Retrouver un prix avant hausse

[enonce]
Un magasin de sport a augmenté le prix d'un vélo de $12\%$. Le vélo est désormais affiché à $336$ €.
On cherche à retrouver le prix du vélo avant l'augmentation.
[/enonce]

[etape]
Calculer le coefficient multiplicateur associé à cette hausse.
$CM = $ [[cm]]
[math id="cm" attendu="1.12"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour une hausse de $12\%$, le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + \dfrac{12}{100} = 1{,}12$.[/reponse]
[reponse motif="0.12"]Non.
$0{,}12$ correspond à $\dfrac{12}{100}$, c'est la proportion, pas le coefficient multiplicateur.
Il faut ajouter $1$ pour obtenir le CM.[/reponse]
[reponse motif="0.88"]Attention, $0{,}88 = 1 - 0{,}12$.
Ce serait le CM d'une baisse de $12\%$. Ici, c'est une hausse.[/reponse]
[reponse motif="12"]Non.
Le CM n'est pas le pourcentage lui-même. Il faut convertir le pourcentage en nombre décimal et l'ajouter à $1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour une hausse de $t\%$ : $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Pour une hausse de $t\%$, le CM s'écrit $1 + \dfrac{t}{100}$.[/aide]
[aide essai="3"]$CM = 1 + \dfrac{12}{100} = 1 + 0{,}12$.[/aide]
[/math]
[solution]$CM = 1 + \dfrac{12}{100} = 1{,}12$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On sait que $V_1 = CM \times V_0$. Pour retrouver le prix initial $V_0$, quelle opération effectuer sur le prix final ?
[qcm]
[option]Soustraire $12\%$ du prix final[/option]
[option]Multiplier le prix final par $CM$[/option]
[option correct="true"]Diviser le prix final par $CM$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
De $V_1 = CM \times V_0$, on tire $V_0 = \dfrac{V_1}{CM}$.
On divise le prix final par le coefficient multiplicateur.[/reponse]
[reponse motif="Soustraire $12\%$ du prix final"]Attention, c'est l'erreur classique !
$12\%$ du prix final, ce n'est pas la même chose que $12\%$ du prix initial.
L'augmentation de $12\%$ a été calculée sur $V_0$, pas sur $V_1$.[/reponse]
[reponse motif="Multiplier le prix final par $CM$"]Non.
Multiplier par le CM appliquerait une deuxième augmentation. On cherche à remonter vers la valeur initiale, pas à augmenter encore.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
De la relation $V_1 = CM \times V_0$, isoler $V_0$ en passant le CM de l'autre côté de l'égalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Calculer le prix initial du vélo.
$V_0 = $ [[v0]] €
[math id="v0" attendu="300"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$V_0 = \dfrac{336}{1{,}12} = 300$ €.
Le vélo coûtait $300$ € avant la hausse de $12\%$.[/reponse]
[reponse motif="295.68"]C'est l'erreur signalée à l'étape précédente : soustraire $12\%$ du prix final.
$336 - 336 \times 0{,}12 = 336 - 40{,}32 = 295{,}68$.
Mais les $12\%$ portent sur le prix initial, pas sur $336$ €. Il faut diviser par le CM.[/reponse]
[reponse motif="376.32"]Non.
$376{,}32 = 336 \times 1{,}12$. Attention, il fallait diviser, pas multiplier.
Le prix initial est inférieur au prix final puisqu'il y a eu une hausse.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$V_0 = \dfrac{V_1}{CM}$. Effectuer la division $\dfrac{336}{1{,}12}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$V_0 = \dfrac{V_1}{CM} = \dfrac{336}{1{,}12}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{336}{1{,}12} = \dfrac{33\,600}{112}$. Simplifier cette fraction.[/aide]
[/math]
[solution]$V_0 = \dfrac{336}{1{,}12} = \dfrac{33\,600}{112} = 300$ €.[/solution]
[/etape]

