[enonce]
Pour chaque affirmation suivante portant sur le lien entre intégrale et aire, indiquer si elle est Vraie ou Fausse. Faire un schéma au brouillon si nécessaire.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$.

Affirmation : L'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ vaut $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
C'est la définition même de l'intégrale d'une fonction positive : l'aire géométrique du domaine sous la courbe.
La condition « $f$ positive » est essentielle pour cette interprétation directe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
C'est l'interprétation géométrique fondamentale de l'intégrale d'une fonction continue positive : aire en unités d'aire.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la définition de l'intégrale d'une fonction positive en termes d'aire.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 - 1$.

Affirmation : L'aire (géométrique) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Sur $[0\,;\,2]$, $f(x) = -x^2 - 1 < 0$ (la courbe est en dessous de l'axe). L'intégrale donne donc un nombre négatif, alors qu'une aire géométrique est positive.
L'aire vaut $\displaystyle\int_{0}^{2}(-f(x))\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{2}(x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Quand $f$ est négative sur l'intervalle, son intégrale est négative — or une aire est positive. Pour obtenir l'aire géométrique, il faut intégrer $-f$ (ou $|f|$).[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Comme $f \leqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$, l'intégrale est négative ; l'aire géométrique vaut $\displaystyle\int_0^2 -f(x)\,\mathrm{d}x$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'intégrale d'une fonction continue sur $[a\,;\,b]$ correspond toujours à l'aire géométrique du domaine sous la courbe.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Cette identification n'est valable que pour les fonctions positives sur $[a\,;\,b]$. Pour une fonction qui change de signe (ou est négative), l'intégrale est l'aire algébrique, qui peut être négative.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège : oublier l'hypothèse de positivité. L'intégrale d'une fonction négative est négative, alors qu'une aire (géométrique) est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'identification intégrale = aire géométrique est valable uniquement pour les fonctions positives. Sinon, l'intégrale est l'aire algébrique.
[/solution]
[/etape]

[etape]
On considère deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[0\,;\,1]$ telles que $f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0$ sur cet intervalle.

Affirmation : L'aire (en u.a.) du domaine compris entre les courbes de $f$ et $g$ sur $[0\,;\,1]$ vaut $\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
La courbe de $f$ étant au-dessus de celle de $g$, l'aire entre les deux vaut « aire sous $f$ moins aire sous $g$ », c'est-à-dire $\displaystyle\int_0^1 f - \displaystyle\int_0^1 g = \displaystyle\int_0^1 (f - g)$ par linéarité.
Comme $f - g \geqslant 0$, l'intégrale est positive : on retrouve une aire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour l'aire entre deux courbes, faire « courbe du haut $-$ courbe du bas » et intégrer. Ici $f \geqslant g$ donc $f$ est au-dessus, et l'aire vaut $\displaystyle\int (f - g)$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'aire entre les deux courbes vaut $\displaystyle\int_0^1 (f(x) - g(x))\,\mathrm{d}x$ puisque $f \geqslant g$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ une fonction impaire continue sur $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire $f(-x) = -f(x)$).

Affirmation : $\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La parité impaire entraîne une symétrie centrale de la courbe par rapport à l'origine. Sur $[-3\,;\,3]$, l'aire algébrique « à gauche » (sous l'axe si $f > 0$ à droite) compense exactement celle « à droite ».
Plus formellement : $\displaystyle\int_{-3}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = -\displaystyle\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$, donc la somme est nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Une fonction impaire vérifie $f(-x) = -f(x)$ : la courbe est symétrique par rapport à l'origine. Les contributions à l'intégrale sur $[-3\,;\,0]$ et sur $[0\,;\,3]$ s'annulent.
Exemple : $\displaystyle\int_{-3}^{3} x\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{-3}^3 = \dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{2} = 0$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. L'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique autour de $0$ est nulle.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[0\,;\,4]$ avec $f(x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) \leqslant 0$ sur $[2\,;\,4]$. On note $\mathcal{A}_+$ et $\mathcal{A}_-$ les aires (positives) des deux domaines.

