Vrai/Faux : Théorème des valeurs intermédiaires

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ une fonction définie sur $[a\,;\,b]$.

Affirmation : Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $f(a) \times f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution sur $[a\,;\,b]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La condition $f(a) \times f(b) < 0$ signifie que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, donc $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Par le TVI, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Quand $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, $0$ se trouve nécessairement entre les deux. Par continuité de $f$, le TVI assure que $f$ prend la valeur $0$ au moins une fois entre $a$ et $b$. C'est l'application la plus utilisée du théorème.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est l'application directe du TVI : continuité et changement de signe entraînent l'existence d'au moins une racine.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le TVI permet de déterminer le nombre exact de solutions d'une équation.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Le TVI seul garantit l'existence d'au moins une solution, pas leur nombre. Pour obtenir l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse de stricte monotonie (corollaire du TVI).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Distinguer existence et unicité : le TVI affirme qu'une solution existe, sans préciser combien. Une fonction continue qui change de signe peut traverser l'axe plusieurs fois. C'est le corollaire du TVI (avec stricte monotonie) qui donne l'unicité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le TVI donne l'existence d'au moins une solution ; le nombre exact nécessite le corollaire (monotonie).
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'hypothèse de stricte monotonie est nécessaire pour appliquer le TVI.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le TVI dans sa version simple ne demande que la continuité. C'est dans son corollaire, qui donne l'unicité de la solution, qu'on ajoute la stricte monotonie. Le TVI fonctionne aussi pour des fonctions non monotones.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente entre le TVI et son corollaire. Le TVI seul exige uniquement la continuité de $f$ sur $[a\,;\,b]$ et que $y_0$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : il garantit l'existence d'au moins un antécédent. C'est seulement pour l'unicité (corollaire) qu'on impose la stricte monotonie.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. La stricte monotonie est nécessaire au corollaire du TVI (unicité), pas au TVI lui-même.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$ avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$.

Affirmation : L'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution sur $[0\,;\,4]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On applique le corollaire du TVI : $f$ est continue, strictement croissante sur $[0\,;\,4]$, et $1$ est compris entre $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$. Les trois conditions sont remplies, donc l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Vérifions chaque hypothèse du corollaire du TVI : $f$ continue sur $[0\,;\,4]$ — ok ; $f$ strictement monotone — ok (croissante) ; $1$ compris entre $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$ — ok. Les trois conditions étant satisfaites, la solution existe et est unique.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Continuité, stricte croissance et $1 \in [-2\,;\,5]$ donnent l'existence et l'unicité par le corollaire du TVI.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ et $y_0$ un réel.

Affirmation : Si $y_0$ n'est pas compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = y_0$ n'a pas de solution sur $[a\,;\,b]$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le TVI fournit une condition suffisante d'existence, pas une équivalence. Une fonction continue peut atteindre des valeurs hors de $[f(a)\,;\,f(b)]$ entre $a$ et $b$ : par exemple, $f(x) = x(1-x)$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $0$ en $a$ et en $b$, mais atteint $\tfrac{1}{4}$ en $\tfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le TVI dit : si $y_0$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors une solution existe. Il ne dit rien dans le cas contraire ! Une fonction continue peut très bien dépasser $f(a)$ ou $f(b)$ entre $a$ et $b$ — pensez à un maximum interne. Donc l'absence de la condition n'entraîne pas l'absence de solution.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le TVI n'est pas une équivalence : $f$ peut prendre des valeurs hors de l'intervalle $[f(a)\,;\,f(b)]$ entre $a$ et $b$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour appliquer le corollaire du TVI sur $[a\,;\,b]$, il faut vérifier trois conditions : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est le triplet d'hypothèses à vérifier avant toute rédaction : continuité de $f$ sur $[a\,;\,b]$, stricte monotonie de $f$ sur $[a\,;\,b]$, et $y_0 \in [f(a)\,;\,f(b)]$ (ou l'inverse selon le sens de variation). Si l'une manque, on ne peut pas conclure à l'existence et à l'unicité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour appliquer le corollaire du TVI (existence ET unicité), il faut systématiquement énoncer les trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ compris entre les valeurs aux bornes. C'est la rédaction-type attendue dans un raisonnement.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les trois hypothèses du corollaire du TVI sont : continuité, stricte monotonie, et $y_0$ entre $f(a)$ et $f(b)$.
[/solution]
[/etape]