Dans un atelier de poterie, on s'intéresse à la durée $ X $, exprimée en heures, pendant laquelle un visiteur reste sur le stand un jour d'affluence. Cette durée est modélisée par une variable aléatoire continue de densité $ f $ définie sur l'intervalle $ [0;4] $ par :

1. Vérifier que $ f $ est une densité de probabilité sur $ [0;4] $.
2. Calculer l'espérance $ E(X) $ de la variable aléatoire $ X $ et interpréter ce résultat dans le contexte.
3. Calculer $ E(X^{2})=\displaystyle\int_{0}^{4} x^{2}\,f(x)\,dx $.
4. En déduire la variance $ V(X) $, puis l'écart-type $ \sigma(X) $ de la variable aléatoire $ X $. On donnera une valeur approchée au centième.

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur l'espérance et la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Vérifier les calculs avant de se prononcer.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Alors $E(X) = \displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition de l'espérance dans le cas continu, analogue à $\sum x_{i}\,p_{i}$ du cas discret : $x$ joue le rôle de la valeur, $f(x)\,dx$ celui de la « probabilité élémentaire ».[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Formule fondamentale : $E(X) = \displaystyle\int x\,f(x)\,dx$ sur l'intervalle de définition de $X$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de l'espérance pour une loi à densité.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ de densité $f$, alors $F^{\prime}(x) = f(x)$ là où $F$ est dérivable.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$F$ est définie par $F(x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ (primitive de $f$ qui s'annule en $a$). Par théorème fondamental, $F^{\prime} = f$ là où $f$ est continue.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Lien essentiel : la fonction de répartition est une primitive de la densité.
$F^{\prime}(x) = f(x)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F$ est une primitive de $f$ : $F^{\prime}(x) = f(x)$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : La fonction de répartition $F$ d'une variable aléatoire est toujours croissante sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$F^{\prime}(x) = f(x) \geqslant 0$ là où $F$ est dérivable, donc $F$ est croissante. Cela traduit le fait que $\{X \leqslant a\} \subset \{X \leqslant b\}$ pour $a < b$, donc $F(a) \leqslant F(b)$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Propriété générale : une fonction de répartition est toujours croissante (au sens large).
Cela vient du fait que la densité est positive (ou que les événements s'emboîtent).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $F$ est croissante car $F^{\prime} = f \geqslant 0$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour une variable aléatoire $X$ à densité sur $[a\,;\,b]$ et de fonction de répartition $F$, on a $F(a) = 1$ et $F(b) = 0$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Inversion : $F(a) = P(X \leqslant a) = 0$ (impossible que $X$ soit avant $a$) et $F(b) = P(X \leqslant b) = 1$ (certain que $X$ est dans l'intervalle).
$F$ croît de $0$ à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Inversion classique : $F(a) = 0$ (rien à gauche de $a$) et $F(b) = 1$ (tout à gauche de $b$).
Une fonction de répartition croît de $0$ à $1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $F(a) = 0$ et $F(b) = 1$. La fonction $F$ croît de $0$ à $1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Alors $E(X) = 1$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{x}{2}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{2}}{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$, et non $1$.
$1$ serait l'espérance pour une loi uniforme sur $[0\,;\,2]$ ; ici la densité est croissante, donc l'espérance est plus à droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : $1$ est le milieu de l'intervalle (espérance de la loi uniforme sur $[0\,;\,2]$).
La densité $\dfrac{x}{2}$ n'est pas constante, l'espérance est différente.
Calcul : $E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{2}}{2}\,dx = \dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{2}}{2}\,dx = \dfrac{4}{3}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$ et $F$ sa fonction de répartition. Alors $P(c \leqslant X \leqslant d) = F(d) - F(c)$ pour tous $a \leqslant c \leqslant d \leqslant b$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$P(c \leqslant X \leqslant d) = \displaystyle\int_{c}^{d} f(t)\,dt = \displaystyle\int_{a}^{d} f - \displaystyle\int_{a}^{c} f = F(d) - F(c)$.
