Calculer une probabilité avec une loi à densité

Une station de mesure analyse la concentration en pollen dans l'air au cours d'une journée. On modélise cette concentration, exprimée dans une unité adaptée, par une variable aléatoire $ X $ à valeurs dans l'intervalle $ [0\,;4] $.

On admet que $ X $ admet une densité de la forme $ f(x) = k\,x(4 - x) $ sur $ [0\,;4] $, où $ k $ est un réel à déterminer.

Justifier que, pour tout réel $ k \geqslant 0 $, la fonction $ f $ est continue et positive sur $ [0\,;4] $.
Déterminer la valeur de $ k $ pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.
On note $ F $ la fonction définie sur $ [0\,;4] $ par $ F(x) = P(X \leqslant x) $.
1. Déterminer une expression de $ F(x) $ pour tout $ x \in [0\,;4] $.
2. Vérifier que $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $.
En utilisant la fonction $ F $, calculer $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) $.

Corrigé

La fonction $ f $ est un produit de fonctions polynômes, donc elle est continue sur $ [0\,;4] $.

Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ x \geqslant 0 $ et $ 4 - x \geqslant 0 $, donc le produit $ x(4 - x) \geqslant 0 $. Ainsi, dès que $ k \geqslant 0 $, on a $ f(x) = k\,x(4 - x) \geqslant 0 $ sur $ [0\,;4] $.

La fonction $ f $ est donc bien continue et positive sur $ [0\,;4] $.
Pour que $ f $ soit une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $, il faut que son intégrale sur cet intervalle soit égale à $ 1 $.

On développe $ f(x) = k(4x - x^{2}) $. Une primitive de $ x \mapsto 4x - x^{2} $ est $ x \mapsto 2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3} $.

$ \displaystyle\int_{0}^{4} k(4x - x^{2})\,dx = k\left[2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = k\left(2 \times 16 - \dfrac{64}{3}\right) = k\left(\dfrac{96}{3} - \dfrac{64}{3}\right) = \dfrac{32k}{3} $

On résout alors $ \dfrac{32k}{3} = 1 $, ce qui donne $ k = \dfrac{3}{32} $.

Cette valeur est positive, donc la fonction $ f $ définie par $ f(x) = \dfrac{3}{32}\,x(4 - x) $ est bien une densité de probabilité sur $ [0\,;4] $.

La valeur cherchée est $\mathbf{k = \dfrac{3}{32}}$.
1. Pour tout $ x \in [0\,;4] $, on a $ F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\,dt $.
  
  $ F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{3}{32}(4t - t^{2})\,dt = \dfrac{3}{32}\left[2t^{2} - \dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{x} = \dfrac{3}{32}\left(2x^{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right) $
  
  En développant : $ F(x) = \dfrac{3}{32} \times 2x^{2} - \dfrac{3}{32} \times \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32} $.
  
  On obtient donc, pour tout $ x \in [0\,;4] $ : $\mathbf{F(x) = \dfrac{3x^{2}}{16} - \dfrac{x^{3}}{32}}$.
2. On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle.
  
  $ F(0) = \dfrac{3 \times 0}{16} - \dfrac{0}{32} = 0 $
  
  $ F(4) = \dfrac{3 \times 16}{16} - \dfrac{64}{32} = 3 - 2 = 1 $
  
  On retrouve bien $ F(0) = 0 $ et $ F(4) = 1 $, ce qui est cohérent : la probabilité d'observer une valeur inférieure à la borne inférieure est nulle, et celle d'observer une valeur de l'intervalle entier est certaine.
En utilisant la fonction de répartition, on a $ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = F(3) - F(1) $.

$ F(3) = \dfrac{3 \times 9}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{16} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{54}{32} - \dfrac{27}{32} = \dfrac{27}{32} $

$ F(1) = \dfrac{3 \times 1}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{16} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{6}{32} - \dfrac{1}{32} = \dfrac{5}{32} $

$ P(1 \leqslant X \leqslant 3) = \dfrac{27}{32} - \dfrac{5}{32} = \dfrac{22}{32} = \dfrac{11}{16} = 0{,}6875 $

La probabilité que la concentration mesurée soit comprise entre $ 1 $ et $ 3 $ vaut $\mathbf{\dfrac{11}{16}}$, soit environ $ 68{,}75\,\% $.

