Vrai/Faux : Loi exponentielle

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est exactement la définition. Le coefficient $\lambda$ et l'exposant négatif $- \lambda x$ assurent que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule à retenir : densité $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
Sans le facteur $\lambda$ ou avec un exposant positif, ce ne serait pas une densité.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Densité : $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $E(X) = \lambda$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, et non $\lambda$.
Ainsi pour $\lambda = 0{,}5$, l'espérance est $\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ ; pour $\lambda = 2$, l'espérance vaut $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Confusion fréquente : l'espérance est l'inverse du paramètre.
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : plus $\lambda$ est grand, plus la durée moyenne est courte.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, l'inverse du paramètre.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$ pour tout $a \geqslant 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$P(X > a) = \displaystyle\int_{a}^{+\infty} \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}\,dx = \lim_{t \to +\infty} \left[- \text{e}^{- \lambda x}\right]_{a}^{t} = 0 + \text{e}^{- \lambda a} = \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule importante : $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$.
Conséquence : $P(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$ pour la loi exponentielle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La loi exponentielle est dite « sans vieillissement » : pour tous réels $s > 0$ et $t > 0$, $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
C'est la propriété fondamentale de la loi exponentielle.
Démonstration : $P_{X > s}(X > s + t) = \dfrac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \dfrac{\text{e}^{- \lambda(s + t)}}{\text{e}^{- \lambda s}} = \text{e}^{- \lambda t} = P(X > t)$.
Interprétation : la durée déjà écoulée n'influence pas la durée restante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété centrale du chapitre : la loi exponentielle est sans mémoire (sans vieillissement).
Le passé ne compte pas pour évaluer la durée restante.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la propriété « sans vieillissement » de la loi exponentielle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2$, on a $P(X \leqslant 1) = \text{e}^{- 2}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
$P(X \leqslant 1) = 1 - \text{e}^{- \lambda \times 1} = 1 - \text{e}^{- 2}$, et non $\text{e}^{- 2}$.
$\text{e}^{- 2}$ est plutôt $P(X > 1)$ (l'événement contraire).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention au sens de l'inégalité : $P(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$ alors que $P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$.
Les deux sont contraires, leur somme vaut $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $P(X \leqslant 1) = 1 - \text{e}^{- 2}$ ; $\text{e}^{- 2}$ correspond à $P(X > 1)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La durée de vie (en années) d'un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}25$. Sa durée de vie moyenne est de $4$ années.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$ années. La durée de vie moyenne est bien $4$ ans.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Calcul : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$.
Vérification : $0{,}25 \times 4 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$ années.
[/solution]
[/etape]

