PPCM – Circuits d’entraînement sportif – Brevet Centres étrangers 2024

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d'entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

un circuit commence à l'exercice 1 et se termine en revenant à l'exercice 1 ;
le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure 40 secondes et doit être suivi de 16 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant ;
le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure 30 secondes et doit être suivi de 5 secondes de repos permettant de se rendre à l'exercice suivant.

Deux circuits d'entraînement représentés par des cercles. Circuit 1 : cinq exercices numérotés 1 à 5 disposés en pentagone, départ et arrivée à l'exercice 1. Circuit 2 : dix exercices numérotés 1 à 10 disposés en décagone, départ et arrivée à l'exercice 1.

Montrer que le circuit 1 s'effectue en 280 secondes et que le circuit 2 s'effectue en 350 secondes.
Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 280 et de 350.
Une séance d'entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit.

Au coup de sifflet de l'entraîneur, Camille commence une séance d'entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.
1. Expliquer pourquoi, lorsque 2 800 secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1.
  
  Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque 2 800 secondes se sont écoulées.
2. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.

Corrigé

Circuit 1 : 5 exercices de 40 s chacun, suivis chacun de 16 s de repos (y compris le dernier, pour revenir à l'exercice 1).

$ T_1 = 5 \times 40 + 5 \times 16 = 200 + 80 = 280 $ secondes.

Circuit 2 : 10 exercices de 30 s chacun, suivis chacun de 5 s de repos.

$ T_2 = 10 \times 30 + 10 \times 5 = 300 + 50 = 350 $ secondes.

Le circuit 1 dure bien 280 s et le circuit 2 dure bien 350 s.
On décompose chaque nombre par divisions successives par les nombres premiers.

Pour 280 : $ 280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 $.

$ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $

Pour 350 : $ 350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7 $.

$ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $
1. On effectue la division euclidienne de 2 800 par 280 :
  
  $ 2\,800 = 280 \times 10 $.
  
  Camille a donc parcouru exactement 10 tours complets du circuit 1 : elle se retrouve au départ du circuit 1.
  
  De même, on divise 2 800 par 350 :
  
  $ 2\,800 = 350 \times 8 $.
  
  Dominique a donc parcouru exactement 8 tours complets du circuit 2 : elle se retrouve elle aussi au départ du circuit 2.
2. On cherche le plus petit nombre $ N $ qui soit à la fois un multiple de 280 et de 350 : c'est le PPCM de 280 et 350.
  
  À partir des décompositions précédentes :
  
  $ 280 = 2^3 \times 5 \times 7 $ et $ 350 = 2 \times 5^2 \times 7 $.
  
  Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier à la puissance la plus élevée :
  
  $ \text{PPCM}(280\,;\,350) = 2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400 $.
  
  Au bout de 1 400 secondes, Camille et Dominique se retrouveront pour la première fois ensemble au départ de leur circuit.
  
  On convertit 1 400 secondes en minutes et secondes :
  
  $ 1\,400 = 23 \times 60 + 20 $.
  
  Camille et Dominique se retrouvent au départ pour la première fois après 23 minutes et 20 secondes.