Affirmation : L'aire géométrique totale (aire absolue du domaine entre la courbe et l'axe) vaut $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\displaystyle\int_0^4 f = \mathcal{A}_+ - \mathcal{A}_-$ (aire algébrique). L'aire géométrique totale est $\mathcal{A}_+ + \mathcal{A}_-$, qu'on obtient en calculant $\displaystyle\int_0^2 f - \displaystyle\int_2^4 f$ ou en intégrant $|f|$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'intégrale globale est l'aire algébrique : la partie négative se soustrait, alors qu'en aire géométrique, elle s'ajouterait. Pour la totale géométrique, séparer l'intervalle au point d'annulation et prendre $|f|$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. L'intégrale donne l'aire algébrique $\mathcal{A}_+ - \mathcal{A}_-$, pas l'aire géométrique totale $\mathcal{A}_+ + \mathcal{A}_-$.
[/solution]
[/etape]

[enonce]
Ce QCM porte sur l'interprétation graphique de l'intégrale : aire sous une courbe positive, aire algébrique, aire entre deux courbes. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Soit $f$ continue et positive sur $[a\,;\,b]$ avec $a < b$. Que représente $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option correct="true"]L'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$[/option]
[option]La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$[/option]
[option]La pente moyenne de $f$ entre $a$ et $b$[/option]
[option]La valeur de $f$ au milieu de $[a\,;\,b]$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Lorsque $f$ est continue et positive sur $[a\,;\,b]$, l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ est par définition l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine sous la courbe, au-dessus de l'axe des abscisses, entre $x = a$ et $x = b$.[/reponse]
[reponse motif="La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$"]Non.
La longueur d'arc d'une courbe a sa propre formule (utilisant $\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}$). L'intégrale de $f$ correspond à l'aire, pas à une longueur.[/reponse]
[reponse motif="La pente moyenne de $f$ entre $a$ et $b$"]Non.
La pente moyenne est le taux d'accroissement $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, ce qui est différent d'une intégrale.[/reponse]
[reponse motif="La valeur de $f$ au milieu de $[a\,;\,b]$"]Non.
$f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$ est une valeur ponctuelle, pas une aire. La valeur moyenne de $f$ s'obtient via $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Revoir l'interprétation graphique de l'intégrale d'une fonction positive : c'est une aire.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$. Quelle est la valeur de $\displaystyle\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\dfrac{7}{3}$ (positif)[/option]
[option]$3$ (positif)[/option]
[option correct="true"]$-3$ (négatif)[/option]
[option]$0$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
Une primitive de $-x^2$ est $-\dfrac{x^3}{3}$.
$\displaystyle\int_{-1}^{2}(-x^2)\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = -\dfrac{8}{3} - \left(-\dfrac{-1}{3}\right) = -\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{9}{3} = -3$.
La fonction étant négative, l'intégrale est bien négative : c'est l'aire algébrique.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{7}{3}$ (positif)"]Non.
Le signe de $-x^2$ a été oublié : la fonction $-x^2$ est négative, donc son intégrale sur un intervalle de longueur positive est négative.[/reponse]
[reponse motif="$3$ (positif)"]Non.
La valeur absolue est correcte ($3$), mais l'intégrale d'une fonction négative est négative. Ne pas confondre intégrale et aire géométrique.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
La fonction $-x^2$ est strictement négative pour $x \neq 0$, donc l'intégrale ne peut pas être nulle sur $[-1\,;\,2]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer la primitive et appliquer $F(2) - F(-1)$. L'intégrale d'une fonction négative donne un nombre négatif.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x$. On veut calculer l'aire (géométrique) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$ et $x = 2$. Quelle expression convient ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{-2}^{0} (-x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{0}^{2} x\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{2} 2x\,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{-2}^{2} |x| \,\mathrm{d}x$ uniquement, le résultat est négatif[/option]
[reponse statut="correct"]C'est juste !
La fonction $f$ change de signe en $0$ : sur $[-2\,;\,0]$ elle est négative, sur $[0\,;\,2]$ elle est positive. Pour calculer l'aire géométrique, on intègre $|f|$, ce qui revient à intégrer $-f$ sur $[-2\,;\,0]$ et $+f$ sur $[0\,;\,2]$.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x$"]Non.
Cette intégrale vaut $0$ par symétrie (la fonction est impaire). Or l'aire géométrique est strictement positive : il faut séparer là où $f$ change de signe.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{2} 2x\,\mathrm{d}x$"]Non.
Cette expression utilise une astuce de symétrie ($f(x) = x$ étant impaire), mais le facteur $2$ ne correspond pas à la procédure classique. Préférer la décomposition selon le signe.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{-2}^{2} |x| \,\mathrm{d}x$ uniquement, le résultat est négatif"]Non.
