérivée $C'$ est donnée par :
$C'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{0{,}1 \, e^{0{,}1x} \times x - (e^{0{,}1x} + 20) \times 1}{x^2}$

On obtient bien :

$C'(x) = \dfrac{0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20}{x^2}$

La fonction est définie pour $x \neq 0$, donc en particulier sur l'intervalle $[5;60]$.
On considère la fonction $f$ définie sur $[5;60]$ par $f(x) = 0{,}1xe^{0{,}1x} - e^{0{,}1x} - 20$.
1. La dérivée de $f$ est, en utilisant la formule de dérivation d'un produit pour $0{,}1xe^{0{,}1x}$ :
  $f'(x) = 0{,}1 \, e^{0{,}1x} + 0{,}1x \times 0{,}1 \, e^{0{,}1x} - 0{,}1 \, e^{0{,}1x} = 0{,}01 \, xe^{0{,}1x}$.
  
  Pour tout $x \in [5;60]$, $0{,}01x > 0$ et $e^{0{,}1x} > 0$, donc $f'(x) > 0$.
  
  La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[5;60]$.
2. Sur l'intervalle $[5;60]$ :
  - $f$ est continue (car dérivable).
  - $f$ est strictement croissante.
  - $f(5) = 0{,}5 \, e^{0{,}5} - e^{0{,}5} - 20 \approx -20{,}82 < 0$.
  - $f(60) = 6 \, e^{6} - e^{6} - 20 \approx 1997{,}1 > 0$.
  D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[5;60]$.
3. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, on trouve $f(25) \approx -1{,}73 < 0$ et $f(26) \approx 1{,}54 > 0$.
  
  On en déduit l'encadrement à l'unité : $\mathbf{25 < \alpha < 26}$.
4. Comme $f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$, on obtient le tableau de signes suivant :
On remarque que $C'(x) = \dfrac{f(x)}{x^2}$. Comme $x^2 > 0$, $C'(x)$ est du même signe que $f(x)$.

Le tableau de variations de $C$ est donc :

Note : $C(5) \approx 4{,}33$, $C(\alpha) \approx 1{,}29$, $C(60) \approx 7{,}06$ (valeurs calculées avec un tableur).
D'après le tableau de variations :
1. L'équation $C(x) = 2$ possède deux solutions : une sur l'intervalle $]5;\alpha[$ car $2 \in \,]1{,}29\,;4{,}33[$, et une sur l'intervalle $]\alpha;60[$ car $2 \in \,]1{,}29\,;7{,}06[$.
2. L'équation $C(x) = 5$ possède une unique solution sur l'intervalle $]\alpha;60[$ car $5 \in \,]1{,}29\,;7{,}06[$, mais aucune sur $]5;\alpha[$ car $5 > 4{,}33$.