QCM : Loi exponentielle

[enonce]
Ce QCM porte sur la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Quelle est la densité $f$ de $X$ sur $[0\,;\,+\infty[$ ?
[qcm]
[option]$f(x) = \text{e}^{- \lambda x}$[/option]
[option correct="true"]$f(x) = \lambda \,\text{e}^{- \lambda x}$[/option]
[option]$f(x) = \dfrac{1}{\lambda}\,\text{e}^{- \lambda x}$[/option]
[option]$f(x) = \lambda\,\text{e}^{\lambda x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Le coefficient $\lambda$ assure que $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = \text{e}^{- \lambda x}$"]Non.
Sans le coefficient $\lambda$, $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \text{e}^{- \lambda x}\,dx = \dfrac{1}{\lambda} \neq 1$ en général. Le facteur $\lambda$ est nécessaire pour normaliser.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = \dfrac{1}{\lambda}\,\text{e}^{- \lambda x}$"]Non.
Avec ce coefficient $\dfrac{1}{\lambda}$, l'intégrale vaudrait $\dfrac{1}{\lambda^{2}}$, généralement différent de $1$. Le coefficient correct est $\lambda$.[/reponse]
[reponse motif="$f(x) = \lambda\,\text{e}^{\lambda x}$"]Non.
L'exposant doit être négatif : $-\lambda x$. Sinon la fonction explose en $+\infty$ et son intégrale diverge.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$f(x) = \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que vaut $P(X \leqslant a)$ pour $a \geqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$\text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[option correct="true"]$1 - \text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[option]$\lambda\,\text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[option]$1 + \text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_{0}^{a} \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}\,dx = \left[- \text{e}^{- \lambda x}\right]_{0}^{a} = - \text{e}^{- \lambda a} + 1 = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{- \lambda a}$"]Non.
$\text{e}^{- \lambda a} = P(X > a)$, c'est l'événement contraire. La probabilité cherchée est $1 - \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[reponse motif="$\lambda\,\text{e}^{- \lambda a}$"]Non.
$\lambda\,\text{e}^{- \lambda a} = f(a)$ est la valeur de la densité au point $a$, pas une probabilité. Penser à intégrer.[/reponse]
[reponse motif="$1 + \text{e}^{- \lambda a}$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Le signe doit être moins, pas plus.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \leqslant a) = 1 - \text{e}^{- \lambda a}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. Quelle est l'espérance $E(X)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$\dfrac{1}{\lambda}$[/option]
[option]$\lambda$[/option]
[option]$\lambda^{2}$[/option]
[option]$\text{e}^{\lambda}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. Ainsi, plus $\lambda$ est grand, plus la « durée de vie moyenne » est courte.[/reponse]
[reponse motif="$\lambda$"]Non.
$\lambda$ est le paramètre de la loi (qui apparaît dans la densité). L'espérance est l'inverse de ce paramètre.[/reponse]
[reponse motif="$\lambda^{2}$"]Non.
$\lambda^{2}$ n'a pas d'interprétation directe ici. L'espérance est $\dfrac{1}{\lambda}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{\lambda}$"]Non.
L'exponentielle apparaît dans la densité, pas dans l'espérance. Formule à retenir : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La durée de vie (en années) d'un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$. Quelle est sa durée de vie moyenne ?
[qcm]
[option]$0{,}2$ années[/option]
[option]$2$ années[/option]
[option correct="true"]$5$ années[/option]
[option]$0{,}5$ années[/option]
[reponse statut="correct"]C'est ça !
La durée de vie moyenne est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5$ années.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}2$ années"]Non.
$0{,}2$ est la valeur de $\lambda$. La durée de vie moyenne est $\dfrac{1}{\lambda}$, c'est-à-dire l'inverse.[/reponse]
[reponse motif="$2$ années"]Non.
$2 = 10 \times \lambda$ : erreur de calcul. Le calcul correct est $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$, pas $2$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$ années"]Non.
Confusion classique : $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$ et non $0{,}5$. Vérifier avec $0{,}2 \times 5 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Durée de vie moyenne $= E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}2}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que vaut $P(a \leqslant X \leqslant b)$ pour $0 \leqslant a \leqslant b$ ?
[qcm]
[option]$\text{e}^{- \lambda b} - \text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[option correct="true"]$\text{e}^{- \lambda a} - \text{e}^{- \lambda b}$[/option]
[option]$\text{e}^{- \lambda(b - a)}$[/option]
[option]$\lambda(b - a)\text{e}^{- \lambda a}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$P(a \leqslant X \leqslant b) = \displaystyle\int_{a}^{b} \lambda\,\text{e}^{- \lambda x}\,dx = \left[- \text{e}^{- \lambda x}\right]_{a}^{b} = - \text{e}^{- \lambda b} + \text{e}^{- \lambda a} = \text{e}^{- \lambda a} - \text{e}^{- \lambda b}$.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{- \lambda b} - \text{e}^{- \lambda a}$"]Non.
Erreur de signe : comme $a \leqslant b$, $\text{e}^{- \lambda a} \geqslant \text{e}^{- \lambda b}$, donc cette différence est négative. Inverser l'ordre des termes.[/reponse]
[reponse motif="$\text{e}^{- \lambda(b - a)}$"]Non.
On ne peut pas « factoriser » directement. Calculer la primitive $- \text{e}^{- \lambda x}$ et appliquer le crochet entre $a$ et $b$.[/reponse]
[reponse motif="$\lambda(b - a)\text{e}^{- \lambda a}$"]Non.
Cette formule combinerait approximation linéaire (pour la loi uniforme) et coefficient exponentiel : ce n'est pas la formule exacte issue de l'intégration.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(a \leqslant X \leqslant b) = \text{e}^{- \lambda a} - \text{e}^{- \lambda b}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La durée de vie d'une ampoule suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ (par mois). Quelle est la probabilité, à $10^{-2}$ près, qu'elle dure plus de $10$ mois ?
[qcm]
[option]$0{,}90$[/option]
[option correct="true"]$0{,}37$[/option]
[option]$0{,}10$[/option]
[option]$0{,}63$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$P(X > 10) = \text{e}^{- \lambda \times 10} = \text{e}^{- 0{,}1 \times 10} = \text{e}^{- 1} \approx 0{,}37$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}90$"]Non.
$0{,}90$ correspondrait à $1 - 0{,}1 \times 1$ ou à un raisonnement linéaire. La loi exponentielle décroît plus vite : il faut bien utiliser $\text{e}^{- \lambda t}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}10$"]Non.
$0{,}10$ est la valeur de $\lambda$ (par mois), pas une probabilité. Calculer $\text{e}^{- 1}$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}63$"]Non.
$0{,}63 \approx 1 - \text{e}^{- 1} = P(X \leqslant 10)$, c'est-à-dire l'événement contraire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > a) = \text{e}^{- \lambda a}$, ici $\text{e}^{- 0{,}1 \times 10} = \text{e}^{- 1}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[Bac] Probabilités : Loi exponentielle