QCM : Conjonction de phénomènes et PPCM

[enonce]
Dans ce QCM, chaque question met en jeu le PPCM dans des situations de conjonction de phénomènes périodiques. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Un gyrophare bleu clignote toutes les $6$ secondes et un gyrophare rouge toutes les $8$ secondes. Ils clignotent ensemble à $t = 0$. Au bout de combien de secondes clignotent-ils à nouveau ensemble pour la première fois ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option correct="true"]$24$[/option]
[option]$48$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La première coïncidence se produit au bout de $PPCM(6, 8)$ secondes.
$6 = 2 \times 3$ et $8 = 2^3$, donc $PPCM(6, 8) = 2^3 \times 3 = 24$ secondes.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
À $t = 12$ s : le bleu clignote ($12 \div 6 = 2$, entier), mais le rouge non ($12 \div 8 = 1{,}5$, pas entier).
La première coïncidence a lieu à $PPCM(6, 8) = 24$ secondes.[/reponse]
[reponse motif="$48$"]Non.
$48$ est un multiple commun de $6$ et de $8$, mais pas le plus petit.
$PPCM(6, 8) = 24$ : la première coïncidence a lieu à $24$ s, pas $48$ s.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
À $t = 6$ s : le bleu clignote ($6 \div 6 = 1$, entier), mais le rouge non ($6 \div 8$ n'est pas entier).
Le premier moment de coïncidence est $PPCM(6, 8) = 24$ s.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche le plus petit multiple commun à $6$ et $8$, c'est-à-dire $PPCM(6, 8)$.
$6 = 2 \times 3$ et $8 = 2^3$, donc $PPCM = 2^3 \times 3 = 24$ secondes.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PPCM(15, 20)$ ?
[qcm]
[option]$30$[/option]
[option correct="true"]$60$[/option]
[option]$300$[/option]
[option]$40$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$15 = 3 \times 5$ et $20 = 2^2 \times 5$.
$PPCM(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.[/reponse]
[reponse motif="$30$"]Non.
$30 \div 15 = 2$ (entier), mais $30 \div 20 = 1{,}5$, qui n'est pas un entier.
$30$ n'est donc pas un multiple de $20$. $PPCM(15, 20) = 60$.[/reponse]
[reponse motif="$300$"]Non.
$300 = 15 \times 20$ est un multiple commun, mais pas le plus petit.
$PPCM(15, 20) = 60$ : on a $60 \div 15 = 4$ et $60 \div 20 = 3$, tous deux entiers.[/reponse]
[reponse motif="$40$"]Non.
$40 \div 15$ n'est pas un entier, donc $40$ n'est pas un multiple de $15$.
$PPCM(15, 20) = 60$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$15 = 3 \times 5$ et $20 = 2^2 \times 5$.
Le PPCM est le produit des facteurs premiers avec les exposants les plus élevés : $PPCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 60$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux bus partent ensemble d'un terminus à $8$h$00$. Le premier fait un aller-retour toutes les $12$ minutes, le second toutes les $18$ minutes. À quelle heure repartent-ils ensemble du terminus pour la première fois ?
[qcm]
[option]$8$h$18$[/option]
[option]$8$h$24$[/option]
[option]$8$h$30$[/option]
[option correct="true"]$8$h$36$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$12 = 2^2 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$.
$PPCM(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 36$ minutes.
Ils repartent ensemble à $8$h$00 + 36$ min $= 8$h$36$.[/reponse]
[reponse motif="$8$h$18$"]Non.
À $8$h$18$ ($+18$ min) : le second bus repart ($18 \div 18 = 1$, entier), mais le premier non ($18 \div 12 = 1{,}5$, pas entier).
Le premier départ commun est à $8$h$00 + PPCM(12, 18) = 8$h$36$.[/reponse]
[reponse motif="$8$h$24$"]Non.
À $8$h$24$ ($+24$ min) : le premier bus repart ($24 \div 12 = 2$, entier), mais le second non ($24 \div 18 = 1{,}33\ldots$, pas entier).
$PPCM(12, 18) = 36$ min : la coïncidence a lieu à $8$h$36$.[/reponse]
[reponse motif="$8$h$30$"]Non.
$30 \div 12 = 2{,}5$, pas entier : à $8$h$30$, le premier bus n'est pas au terminus.
$PPCM(12, 18) = 36$ min : les deux bus repartent ensemble à $8$h$36$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $PPCM(12, 18)$.
$12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$, donc $PPCM = 2^2 \times 3^2 = 36$ min.
Les bus repartent ensemble à $8$h$00 + 36$ min $= 8$h$36$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une fontaine s'allume toutes les $10$ minutes et une autre toutes les $15$ minutes. Elles s'allument toutes les deux ensemble à $9$h$00$. Combien de fois s'allument-elles ensemble entre $9$h$00$ et $10$h$00$ (les deux bornes incluses) ?