$\displaystyle\int_{-2}^{2}|x|\,\mathrm{d}x$ est une bonne idée mais le résultat est positif (car $|x| \geqslant 0$). Une aire est toujours positive ou nulle.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $f$ change de signe, séparer l'intervalle au point d'annulation et prendre $|f|$ (ou $-f$ là où $f \leqslant 0$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La courbe de $f$ et la courbe de $g$ sont représentées sur $[a\,;\,b]$, et on a $g(x) \leqslant f(x)$ pour tout $x$ de $[a\,;\,b]$. Quelle est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre les deux courbes sur $[a\,;\,b]$ ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) - f(x) \,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \,\mathrm{d}x$[/option]
[option correct="true"]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) - g(x) \,\mathrm{d}x$[/option]
[option]$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \times g(x) \,\mathrm{d}x$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Lorsque $g \leqslant f$ sur $[a\,;\,b]$, l'aire entre les deux courbes vaut $\displaystyle\int_a^b (f - g)\,\mathrm{d}x$ : on intègre la fonction « du haut » moins la fonction « du bas ».
Comme $f - g \geqslant 0$, l'intégrale est positive : on retrouve une aire.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) - f(x) \,\mathrm{d}x$"]Non.
$g - f \leqslant 0$ donnerait une intégrale négative. Or une aire est positive : il faut prendre $f - g$ (du haut moins du bas).[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) + g(x) \,\mathrm{d}x$"]Non.
Une somme intégrée n'a pas d'interprétation directe en aire entre deux courbes : c'est la différence qui compte.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \times g(x) \,\mathrm{d}x$"]Non.
L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales et n'a pas non plus de sens géométrique simple en termes d'aire entre deux courbes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour l'aire entre deux courbes, faire « courbe du haut $-$ courbe du bas », puis intégrer.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ continue sur $[-2\,;\,3]$ avec $f(x) \geqslant 0$ sur $[-2\,;\,0]$ et $f(x) \leqslant 0$ sur $[0\,;\,3]$. On note $\mathcal{A}_1$ et $\mathcal{A}_2$ les aires respectives des deux domaines (chacune positive). Que vaut $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x$ ?
[qcm]
[option]$\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2$[/option]
[option correct="true"]$\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2$[/option]
[option]$\mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1$[/option]
[option]$|\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2|$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'intégrale est l'aire algébrique : on additionne avec un signe $+$ là où $f \geqslant 0$ et avec un signe $-$ là où $f \leqslant 0$.
Donc $\displaystyle\int_{-2}^{3} f = \mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2$, où $\mathcal{A}_1$ est l'aire au-dessus de l'axe et $\mathcal{A}_2$ celle en dessous.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2$"]Non.
$\mathcal{A}_1 + \mathcal{A}_2$ correspond à l'aire géométrique totale (sans signe), pas à l'intégrale. L'intégrale tient compte du signe de $f$.[/reponse]
[reponse motif="$\mathcal{A}_2 - \mathcal{A}_1$"]Non.
Erreur de signe : c'est la partie négative de $f$ (où $f \leqslant 0$) qui retire de l'intégrale, pas la partie positive.[/reponse]
[reponse motif="$|\mathcal{A}_1 - \mathcal{A}_2|$"]Non.
La valeur absolue n'apparaît pas dans la formule de l'intégrale : si $\mathcal{A}_2 > \mathcal{A}_1$, l'intégrale est négative, ce qui est cohérent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'intégrale d'une fonction qui change de signe est une aire algébrique : positive là où $f \geqslant 0$, négative là où $f \leqslant 0$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,3]$ par $f(x) = x - 1$. Quelle est l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 3$ ?
[qcm]
[option]$\displaystyle\int_{0}^{3}(x - 1)\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{2}$[/option]
[option]$\dfrac{3}{2}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{5}{2}$[/option]
[option]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
$f(x) = x - 1$ s'annule en $x = 1$. Sur $[0\,;\,1]$, $f \leqslant 0$ ; sur $[1\,;\,3]$, $f \geqslant 0$.
Aire $= \displaystyle\int_{0}^{1}(1 - x)\,\mathrm{d}x + \displaystyle\int_{1}^{3}(x - 1)\,\mathrm{d}x$.
$\displaystyle\int_{0}^{1}(1 - x)\,\mathrm{d}x = \left[x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
$\displaystyle\int_{1}^{3}(x - 1)\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \left(\dfrac{9}{2} - 3\right) - \left(\dfrac{1}{2} - 1\right) = \dfrac{3}{2} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 2$.
Total : $\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$\displaystyle\int_{0}^{3}(x - 1)\,\mathrm{d}x = \dfrac{3}{2}$"]Non.
Cette valeur $\dfrac{3}{2}$ est l'intégrale (aire algébrique). Or $f$ change de signe : il faut décomposer pour obtenir l'aire géométrique.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{3}{2}$"]Non.
$\dfrac{3}{2}$ est l'aire algébrique, pas l'aire géométrique. La partie négative de $f$ (sur $[0\,;\,1]$) doit être ajoutée en valeur absolue.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
$3$ correspondrait à $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 2 = 3$ par exemple. Vérifier le calcul de chaque morceau d'aire ($\dfrac{1}{2}$ puis $2$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$f$ change de signe en $x = 1$ : décomposer $[0\,;\,3]$ en $[0\,;\,1]$ et $[1\,;\,3]$, puis prendre $|f|$ sur chaque morceau.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]