[enonce]
Ce QCM porte sur le calcul de probabilités avec une loi à densité par intégration. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Quelle expression donne $P(c \leqslant X \leqslant d)$ pour $a \leqslant c \leqslant d \leqslant b$ ?
[qcm]
[option]$f(d) - f(c)$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx - (d - c)$[/option]
[option]$\dfrac{f(c) + f(d)}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La probabilité d'appartenance à un intervalle $[c\,;\,d]$ pour une variable continue est l'intégrale de la densité sur cet intervalle.[/reponse]
[reponse motif="$f(d) - f(c)$"]Non.
$f(d) - f(c)$ est une simple variation de la fonction $f$, sans signification probabiliste. Penser à intégrer.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx - (d - c)$"]Non.
$\displaystyle\int_{a}^{b} f = 1$ par définition d'une densité, et $(d-c)$ n'a pas le bon statut (longueur de l'intervalle, pas une probabilité).[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{f(c) + f(d)}{2}$"]Non.
La moyenne arithmétique des valeurs aux bornes ne tient pas compte de l'allure de $f$ entre $c$ et $d$. Il faut intégrer.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(x)\,dx$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ par $f(x) = \dfrac{x}{2}$. Que vaut $P(0 \leqslant X \leqslant 1)$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$0{,}25$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option]$0{,}125$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$P(0 \leqslant X \leqslant 1) = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x}{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4} - 0 = 0{,}25$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ correspond à $f(1)$ (valeur de la densité), pas à l'aire sous la courbe entre $0$ et $1$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}125$"]Non.
Erreur de primitive : $\dfrac{x}{2}$ a pour primitive $\dfrac{x^{2}}{4}$, pas $\dfrac{x^{2}}{8}$. Vérifier en dérivant.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est la probabilité totale sur tout l'intervalle $[0\,;\,2]$, pas sur $[0\,;\,1]$. La fonction $f$ croît : la probabilité est plus grande sur $[1\,;\,2]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x}{2}\,dx$ avec la primitive $\dfrac{x^{2}}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Quelle relation est correcte pour tout $c \in [a\,;\,b]$ ?
[qcm]
[option]$P(X \leqslant c) + P(X \geqslant c) = 0$[/option]
[option correct="true"]$P(X \leqslant c) + P(X > c) = 1$[/option]
[option]$P(X \leqslant c) - P(X \geqslant c) = 1$[/option]
[option]$P(X \leqslant c) = 1 - P(X \geqslant c)$ uniquement si $c \in \,]a\,;\,b[$ (pas aux bornes)[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Les événements $\{X \leqslant c\}$ et $\{X > c\}$ sont contraires : leur réunion est l'événement certain. Donc $P(X \leqslant c) + P(X > c) = 1$.
Remarque : en continu, $P(X > c) = P(X \geqslant c)$ car $P(X = c) = 0$.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant c) + P(X \geqslant c) = 0$"]Non.
La somme de deux probabilités ne peut pas être nulle (sauf si les deux événements sont impossibles, ce qui n'est pas le cas ici).[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant c) - P(X \geqslant c) = 1$"]Non.
On parle d'événements contraires : la somme vaut $1$, pas la différence.[/reponse]
[reponse motif="$P(X \leqslant c) = 1 - P(X \geqslant c)$ uniquement si $c \in \,]a\,;\,b[$ (pas aux bornes)"]Non.
La relation est valable partout. Il y a un changement subtil entre $P(X \geqslant c)$ et $P(X > c)$, mais en continu ces deux quantités sont égales.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Événements contraires : $P(X \leqslant c) + P(X > c) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = \dfrac{2}{9}\,x$. Que vaut $P(X \geqslant 2)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{4}{9}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{9}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{2}{9}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$P(X \geqslant 2) = \displaystyle\int_{2}^{3} \dfrac{2}{9} x\,dx = \dfrac{2}{9}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{3} = \dfrac{2}{9}\,\left(\dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2}\right) = \dfrac{2}{9} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{9}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{9}$"]Non.
$\dfrac{4}{9}$ est égal à $P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{2}{9} x\,dx$ : c'est l'événement contraire. Penser à utiliser $1 - P(X \leqslant 2)$ ou intégrer de $2$ à $3$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{3}$"]Non.
Erreur de calcul. Recommencer en passant par la primitive $\dfrac{x^{2}}{2}$ de $x$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{2}{9}$"]Non.
$\dfrac{2}{9}$ est le coefficient devant $x$ dans la densité, pas une probabilité. L'intégrale ajoute une dépendance à l'intervalle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X \geqslant 2) = \displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\,dx$. Calculer la primitive et appliquer le crochet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable de densité $f$ sur $[0\,;\,4]$ telle que $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 0{,}3$. Que vaut $P(X > 2)$ ?
[qcm]
[option]$0{,}3$[/option]
[option]$0{,}5$[/option]
[option correct="true"]$0{,}7$[/option]
[option]$1{,}3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$P(X \leqslant 2) = \displaystyle\int_{0}^{2} f = 0{,}3$.
Par événement contraire : $P(X > 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}3$"]Non.
$0{,}3 = P(X \leqslant 2)$, c'est-à-dire l'événement contraire. Utiliser le passage au complémentaire.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}5$"]Non.
$0{,}5$ supposerait que la densité est symétrique autour de $2$, ce qui n'est pas une donnée du problème.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}3$"]Non.
Une probabilité ne peut pas dépasser $1$. Erreur de signe ou d'opération.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$P(X > 2) = 1 - P(X \leqslant 2)$ par passage au complémentaire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ de densité $f(x) = \dfrac{3}{8} x^{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Que vaut $P(1 \leqslant X \leqslant 2)$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{1}{8}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{8}$[/option]
[option]$\dfrac{4}{8}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une primitive de $\dfrac{3}{8} x^{2}$ est $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{x^{3}}{3} = \dfrac{x^{3}}{8}$.
$P(1 \leqslant X \leqslant 2) = \left[\dfrac{x^{3}}{8}\right]_{1}^{2} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{8}$"]Non.
$\dfrac{1}{8} = P(0 \leqslant X \leqslant 1)$ : c'est la probabilité sur $[0\,;\,1]$, pas sur $[1\,;\,2]$. Bien évaluer la primitive aux bornes $1$ et $2$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{8}$"]Non.
$\dfrac{3}{8}$ est le coefficient de la densité, ce n'est pas une probabilité.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{4}{8}$"]Non.
Erreur classique : oublier le coefficient $\dfrac{1}{3}$ de la primitive de $x^{2}$. La primitive de $\dfrac{3}{8} x^{2}$ est $\dfrac{x^{3}}{8}$, pas $\dfrac{3 x^{3}}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{3}{8} x^{2}\,dx$ avec la primitive $\dfrac{x^{3}}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Fonction de répartition et coefficient de normalisation

Corrigé

QCM : Calcul de probabilités par intégration