[etape]
Pour vérifier, calculer le montant de la hausse de $12\%$ appliquée au prix initial.
Montant de la hausse = [[verif]] €
[math id="verif" attendu="36"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$300 \times 0{,}12 = 36$ €.
Vérification : $300 + 36 = 336$ €, on retrouve bien le prix affiché.[/reponse]
[reponse motif="40.32"]Non.
$40{,}32 = 336 \times 0{,}12$. Les $12\%$ s'appliquent au prix initial, pas au prix final.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le montant de la hausse est $V_0 \times \dfrac{12}{100}$.[/reponse]
[aide essai="2"]Le montant de la hausse est $V_0 \times \dfrac{12}{100}$, avec $V_0$ trouvé à l'étape précédente.[/aide]
[aide essai="3"]Calculer $300 \times 0{,}12$.[/aide]
[/math]
[solution]$300 \times 0{,}12 = 36$ €, et $300 + 36 = 336$ € : c'est cohérent.[/solution]
[/etape]

[etape]
Un ami affirme : « Pour retrouver le prix initial, il suffit de soustraire $12\%$ de $336$ €, soit $336 - 40{,}32 = 295{,}68$ € ». Que penser de ce raisonnement ?
[qcm]
[option correct="true"]Il est faux car les $12\%$ de hausse ont été calculés sur le prix initial, pas sur $336$ €[/option]
[option]Il est correct, $295{,}68$ € est le bon prix initial[/option]
[option]Il est faux car il faut ajouter $12\%$ au lieu de les soustraire[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La hausse de $12\%$ porte sur le prix initial ($300$ €), ce qui donne $300 \times 0{,}12 = 36$ €.
Mais $12\%$ du prix final donnerait $336 \times 0{,}12 = 40{,}32$ €, un montant différent.
C'est pour cela qu'on divise par le CM au lieu de soustraire le pourcentage.[/reponse]
[reponse motif="Il est correct, $295{,}68$ € est le bon prix initial"]Non.
Vérification : $295{,}68 \times 1{,}12 = 331{,}16$ €, ce qui ne donne pas $336$ €.
Le prix initial correct est celui trouvé par division : $\dfrac{336}{1{,}12}$.[/reponse]
[reponse motif="Il est faux car il faut ajouter $12\%$ au lieu de les soustraire"]Non.
Ajouter $12\%$ augmenterait encore le prix. Le problème n'est pas le sens de l'opération, mais le fait que les $12\%$ ne portent pas sur la bonne valeur.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
L'erreur vient du fait que $12\%$ de $336$ € est différent de $12\%$ de $300$ €, car les pourcentages sont relatifs à la valeur de référence.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Proportions et parts en pourcentage

