Vrai/Faux : PGCD et fractions irréductibles
[enonce]
Pour chaque affirmation, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]
[etape]
Affirmation : $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15)$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'ordre des deux nombres n'a pas d'importance : les diviseurs communs à $15$ et $35$ sont les mêmes que ceux de $35$ et $15$.
On vérifie : $15 = 3 \times 5$ et $35 = 5 \times 7$, le seul facteur commun est $5$.
Donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de croire que l'ordre des arguments du PGCD a une importance — le PGCD est une opération symétrique.
L'ordre des deux nombres n'a pas d'importance : les diviseurs communs à $15$ et $35$ sont les mêmes que ceux de $35$ et $15$.
Donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Le PGCD est symétrique : l'ordre des deux nombres n'a pas d'importance. On vérifie : $15 = 3 \times 5$ et $35 = 5 \times 7$, donc $PGCD(15 ; 35) = PGCD(35 ; 15) = 5$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : $PGCD(24 ; 36) = 8$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$.
Les facteurs communs sont $2$ et $3$. Pour chaque facteur, on retient le plus petit exposant :
— pour $2$ : les exposants sont $3$ et $2$, on retient $2^2$ ;
— pour $3$ : les exposants sont $1$ et $2$, on retient $3^1 = 3$.
Donc $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$, et non $8$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de prendre $8$ car $24 = 8 \times 3$, en oubliant de vérifier que $8$ divise aussi $36$ — or $36 = 8 \times 4 + 4$, donc $8$ ne divise pas $36$.
On décompose : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$.
Pour chaque facteur commun, on retient le plus petit exposant.
Donc $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$, et non $8$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En décomposant : $24 = 2^3 \times 3$ et $36 = 2^2 \times 3^2$. On retient les plus petits exposants : $PGCD(24 ; 36) = 2^2 \times 3 = 12$, pas $8$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : La fraction $\dfrac{35}{56}$ est irréductible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$.
Le facteur commun est $7$, donc $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$.
La fraction n'est donc pas irréductible : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{35 \div 7}{56 \div 7} = \dfrac{5}{8}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de ne pas reconnaître $7$ comme facteur commun car $35$ et $56$ ne semblent pas avoir de lien évident.
On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$.
Le facteur $7$ est commun aux deux, donc $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$.
La fraction se simplifie : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{35 \div 7}{56 \div 7} = \dfrac{5}{8}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $56 = 2^3 \times 7$. Comme $PGCD(35 ; 56) = 7 \neq 1$, la fraction n'est pas irréductible : $\dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $b$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le PGCD de $a$ et $b$ divise toujours les deux nombres.
Si $PGCD(a ; b) = a$, cela signifie en particulier que $a$ divise $b$.
Exemple : $PGCD(4 ; 12) = 4$, et effectivement $4$ divise $12$ car $12 = 4 \times 3$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est d'oublier que le PGCD divise toujours les deux nombres : si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $a$ (trivial) et $a$ divise $b$.
Le PGCD de $a$ et $b$ divise toujours les deux nombres.
Exemple : $PGCD(3 ; 15) = 3$, et $3$ divise bien $15$ car $15 = 3 \times 5$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par définition, le PGCD de $a$ et $b$ divise les deux nombres. Si $PGCD(a ; b) = a$, alors $a$ divise $b$. Exemple : $PGCD(4 ; 12) = 4$ et $4 | 12$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Pour simplifier $\dfrac{60}{90}$, on divise par $5$ et on obtient $\dfrac{12}{18}$, qui est irréductible.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Diviser par $5$ simplifie bien la fraction, mais $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible.
En effet, $12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$, donc $PGCD(12 ; 18) = 6 \neq 1$ : on peut encore simplifier.
Pour obtenir une fraction irréductible en une seule étape, il faut diviser par le PGCD.
Ici $PGCD(60 ; 90) = 30$, donc $\dfrac{60}{90} = \dfrac{60 \div 30}{90 \div 30} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur fréquente est de s'arrêter à la première simplification sans vérifier que la fraction obtenue est bien irréductible.
Diviser par $5$ simplifie bien la fraction, mais $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible.
En effet, $PGCD(12 ; 18) = 6 \neq 1$ : on peut encore simplifier.
Ici $PGCD(60 ; 90) = 30$, donc $\dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Diviser par $5$ ne suffit pas : $\dfrac{12}{18}$ n'est pas irréductible car $PGCD(12 ; 18) = 6$. Il faut diviser par $PGCD(60 ; 90) = 30$ pour obtenir $\dfrac{2}{3}$.
[/solution]
[/etape]
[etape]
Affirmation : Deux nombres premiers distincts sont toujours premiers entre eux.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$.
Si $q$ est un autre nombre premier différent de $p$, alors $p$ ne divise pas $q$ et $q$ ne divise pas $p$.
Leur seul diviseur commun est donc $1$ : ils sont premiers entre eux.
Exemple : $PGCD(7 ; 13) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
L'erreur fréquente est de confondre « nombre premier » (deux diviseurs : $1$ et lui-même) avec « nombres premiers entre eux » (PGCD égal à $1$) — deux nombres premiers distincts sont bien premiers entre eux.
Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$.
Si $q$ est un autre nombre premier différent de $p$, leur seul diviseur commun est $1$.
Exemple : $PGCD(7 ; 13) = 1$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Les seuls diviseurs d'un nombre premier $p$ sont $1$ et $p$. Deux nombres premiers distincts $p$ et $q$ n'ont donc que $1$ comme diviseur commun : $PGCD(p ; q) = 1$.
[/solution]
[/etape]