[qcm]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PPCM(10, 15) = 30$ minutes ($10 = 2 \times 5$, $15 = 3 \times 5$, $PPCM = 2 \times 3 \times 5 = 30$).
Elles s'allument ensemble à $9$h$00$, $9$h$30$ et $10$h$00$ : soit $3$ fois.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
L'erreur est d'oublier l'un des instants de coïncidence (souvent $10$h$00$).
$PPCM(10, 15) = 30$ min : les allumages simultanés ont lieu à $9$h$00$, $9$h$30$ et $10$h$00$, soit $3$ fois.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$PPCM(10, 15) = 30$ min : entre $9$h$00$ et $10$h$00$ ($60$ min), il y a deux intervalles de $30$ min, soit $3$ instants de coïncidence ($9$h$00$, $9$h$30$, $10$h$00$) et non $4$.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ serait le nombre d'allumages de la fontaine de $10$ min entre $9$h$00$ et $10$h$00$.
Mais la question porte sur les allumages simultanés, qui ont lieu toutes les $PPCM(10, 15) = 30$ min : à $9$h$00$, $9$h$30$, $10$h$00$, soit $3$ fois.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PPCM(10, 15) = 30$ min.
Entre $9$h$00$ et $10$h$00$ ($60$ min au total), les fontaines s'allument ensemble à $9$h$00$, $9$h$30$ et $10$h$00$ : $3$ fois.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ a-t-on $PPCM(a, b) = a \times b$ ?
[qcm]
[option]Lorsque $a$ divise $b$[/option]
[option correct="true"]Lorsque $PGCD(a, b) = 1$[/option]
[option]Lorsque $a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers distincts[/option]
[option]Lorsque $a = b$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La relation $PPCM(a, b) \times PGCD(a, b) = a \times b$ est toujours vraie.
Donc $PPCM(a, b) = a \times b$ si et seulement si $PGCD(a, b) = 1$, c'est-à-dire quand $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Exemple : $PPCM(8, 9) = 72 = 8 \times 9$ car $PGCD(8, 9) = 1$.[/reponse]
[reponse motif="Lorsque $a$ divise $b$"]Non.
Si $a$ divise $b$, alors $PPCM(a, b) = b$, pas $a \times b$.
Exemple : $a = 4$, $b = 8$ : $PPCM(4, 8) = 8 \neq 4 \times 8 = 32$.
La bonne condition est $PGCD(a, b) = 1$.[/reponse]
[reponse motif="Lorsque $a$ et $b$ sont tous les deux des nombres premiers distincts"]Non.
Si $a$ et $b$ sont deux nombres premiers distincts, alors $PGCD(a, b) = 1$ et $PPCM(a, b) = a \times b$ — c'est vrai dans ce cas, mais ce n'est pas la condition la plus générale.
La condition exacte est $PGCD(a, b) = 1$ (premiers entre eux), ce qui inclut des cas comme $a = 4$, $b = 9$.[/reponse]
[reponse motif="Lorsque $a = b$"]Non.
Si $a = b$, alors $PPCM(a, a) = a \neq a^2 = a \times a$ (sauf si $a = 1$).
La condition est $PGCD(a, b) = 1$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a toujours $PPCM(a, b) \times PGCD(a, b) = a \times b$.
Donc $PPCM(a, b) = a \times b$ si et seulement si $PGCD(a, b) = 1$ ($a$ et $b$ premiers entre eux).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Paul fait du vélo tous les $4$ jours et de la natation tous les $6$ jours. Il pratique les deux sports le $1^{er}$ janvier. Quel est le prochain jour où il pratiquera les deux sports le même jour ?
[qcm]
[option]$7$ janvier[/option]
[option]$10$ janvier[/option]
[option correct="true"]$13$ janvier[/option]
[option]$25$ janvier[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PPCM(4, 6) = 12$ ($4 = 2^2$, $6 = 2 \times 3$, $PPCM = 2^2 \times 3 = 12$).
Le prochain jour de coïncidence est $12$ jours après le $1^{er}$ janvier, soit le $13$ janvier.[/reponse]
[reponse motif="$7$ janvier"]Non.
Le $7$ janvier est $6$ jours après le $1^{er}$ janvier. Or $6 \div 4 = 1{,}5$ : Paul ne fait pas de vélo ce jour-là.
La coïncidence a lieu tous les $PPCM(4, 6) = 12$ jours, soit le $13$ janvier.[/reponse]
[reponse motif="$10$ janvier"]Non.
Le $10$ janvier est $9$ jours après le $1^{er}$ janvier. Or $9 \div 4 = 2{,}25$ : Paul ne fait pas de vélo ce jour-là.
La prochaine coïncidence est $PPCM(4, 6) = 12$ jours plus tard, soit le $13$ janvier.[/reponse]
[reponse motif="$25$ janvier"]Non.
$PPCM(4, 6) = 12$ jours, pas $24$.
Le prochain jour de coïncidence est $12$ jours après le $1^{er}$ janvier, soit le $13$ janvier (pas le $25$).[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$PPCM(4, 6) = 12$ jours : c'est la fréquence des coïncidences.
$1^{er}$ janvier $+ 12$ jours $= 13$ janvier.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM Bilan : Division euclidienne, PGCD et PPCM

