Vrai/Faux : Simulation et seuil 1/√n
[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la simulation Python d'échantillons d'une expérience à deux issues et sur le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, indiquer si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
On lit la fonction Python suivante, où $n$ désigne la taille de l'échantillon et le succès est « obtenir un $6$ ».
from random import randint
def simulation(n):
succes = 0
for i in range(n):
if randint(1, 6) == 6:
succes = succes + 1
return succesAffirmation : L'appel simulation(300) renvoie la fréquence des $6$ obtenus sur les $300$ lancers.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
La ligne return succes renvoie la variable de comptage telle quelle, sans la diviser.
La fonction renvoie donc le nombre de $6$ obtenus, un entier, et non leur fréquence.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à bien distinguer le nombre de succès de leur fréquence.
Pour obtenir une fréquence, il faudrait diviser le comptage par $n$ ; or ici la ligne return ne fait aucune division.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La ligne return succes renvoie le nombre de succès (un entier) ; pour une fréquence, il faudrait renvoyer succes / n.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On souhaite simuler une expérience à deux issues, « succès » et « échec », équiprobables. On propose la fonction ci-dessous.
from random import randint
def frequence(n):
succes = 0
for i in range(n):
if randint(0, 1) == 1:
succes = succes + 1
return succes / nAffirmation : Cette fonction simule bien un échantillon où chaque issue a la même probabilité, puis renvoie la fréquence des succès.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
La fonction randint(0, 1) renvoie $0$ ou $1$ avec la même probabilité : les deux issues sont bien équiprobables.
On compte les fois où le tirage vaut $1$ (le succès), puis la ligne return succes / n divise ce comptage par $n$ pour donner la fréquence observée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Reprendre les deux points un par un : la fonction randint(0, 1) ne donne que deux valeurs, tirées avec la même probabilité.
Le comptage des $1$ est ensuite divisé par $n$ dans la ligne return, ce qui produit bien une fréquence.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La fonction randint(0, 1) modélise deux issues équiprobables, et return succes / n renvoie la fréquence des succès observée sur l'échantillon.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Un échantillon de taille $n = 100$ est prélevé d'une expérience à deux issues de probabilité de succès $p = 0{,}5$. On y observe la fréquence $f = 0{,}43$.
Affirmation : Pour cet échantillon, l'écart entre $f$ et $p$ est inférieur ou égal au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le seuil vaut $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ et l'écart vaut $|0{,}43 - 0{,}5| = 0{,}07$.
Comme $0{,}07 \leqslant 0{,}1$, l'écart reste bien sous le seuil.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de comparer sans avoir d'abord calculé les deux quantités.
Calculer séparément le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{100}}$ et l'écart $|f - p|$, puis les comparer : l'écart ne dépasse pas le seuil.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le seuil est $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ et l'écart $|0{,}43 - 0{,}5| = 0{,}07 \leqslant 0{,}1$ : la condition est satisfaite.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Toujours avec $n = 100$ et $p = 0{,}5$, on considère cette fois un autre échantillon où la fréquence observée est $f = 0{,}63$.
Affirmation : Pour cet échantillon, l'écart entre $f$ et $p$ est encore inférieur ou égal au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le seuil vaut toujours $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$, mais l'écart vaut ici $|0{,}63 - 0{,}5| = 0{,}13$.
Comme $0{,}13$ dépasse $0{,}1$, l'écart franchit le seuil : ce cas fait partie des exceptions.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à recalculer l'écart pour ce nouvel échantillon, où la fréquence est différente.
Comparer cet écart au seuil $\dfrac{1}{\sqrt{100}}$ : il le dépasse, ce qui peut arriver sur certains échantillons.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'écart $|0{,}63 - 0{,}5| = 0{,}13$ dépasse le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1$ : la condition n'est pas vérifiée pour cet échantillon.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On simule $N$ échantillons de taille $n$ d'une même expérience à deux issues, et on calcule la proportion des échantillons pour lesquels $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Affirmation : Pour rapprocher chaque fréquence observée $f$ de la probabilité $p$, il faut augmenter le nombre $N$ d'échantillons simulés.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
La proximité entre une fréquence observée et $p$ dépend de la taille $n$ de chaque échantillon, pas du nombre $N$ d'échantillons simulés.
Augmenter $N$ multiplie le nombre de valeurs de $f$ obtenues, mais ne rend pas chacune plus proche de $p$ ; c'est en augmentant $n$ que l'on resserre les fréquences autour de $p$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre $N$, le nombre d'échantillons, et $n$, la taille de chacun.
Relire le rôle de chaque lettre : c'est la taille $n$ qui agit sur l'écart entre $f$ et $p$, pas le nombre $N$ de répétitions.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. C'est la taille $n$ de chaque échantillon qui rapproche $f$ de $p$ (loi des grands nombres) ; le nombre $N$ d'échantillons ne change pas la proximité de chaque $f$ avec $p$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
On simule un grand nombre $N$ d'échantillons de taille $n$ et on relève la proportion des cas où $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
Affirmation : Cette proportion est en général élevée : pour la plupart des échantillons, l'écart entre $f$ et $p$ ne dépasse pas le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ décrit justement la fluctuation habituelle : dans la grande majorité des échantillons, l'écart $|f - p|$ reste sous ce seuil.
Seuls les échantillons exceptionnels le dépassent, ce qui rend la proportion observée proche de $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège est de penser que le dépassement du seuil est fréquent.
Le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ traduit la fluctuation courante : la simulation montre qu'une large majorité des échantillons le respectent, les dépassements restant exceptionnels.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le seuil $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ mesure la fluctuation habituelle : la proportion des échantillons vérifiant $|f - p| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est proche de $1$, les exceptions étant rares.
[/solution]
[/etape]