[enonce]
Ce QCM porte sur les proportions et parts en pourcentage. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Dans un lycée de 500 élèves, 60% sont en Seconde. Parmi les Secondes, 25% suivent l'option Arts. Quel pourcentage de l'ensemble du lycée les Secondes suivant l'option Arts représentent-ils ?
[qcm]
[option]$85\%$[/option]
[option]$35\%$[/option]
[option]$25\%$[/option]
[option correct="true"]$15\%$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On calcule un pourcentage de pourcentage : $\dfrac{60}{100} \times \dfrac{25}{100} = \dfrac{1\,500}{10\,000} = \dfrac{15}{100} = 15\%$.
On peut vérifier : 60% de 500 = 300 Secondes, puis 25% de 300 = 75 élèves, et $\dfrac{75}{500} = 0{,}15 = 15\%$.[/reponse]
[reponse motif="$85\%$"]Non.
Additionner deux pourcentages portant sur des ensembles différents n'a pas de sens. Il faut multiplier les proportions entre elles.[/reponse]
[reponse motif="$35\%$"]Non.
Soustraire les pourcentages ne donne pas le résultat cherché. On doit multiplier les proportions car il s'agit d'un pourcentage de pourcentage.[/reponse]
[reponse motif="$25\%$"]Non.
Les 25% s'appliquent aux élèves de Seconde, pas à l'ensemble du lycée. Il faut d'abord déterminer combien de Secondes il y a, puis prendre 25% de ce sous-ensemble.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour calculer un pourcentage de pourcentage, on multiplie les proportions entre elles.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{60}{100} \times \dfrac{25}{100} = \dfrac{15}{100} = 15\%$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Calculer $7{,}5\%$ de $240$.
[qcm]
[option]$180$[/option]
[option correct="true"]$18$[/option]
[option]$1\,800$[/option]
[option]$1{,}8$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$7{,}5\%$ de $240$ se calcule par $240 \times \dfrac{7{,}5}{100} = 240 \times 0{,}075 = 18$.[/reponse]
[reponse motif="$180$"]Non.
Attention au placement de la virgule. On a confondu $7{,}5\%$ avec $75\%$. Diviser par 100, c'est décaler la virgule de deux rangs vers la gauche : $7{,}5\%$ vaut $0{,}075$.[/reponse]
[reponse motif="$1\,800$"]Non.
Il manque la division par 100. On a calculé $240 \times 7{,}5$ au lieu de $240 \times \dfrac{7{,}5}{100}$.[/reponse]
[reponse motif="$1{,}8$"]Non.
La virgule a été décalée d'un rang de trop. Prendre $7{,}5\%$, c'est multiplier par $0{,}075$ (et non par $0{,}0075$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Prendre $7{,}5\%$ d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par $\dfrac{7{,}5}{100} = 0{,}075$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$240 \times 0{,}075 = 18$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un collège de 600 élèves compte 150 élèves en 3e. Parmi eux, 90 choisissent l'allemand. Quel pourcentage des élèves de 3e choisit l'allemand ?
[qcm]
[option]$15\%$[/option]
[option]$25\%$[/option]
[option correct="true"]$60\%$[/option]
[option]$40\%$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On divise la partie par l'ensemble de référence : $\dfrac{90}{150} = 0{,}6 = 60\%$.
L'ensemble de référence est bien les 150 élèves de 3e (pas les 600 élèves du collège).[/reponse]
[reponse motif="$15\%$"]Non.
Attention à l'ensemble de référence. On a divisé par le nombre total d'élèves du collège (600), mais la question porte sur le pourcentage parmi les élèves de 3e (150).[/reponse]
[reponse motif="$25\%$"]Non.
Ce résultat correspond à $\dfrac{150}{600}$, c'est-à-dire la part des 3e dans le collège. Ce n'est pas ce que la question demande. Relire attentivement l'ensemble de référence.[/reponse]
[reponse motif="$40\%$"]Non.
On a peut-être calculé le complémentaire : $\dfrac{150 - 90}{150} = 40\%$ donne le pourcentage de 3e qui ne choisissent pas l'allemand. Relire la question.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Identifier l'ensemble de référence : on cherche un pourcentage parmi les élèves de 3e, donc on divise 90 par 150.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$\dfrac{90}{150} = 0{,}6 = 60\%$ des élèves de 3e choisissent l'allemand.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Parmi ces quatre nombres, lequel est égal à $4{,}5\%$ ?
[qcm]
[option]$0{,}45$[/option]
[option]$4{,}5$[/option]
[option]$0{,}0045$[/option]
[option correct="true"]$0{,}045$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$4{,}5\% = \dfrac{4{,}5}{100} = 0{,}045$.
On décale la virgule de deux rangs vers la gauche.[/reponse]
[reponse motif="$0{,}45$"]Non.
La virgule n'a été décalée que d'un rang. Pour passer de $4{,}5$ à un pourcentage, il faut diviser par $100$ (deux rangs vers la gauche), pas par $10$.[/reponse]
[reponse motif="$4{,}5$"]Non.
On a oublié de diviser par 100. $4{,}5\%$ ne vaut pas $4{,}5$ : le symbole $\%$ signifie « pour cent », c'est-à-dire « divisé par 100 ».[/reponse]
[reponse motif="$0{,}0045$"]Non.
La virgule a été décalée d'un rang de trop. Diviser par 100 déplace la virgule de deux rangs, pas de trois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$4{,}5\%$ signifie $\dfrac{4{,}5}{100}$. Décaler la virgule de deux rangs vers la gauche.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$4{,}5\% = \dfrac{4{,}5}{100} = 0{,}045$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
$35\%$ d'un nombre donnent $84$. Quel est ce nombre ?
[qcm]
[option]$29{,}4$[/option]
[option correct="true"]$240$[/option]
[option]$294$[/option]
[option]$49$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Si $35\%$ d'un nombre $N$ donnent $84$, alors $\dfrac{35}{100} \times N = 84$, d'où $N = \dfrac{84}{0{,}35} = 240$.[/reponse]
[reponse motif="$29{,}4$"]Non.
On a multiplié au lieu de diviser. Quand on connait la part et le pourcentage, on retrouve le total en divisant : $\dfrac{84}{0{,}35}$, pas $84 \times 0{,}35$.[/reponse]
[reponse motif="$294$"]Non.
Le calcul $84 \times 3{,}5$ oublie la division par 100. La bonne opération est $\dfrac{84 \times 100}{35}$.[/reponse]
[reponse motif="$49$"]Non.
On a soustrait au lieu de diviser. Pour retrouver un total à partir d'une part en pourcentage, on divise la part par le taux décimal.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Si $35\%$ de $N$ donnent $84$, alors $N = \dfrac{84}{0{,}35}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
$N = \dfrac{84}{0{,}35} = \dfrac{84 \times 100}{35} = \dfrac{8\,400}{35} = 240$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Quel est le montant de la TVA à $20\%$ sur un article hors taxe à $145$€ ?
[qcm]
[option]$174$€[/option]
[option]$7{,}25$€[/option]
[option correct="true"]$29$€[/option]
[option]$116$€[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
La TVA représente $20\%$ du prix HT : $145 \times \dfrac{20}{100} = 145 \times 0{,}20 = 29$€.[/reponse]
[reponse motif="$174$€"]Non.
$174$€ est le prix TTC ($145 \times 1{,}20$), mais la question demande le montant de la TVA, pas le prix total. La TVA est la différence entre le prix TTC et le prix HT.[/reponse]
[reponse motif="$7{,}25$€"]Non.
On a divisé $145$ par $20$ au lieu de multiplier par $\dfrac{20}{100}$. Prendre 20% d'un nombre, c'est le multiplier par $0{,}20$.[/reponse]
[reponse motif="$116$€"]Non.
On a calculé $145 \times 0{,}80$, ce qui correspond à une réduction de 20%. Or la TVA s'ajoute au prix HT. La TVA elle-même vaut $145 \times 0{,}20$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La TVA est $20\%$ du prix HT, soit $145 \times 0{,}20$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
TVA $= 145 \times 0{,}20 = 29$€. Le prix TTC serait $145 + 29 = 174$€.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Taux réciproque et valeur initiale