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : division euclidienne, décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est le reste de la division euclidienne de $247$ par $15$ ?
[qcm]
[option]$5$[/option]
[option correct="true"]$7$[/option]
[option]$12$[/option]
[option]$2$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
On a donc $247 = 15 \times 16 + 7$, avec $0 \leqslant 7 < 15$ : le reste est bien $7$.[/reponse]
[reponse motif="$5$"]Non.
Si le reste était $5$, on aurait $247 = 15 \times q + 5$ pour un certain $q$, soit $242 = 15 \times q$.
Or $242 \div 15 = 16{,}13\ldots$ : $q$ n'est pas entier. Le reste est $7$ (car $247 = 15 \times 16 + 7$).[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
L'erreur fréquente est de confondre le quotient et le reste.
$247 = 15 \times 16 + 7$ : le quotient est $16$ et le reste est $7$.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$, pas $2$.
Le reste de la division de $247$ par $15$ est $7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$15 \times 16 = 240$ et $247 - 240 = 7$.
La division euclidienne s'écrit $247 = 15 \times 16 + 7$ : le reste est $7$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Laquelle de ces écritures est la décomposition correcte de $126$ en produit de facteurs premiers ?
[qcm]
[option]$126 = 2 \times 63$[/option]
[option correct="true"]$126 = 2 \times 3^2 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2^2 \times 3 \times 7$[/option]
[option]$126 = 2 \times 3 \times 21$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Vérification : $2 \times 9 \times 7 = 126$ et tous les facteurs ($2$, $3$, $7$) sont bien des nombres premiers.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 63$"]Non.
$63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
Il faut continuer à décomposer : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2^2 \times 3 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84 \neq 126$.
La décomposition correcte de $126$ est $2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 9 \times 7 = 126$.[/reponse]
[reponse motif="$126 = 2 \times 3 \times 21$"]Non.
$21 = 3 \times 7$ n'est pas un nombre premier.
La décomposition doit s'arrêter uniquement sur des facteurs premiers : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposons $126$ étape par étape : $126 = 2 \times 63 = 2 \times 9 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
Tous les facteurs $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quelle est la valeur de $PGCD(180, 108)$ ?
[qcm]
[option]$12$[/option]
[option]$18$[/option]
[option correct="true"]$36$[/option]
[option]$9$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$12$"]Non.
$12$ divise bien $180$ et $108$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$ : $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[reponse motif="$18$"]Non.
$18$ est un diviseur commun de $180$ et $108$, mais pas le plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$ : on a $180 \div 36 = 5$ et $108 \div 36 = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$9$"]Non.
$9$ divise bien $180$ et $108$, mais il existe un diviseur commun plus grand.
$PGCD(180, 108) = 36$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ et $108 = 2^2 \times 3^3$.
Les facteurs premiers communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 36$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Deux équipes médicales interviennent dans un village. La première passe toutes les $14$ jours, la seconde toutes les $21$ jours. Elles interviennent ensemble le $1^{er}$ mars. Au bout de combien de jours interviendront-elles à nouveau ensemble pour la première fois ?
[qcm]
[option]$35$ jours[/option]
[option correct="true"]$42$ jours[/option]
[option]$28$ jours[/option]
[option]$63$ jours[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$14 = 2 \times 7$ et $21 = 3 \times 7$.
$PPCM(14, 21) = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.
La prochaine coïncidence aura lieu $42$ jours après le $1^{er}$ mars.[/reponse]
[reponse motif="$35$ jours"]Non.
$35 \div 14 = 2{,}5$, qui n'est pas un entier : la première équipe n'intervient pas au bout de $35$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours : c'est la bonne réponse.[/reponse]
[reponse motif="$28$ jours"]Non.
$28 \div 21 = 1{,}33\ldots$, qui n'est pas un entier : la seconde équipe n'intervient pas au bout de $28$ jours.
$PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse motif="$63$ jours"]Non.
$63$ est un multiple de $21$ ($63 = 21 \times 3$), mais pas de $14$ : $63 \div 14 = 4{,}5$ n'est pas un entier.
Ce n'est donc pas un multiple commun aux deux. La bonne réponse est $PPCM(14, 21) = 42$ jours.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On cherche $PPCM(14, 21)$.
$14 = 2 \times 7$, $21 = 3 \times 7$ : $PPCM = 2 \times 3 \times 7 = 42$ jours.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La fraction $\dfrac{252}{180}$ écrite sous forme irréductible est :
[qcm]
[option]$\dfrac{14}{10}$[/option]
[option]$\dfrac{63}{45}$[/option]
[option]$\dfrac{21}{15}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{7}{5}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$.
$PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{252 \div 36}{180 \div 36} = \dfrac{7}{5}$ et $PGCD(7, 5) = 1$ : la fraction est irréductible.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{14}{10}$"]Non.
$\dfrac{14}{10}$ s'obtient en divisant par $18$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(14, 10) = 2$.
Il faut diviser par le PGCD en entier : $PGCD(252, 180) = 36$, ce qui donne $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{63}{45}$"]Non.
$\dfrac{63}{45}$ s'obtient en divisant par $4$, mais ce n'est pas encore irréductible : $PGCD(63, 45) = 9$.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{21}{15}$"]Non.
$\dfrac{21}{15}$ s'obtient en divisant par $12$, mais $PGCD(21, 15) = 3 \neq 1$ : la fraction n'est pas encore irréductible.
$PGCD(252, 180) = 36$ : la fraction irréductible est $\dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ : les facteurs communs sont $2^2$ et $3^2$, donc $PGCD(252, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
$\dfrac{252}{180} = \dfrac{7}{5}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $a = 2^3 \times 3 \times 5$ et $b = 2^2 \times 3^2 \times 7$. Quelle est la valeur de $PGCD(a, b)$ ?
[qcm]
[option]$2^3 \times 3^2$[/option]
[option correct="true"]$2^2 \times 3$[/option]
[option]$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$[/option]
[option]$2 \times 3$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour trouver le PGCD, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2$ apparaît dans les deux : $\min(3, 2) = 2$, on prend $2^2$.
$3$ apparaît dans les deux : $\min(1, 2) = 1$, on prend $3$.
$5$ et $7$ ne sont pas communs.
Donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^3 \times 3^2$"]Non.
Pour le PGCD, on prend le plus petit exposant de chaque facteur commun, pas le plus grand.
$\min(3, 2) = 2$ pour le facteur $2$ et $\min(1, 2) = 1$ pour le facteur $3$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$"]Non.
$2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ serait le PPCM (on prend le plus grand exposant de chaque facteur), pas le PGCD.
Pour le PGCD, on ne garde que les facteurs communs avec le plus petit exposant : $2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse motif="$2 \times 3$"]Non.
$2 \times 3 = 6$ est bien un diviseur commun, mais ce n'est pas le plus grand.
Il faut prendre l'exposant minimum de chaque facteur commun : $\min(3, 2) = 2$ pour le $2$, donc $PGCD(a, b) = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour trouver le PGCD à partir des décompositions, on garde chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant.
$2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} = 2^2 \times 3 = 12$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Phares maritimes : résoudre un problème de conjonction