[ d'après Bac ] Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0{,}12$. On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda $, où $\lambda $ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif $t$ : $p\left(Y\leqslant t\right)=\int_{0}^{t} \lambda e^{- \lambda x}dx$. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Exprimer $p\left(Y\leqslant 1\right)$ en fonction de $\lambda $. En déduire la valeur de $\lambda $. Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda =0{,}128$ .
Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ?
Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ?
On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty } F\left(t\right)$ où $F$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0 ;+\infty \right[$ par $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx$.
1. Montrer que la fonction $\Phi $ définie par $\Phi \left(t\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
2. En déduire $F\left(t\right)$ en fonction de $t$.
3. Donner la valeur exacte de $d_{m}$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près.

Corrigé

$p\left(Y\leqslant 1\right)=\int_{0}^{1} \lambda e^{- \lambda x}dx=\left[- e^{- \lambda x}\right]_{0}^{1}=-e^{- \lambda }+1$ La probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à $0{,}12$ donc : $1-e^{- \lambda }=0{,}12$ c'est à dire : $e^{-\lambda}=0{,}88$ $-\lambda =\ln 0{,}88$ $\lambda =-\ln 0{,}88$ $\lambda \approx 0{,}128$ à $10^{-3}$ près.
L'évènement « un moteur dure plus de 3 ans » est l'évènement contraire de « un moteur tombe en panne dans les 3 ans ». $p\left(Y > 3\right)=1-p\left(Y\leqslant 3\right)=1-\int_{0}^{3} 0{,}128\text{e}^{- 0{,}128 x}dx=1-\left[-e^{- 0{,}128 x}\right]_{0}^{3}$ $p\left(Y > 3\right)=1-\left(-e^{- 0{,}128 \times 3}+1\right)=e^{- 0{,}384} \approx 0{,}681$ à $10^{-3}$ près.
La loi exponentielle étant sans vieillissement : $p_{Y > 1}\left(Y > 4\right)=p\left(Y > 3\right)\approx 0{,}681$ à $10^{-3}$ près.
1. $\Phi ^{\prime}\left(t\right)=-e^{- \lambda t}-t\times \left(-\lambda e^{-\lambda t}\right)-\dfrac{1}{\lambda }\times \left(-\lambda \right)e^{-\lambda t}=\lambda t e^{-\lambda t}$ donc $\Phi $ est une primitive de la fonction $x\mapsto \lambda xe^{- \lambda x}$.
2. $F\left(t\right)=\int_{0}^{t} \lambda xe^{- \lambda x}dx=\left[\Phi \left(x\right)\right]_{0}^{t}=\Phi \left(t\right)-\Phi \left(0\right)=-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }$
3. En posant $T=- \lambda t$ : $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty }-te^{-\lambda t}=\lim\limits_{T \rightarrow -\infty } \dfrac{1}{\lambda} \times Te^{T}=0$ (par croissance comparée) Comme de plus, $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{- \lambda t}=0$ on en déduit (par somme) : $d_{m}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }-te^{- \lambda t}-\dfrac{1}{\lambda }e^{- \lambda t}+\dfrac{1}{\lambda }=\dfrac{1}{\lambda }$ $d_{m}\approx 7{,}8$ années à $10^{-1}$ près.