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les taux réciproques et la recherche de valeur initiale, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Le prix d'un article a baissé de 40%.

Affirmation : Pour retrouver le prix initial, il suffit d'augmenter le prix actuel de 40%.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Après une baisse de 40%, le coefficient est 0,6. Pour revenir au prix initial : $\dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}667$, soit une hausse d'environ 66,7%, pas de 40%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La hausse de 40% porterait sur le prix déjà réduit, et non sur le prix initial. Pour retrouver le prix d'origine, il faut diviser par le coefficient de baisse.
$0{,}6 \times 1{,}4 = 0{,}84 \neq 1$. Il faut en réalité une hausse d'environ 66,7%.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le taux réciproque d'une baisse de 40% est $\dfrac{1}{0{,}6} - 1 \approx 66{,}7\%$, pas 40%.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'un objet a doublé (augmentation de 100%).

Affirmation : Le taux réciproque est une baisse de 50%.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Après une hausse de 100%, le coefficient est 2. Le coefficient réciproque est $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, soit une baisse de 50%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le coefficient d'une hausse de 100% est 2. Pour revenir au prix initial : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, soit une baisse de $1 - 0{,}5 = 0{,}5 = 50\%$.
On vérifie : $2 \times 0{,}5 = 1$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Le coefficient réciproque de 2 est $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$, soit une baisse de 50%.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un article coûte 63 € après une baisse de 30%.