Cette relation est très utile pour calculer une probabilité quand on connaît déjà $F$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Relation pratique : la probabilité d'un intervalle $[c\,;\,d]$ s'obtient par différence de la cumulée : $F(d) - F(c)$.
C'est l'analogue d'un crochet d'intégrale.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $P(c \leqslant X \leqslant d) = F(d) - F(c)$, par relation de Chasles sur les intégrales.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'espérance et la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Quelle expression donne $E(X)$ ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f^{\prime}(x)\,dx$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$[/option]
[option]$\dfrac{a + b}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'espérance d'une variable aléatoire à densité est $E(X) = \displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$. C'est l'analogue continu de $\sum x_{i}\,p_{i}$ du cas discret.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$"]Non.
$\displaystyle\int_{a}^{b} f = 1$ par définition d'une densité. L'espérance pondère $x$ par la densité.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f^{\prime}(x)\,dx$"]Non.
On n'utilise pas la dérivée de $f$ pour calculer l'espérance. C'est l'intégrale du produit $x \times f(x)$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{a + b}{2}$"]Non.
$\dfrac{a + b}{2}$ est l'espérance dans le cas particulier de la loi uniforme. Pour une autre densité, l'espérance est différente.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E(X) = \displaystyle\int_{a}^{b} x\,f(x)\,dx$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Que vaut $E(X)$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{4}{3}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{x}{2}\,dx = \displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{2}}{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
$1$ est la moyenne arithmétique des bornes ($\dfrac{0 + 2}{2}$), valable pour la loi uniforme. Or ici la densité est croissante, donc l'espérance est plus grande que $1$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$2$ est la borne supérieure de l'intervalle. L'espérance est strictement à l'intérieur de $[0\,;\,2]$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{2}$"]Non.
$\dfrac{1}{2}$ correspond au calcul $\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{2}}{2}\,dx$ avec une mauvaise primitive. Vérifier que la primitive de $\dfrac{x^{2}}{2}$ est $\dfrac{x^{3}}{6}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$E(X) = \displaystyle\int_{0}^{2} x \times \dfrac{x}{2}\,dx$. Calculer la primitive et appliquer le crochet.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$. Sa fonction de répartition $F$ est définie par :
[qcm]
[option]$F(x) = f(x)$[/option]
[option]$F(x) = f^{\prime}(x)$[/option]
[option correct="true"]$F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$ pour $x \in [a\,;\,b]$[/option]
[option]$F(x) = E(X) \times f(x)$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La fonction de répartition $F$ est définie par $F(x) = P(X \leqslant x)$. Pour une loi à densité, c'est l'intégrale de la densité de $a$ à $x$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = f(x)$"]Non.
$f$ est la densité, $F$ est la fonction de répartition. Elles sont liées : $F$ est une primitive de $f$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = f^{\prime}(x)$"]Non.
La relation est inverse : $F$ est une primitive de $f$, autrement dit $F^{\prime} = f$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = E(X) \times f(x)$"]Non.
La fonction de répartition n'a pas de lien direct multiplicatif avec l'espérance. C'est une intégrale.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$F(x) = P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ une variable aléatoire à densité sur $[a\,;\,b]$ et $F$ sa fonction de répartition. Quelle relation est correcte ?
[qcm]
[option]$F(a) = 1$ et $F(b) = 0$[/option]
[option correct="true"]$F(a) = 0$ et $F(b) = 1$[/option]
[option]$F(a) = F(b) = 0{,}5$[/option]
[option]$F$ est constante sur $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$F(a) = P(X \leqslant a) = 0$ (impossible que $X$ soit avant $a$ car $X \in [a\,;\,b]$).
$F(b) = P(X \leqslant b) = 1$ (certain que $X$ est dans $[a\,;\,b]$). $F$ croît de $0$ à $1$ sur $[a\,;\,b]$.[/reponse]
[reponse motif="$F(a) = 1$ et $F(b) = 0$"]Non.