Deux lois exponentielles

On arrondira les probabilités à $10^{-2}$ près. Une entreprise informatique utilise des disques durs de type A dont la durée de vie $T_1$ (en heures) peut être modélisée par une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1$ et des disques durs de type B dont la durée de vie $T_2$ (en heures) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_2$.

Sachant que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type A est $12\ 000$ heures et que la durée de vie moyenne d'un disque dur de type B est $18\ 000$ heures, déterminer les valeurs de $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
On choisit au hasard un disque de type A. Quelle est la probabilité que la durée de vie de ce disque soit supérieure à $20\ 000$ heures ? Même question pour un disque de type B.
L'entreprise utilise $40$% de disques durs de type A et $60$% disques durs de type B. Quelle est la probabilité qu'un disque dur pris au hasard dans cette entreprise (sans savoir s'il s'agit d'un disque de type A ou B) ait une durée de vie supérieure à $20\ 000$ heures ?
Un disque dur de cette entreprise a fonctionné plus de $20\ 000$ heures. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un disque de type A ?

Corrigé

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda }$ $T_1$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1$ donc : $E(T_1)=\dfrac{1}{\lambda _1}=12\ 000$ $\lambda_1=\dfrac{1}{12\ 000}$ De même : $E(T_2)=\dfrac{1}{\lambda _2}=18\ 000$ $\lambda_2=\dfrac{1}{18\ 000}$
Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $p(X \geqslant k)=e^{-\lambda k}$ La probabilité que la durée de vie d'un disque de type A soit supérieure à $20\ 000$ heures est : $p(T_1 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_1}=e^{\frac{-20 000}{12 000}}=e^{-\frac{5}{3}} \approx 0{,}19 $ à $10^{-2}$ près. De même, la probabilité que la durée de vie d'un disque de type B soit supérieure à $20\ 000$ heures est : $p(T_2 \geqslant 20\ 000)=e^{-20000\lambda_2}=e^{\frac{-20 000}{18 000}}=e^{-\frac{10}{9}} \approx 0{,}33 $ à $10^{-2}$ près.
Notons
- $S$ l’événement : « La durée de vie du disque est supérieure à $20\ 000$ heures ».
- $A$ l’événement : « Le disque dur est de type A ».
- $B$ l’événement : « Le disque dur est de type B ».
La situation peut être schématisée par l'arbre pondéré ci-dessous :

D'après la formule des probabilités totales : $p(S)=p_A(S)\times p(A) + p_B(S)\times p(B) $ $\phantom{p(S)} \approx 0{,}19\times 0{,}40 + 0{,}33\times 0{,}60 $ $\phantom{p(S)} \approx 0{,}27 $ à $10^{-2}$ près.
La probabilité cherchée est $p_S(A)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles : $p_S(A)=\dfrac{p(A \cap S)}{p(S)}$ $p_S(A)\approx\dfrac{0{,}19\times 0{,}40}{0{,}27}$ $p_S(A)\approx 0{,}28$ à $10^{-2}$ près.