Affirmation : Son prix initial était 90 €.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le coefficient de baisse de 30% est 0,7. Le prix initial est $\dfrac{63}{0{,}7} = 90$ €.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Pour retrouver le prix initial, on divise le prix final par le coefficient multiplicateur (pas par le pourcentage).
$\dfrac{63}{0{,}7} = 90$ €. On vérifie : $90 \times 0{,}7 = 63$ €.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{63}{0{,}7} = 90$ €.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Un article coûte 150 € après une hausse de 25%.

Affirmation : Son prix initial était 112,50 €.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Le coefficient de hausse de 25% est 1,25. Le prix initial est $\dfrac{150}{1{,}25} = 120$ €, et non 112,50 €.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
L'erreur est de calculer $150 \times 0{,}75 = 112{,}50$, c'est-à-dire de retirer 25% au prix final. Or on ne « défait » pas une hausse en soustrayant le même pourcentage.
Le prix initial est $\dfrac{150}{1{,}25} = 120$ €.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Le prix initial est $\dfrac{150}{1{,}25} = 120$ €, pas $112{,}50$ €.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le prix d'un objet a augmenté de 25%.

Affirmation : Pour retrouver le prix initial, il faut appliquer une baisse de 20%.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Le coefficient de hausse de 25% est 1,25. Le coefficient réciproque est $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de 20%.
$1{,}25 \times 0{,}8 = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le taux réciproque n'est pas le même que le taux initial. Après une hausse de 25% (coefficient 1,25), le coefficient réciproque est $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$.
$1 - 0{,}8 = 0{,}2 = 20\%$. Il faut bien une baisse de 20%, pas de 25%.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de 20%. Vérification : $1{,}25 \times 0{,}8 = 1$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Le coefficient multiplicateur global de deux évolutions identiques est 1,44.

Affirmation : Chaque évolution est une hausse de 22%.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Si deux évolutions identiques donnent un CM global de 1,44, alors chaque CM vaut $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, soit une hausse de 20%, pas de 22%.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de diviser 44% par 2 pour obtenir 22%. Or les coefficients se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Si $CM^2 = 1{,}44$, alors $CM = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, soit une hausse de 20%. On vérifie : $1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Chaque CM vaut $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, soit une hausse de $20\%$, pas $22\%$.
[/solution]
[/etape]

Retrouver le prix avant les soldes

Pendant les soldes d'hiver, un magasin de vêtements applique une réduction de 30 % sur l'ensemble de ses articles.

Déterminer le coefficient multiplicateur correspondant à une réduction de 30 %.
Après réduction, une veste est affichée à 59,50 €. Retrouver son prix initial (avant les soldes).
Un client affirme : « Pour retrouver le prix initial, il suffit d'ajouter 30 % au prix soldé. » A-t-il raison ? Justifier par un calcul.

Corrigé

Une réduction de 30 % correspond au coefficient multiplicateur :

$CM = 1 - \dfrac{30}{100} = $ $\mathbf{0{,}70}$
On sait que le prix soldé est obtenu en multipliant le prix initial par le CM :

$\text{Prix soldé} = \text{Prix initial} \times CM$

Pour retrouver le prix initial, on divise le prix soldé par le CM :

$\text{Prix initial} = \dfrac{\text{Prix soldé}}{CM} = \dfrac{59{,}50}{0{,}70} = $ $85$ €

Vérification : $85 \times 0{,}70 = 59{,}50$ €.
Calculons 30 % du prix soldé : $59{,}50 \times 0{,}30 = 17{,}85$ €.

En ajoutant : $59{,}50 + 17{,}85 = 77{,}35$ €.

Or le prix initial est de 85 €. Le client a donc tort.

Son erreur est d'appliquer 30 % au prix soldé (59,50 €) alors que la réduction de 30 % avait été calculée sur le prix initial (85 €). Les 30 % ne portent pas sur le même montant : pour retrouver le prix d'origine, il faut diviser par le coefficient multiplicateur, et non ajouter le même pourcentage.

Pour réviser : Retrouver une valeur initiale (prix de départ)