Inversion des bornes : $F$ croît (cumulée des probabilités), elle commence à $0$ et termine à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$F(a) = F(b) = 0{,}5$"]Non.
La médiane vaut $0{,}5$ pour $F$, mais ce n'est pas le cas en $a$ et $b$. La cumulée commence à $0$ et termine à $1$.[/reponse]
[reponse motif="$F$ est constante sur $[a\,;\,b]$"]Non.
$F$ est constante seulement si la densité est nulle. En présence d'une densité non nulle, $F$ croît strictement.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$F(a) = 0$, $F(b) = 1$ ; $F$ croît de $0$ à $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $X$ de densité $f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$. Quelle est la fonction de répartition $F$ de $X$ pour $x \in [0\,;\,2]$ ?
[qcm]
[option]$F(x) = \dfrac{x}{2}$[/option]
[option correct="true"]$F(x) = \dfrac{x^{2}}{4}$[/option]
[option]$F(x) = \dfrac{x^{2}}{2}$[/option]
[option]$F(x) = x^{2}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{t}{2}\,dt = \left[\dfrac{t^{2}}{4}\right]_{0}^{x} = \dfrac{x^{2}}{4}$.
On vérifie bien : $F(0) = 0$ et $F(2) = \dfrac{4}{4} = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = \dfrac{x}{2}$"]Non.
$\dfrac{x}{2}$ est la densité $f$, pas la fonction de répartition. Penser à intégrer $f$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = \dfrac{x^{2}}{2}$"]Non.
Erreur de coefficient : la primitive de $\dfrac{t}{2}$ est $\dfrac{t^{2}}{4}$, pas $\dfrac{t^{2}}{2}$. Vérifier $F(2) = \dfrac{4}{2} = 2 \neq 1$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = x^{2}$"]Non.
On a oublié le coefficient $\dfrac{1}{2}$ devant $t$ dans la densité. Vérifier que $F(2) = 4 \neq 1$, donc cette réponse n'est pas une bonne fonction de répartition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{t}{2}\,dt = \dfrac{x^{2}}{4}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Quelle est sa fonction de répartition $F$ sur $[0\,;\,+\infty[$ ?
[qcm]
[option]$F(x) = \text{e}^{- 0{,}5\,x}$[/option]
[option correct="true"]$F(x) = 1 - \text{e}^{- 0{,}5\,x}$[/option]
[option]$F(x) = 0{,}5\,\text{e}^{- 0{,}5\,x}$[/option]
[option]$F(x) = 1 + \text{e}^{- 0{,}5\,x}$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
$F(x) = P(X \leqslant x) = 1 - \text{e}^{- \lambda x} = 1 - \text{e}^{- 0{,}5\,x}$.
On vérifie : $F(0) = 1 - 1 = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 - 0 = 1$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = \text{e}^{- 0{,}5\,x}$"]Non.
$\text{e}^{- 0{,}5\,x} = P(X > x)$ : c'est l'événement contraire. La fonction de répartition est $F(x) = P(X \leqslant x) = 1 - \text{e}^{- \lambda x}$.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = 0{,}5\,\text{e}^{- 0{,}5\,x}$"]Non.
$0{,}5\,\text{e}^{- 0{,}5\,x}$ est la densité $f$, pas la fonction de répartition. La fonction de répartition est l'intégrale (primitive) de la densité.[/reponse]
[reponse motif="$F(x) = 1 + \text{e}^{- 0{,}5\,x}$"]Non.
Erreur de signe : la fonction de répartition vaut $1 - \text{e}^{- \lambda x}$. Une fonction de répartition ne peut pas dépasser $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Loi exponentielle : $F(x) = 1 - \text{e}^{- \lambda x}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

L'objectif de cet exercice est de démontrer que l'espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ est $ \dfrac{1}{\lambda } $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques et $ \lambda $ un réel strictement positif. On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ [0~;~+\infty[ $ par :

1. Calculer $ f^{\prime}(x) $.
2. Montrer qu'il existe une valeur de $ a $ et une valeur de $ b $ pour lesquelles, pour tout réel $ x \geqslant 0 $, $ f^{\prime}(x)=x\text{e}^{ - \lambda x} $ et déterminer ces valeurs.

3. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $ X $ qui suit une loi de densité $ f $ sur l'intervalle $ \left[\alpha;\beta\right] $ est $ E\left(X\right)=\int_{\alpha}^{\beta}xf\left(x\right)dx $.

   En particulier, dans le cas de la loi exponentielle de paramètre $ \lambda > 0 $ :

   $ E(X)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $
   $ =\lim\limits_{t \rightarrow +\infty}\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $

   .

   1. Calculer, en fonction de $ t $, $ I(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\lambda x \text{e}^{ - \lambda x}dx $.

   2. En déduire que, pour la loi exponentielle de paramètre $ \lambda $ :

      $ E(X)=\dfrac{1}{\lambda } $

      .