[enonce]
Deux phares maritimes clignotent simultanément.
Le phare A s'allume toutes les $6$ secondes, le phare B toutes les $10$ secondes.

Au bout de combien de secondes s'allument-ils à nouveau ensemble ?

Suivez les étapes pour résoudre ce problème.
[/enonce]

[etape]
Pour trouver au bout de combien de secondes les deux phares allument à nouveau ensemble, quelle valeur faut-il calculer ?
[qcm]
[option correct="true"]$PPCM(6 ; 10)$[/option]
[option]$PGCD(6 ; 10)$[/option]
[option]$6 + 10$[/option]
[option]$6 \times 10$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
La durée cherchée doit être un multiple de $6$ et un multiple de $10$.
On veut la plus courte durée possible : c'est le Plus Petit Commun Multiple, soit le $PPCM$.[/reponse]
[reponse motif="$PGCD(6 ; 10)$"]Non.
Le $PGCD$ sert dans les problèmes de partage (lots identiques).
Ici, les deux phares se répètent à intervalles réguliers : on cherche le premier instant où leurs rythmes coïncident, donc on utilise le $PPCM$.[/reponse]
[reponse motif="$6 + 10$"]Non.
La somme des deux périodes n'a pas de sens ici.
La durée cherchée doit être un multiple de $6$ et un multiple de $10$ : on calcule le $PPCM$.[/reponse]
[reponse motif="$6 \times 10$"]Non.
Le produit $6 \times 10 = 60$ est bien un multiple commun de $6$ et de $10$, mais ce n'est pas forcément le plus petit.
On cherche le plus petit multiple commun : le $PPCM$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
La durée cherchée doit être un multiple de $6$ et un multiple de $10$.
On veut la plus petite durée possible : c'est le $PPCM(6 ; 10)$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Décomposez $6$ en produit de facteurs premiers : $6 =$ [[a]]
[math id="a" attendu="2 \times 3" format="factorise"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$6 = 2 \times 3$[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la réponse doit être une décomposition en facteurs, pas un entier seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$6$ est pair, donc $2$ est un facteur.
Cherche ensuite : $6 \div 2 = ?$, est-ce un nombre premier ?[/reponse]
[aide essai="2"]$6$ est pair, donc divisible par $2$. Calculer $6 \div 2$ : le quotient est-il premier ?[/aide]
[/math]
[solution]$6 = 2 \times 3$[/solution]
[/etape]

[etape]
Décomposez $10$ en produit de facteurs premiers : $10 =$ [[b1]]
[math id="b1" attendu="2 \times 5" format="factorise"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$10 = 2 \times 5$[/reponse]
[reponse statut="format"]La valeur est juste, mais la réponse doit être une décomposition en facteurs, pas un entier seul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
$10$ est pair, donc $2$ est un facteur.
Cherche ensuite : $10 \div 2 = ?$, est-ce un nombre premier ?[/reponse]
[aide essai="2"]$10$ est pair, donc divisible par $2$. Calculer $10 \div 2$ : le quotient est-il premier ?[/aide]
[/math]
[solution]$10 = 2 \times 5$[/solution]
[/etape]

[etape]
On a obtenu : $6 = 2 \times 3$ et $10 = 2 \times 5$.

Pour calculer le $PPCM$ à partir des décompositions en facteurs premiers, quelle est la bonne méthode ?
[qcm]
[option correct="true"]Pour chaque facteur premier présent dans au moins une des deux décompositions, on retient le plus grand exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus petit exposant, puis on multiplie les résultats.[/option]
[option]On multiplie les deux décompositions entre elles.[/option]
[option]On retient uniquement les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec le plus grand exposant.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Pour le $PPCM$, on prend tous les facteurs premiers (communs ou non) avec leur plus grand exposant.
Ici : $2$ (dans les deux), $3$ (dans $6$ seulement) et $5$ (dans $10$ seulement) → on les retient tous.[/reponse]
[reponse motif="Pour chaque facteur premier commun aux deux décompositions, on retient le plus petit exposant, puis on multiplie les résultats."]Non.
C'est la méthode du $PGCD$ : facteurs communs avec le plus petit exposant.
Pour le $PPCM$, on retient tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant.[/reponse]
[reponse motif="On multiplie les deux décompositions entre elles."]Non.
Multiplier les deux nombres donne $6 \times 10 = 60$, qui est un multiple commun mais pas forcément le plus petit.
Le $PPCM$ est plus petit que le produit dès que les deux nombres ont des facteurs communs.[/reponse]
[reponse motif="On retient uniquement les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec le plus grand exposant."]Non.
Retenir uniquement les facteurs communs donne le $PGCD$ (avec le plus petit exposant).
Pour le $PPCM$, il faut prendre tous les facteurs premiers présents, y compris ceux qui n'apparaissent que dans une seule décomposition.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Pour le $PPCM$, on retient chaque facteur premier présent dans au moins une décomposition, avec son plus grand exposant, puis on les multiplie.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On a $6 = 2 \times 3$ et $10 = 2 \times 5$.
Les facteurs premiers à retenir sont $2$, $3$ et $5$ (chacun avec exposant $1$).

Calculez $PPCM(6 ; 10) = $ [[ppcm]].
[input id="ppcm" attendu="30"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PPCM(6 ; 10) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.
Vérification : $30 = 5 \times 6$ et $30 = 3 \times 10$[/reponse]
[reponse motif="60"]Non.
$60$ est bien un multiple commun de $6$ et de $10$, mais ce n'est pas le plus petit.
Utiliser les décompositions en facteurs premiers pour trouver le plus petit multiple commun.[/reponse]
[reponse motif="2"]Non.
$2$ est un facteur commun de $6$ et de $10$, mais ce n'est pas un multiple commun.
On cherche le plus petit multiple commun : $2 \times 3 \times 5 = ?$[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
On a $6 = 2 \times 3$ et $10 = 2 \times 5$.
Les facteurs à retenir sont $2$, $3$ et $5$. Multipliez-les pour obtenir le $PPCM$.[/reponse]
[aide essai="2"]$2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = ?$[/aide]
[/input]
[solution]$PPCM(6 ; 10) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Les deux phares s'allument donc ensemble toutes les $30$ secondes. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?
[qcm]
[option correct="true"]À partir du départ simultané, les deux phares s'allument ensemble pour la première fois au bout de $30$ secondes.[/option]
[option]Les deux phares ne s'allument plus jamais ensemble après le départ.[/option]
[option]Le phare A aura clignoté $10$ fois et le phare B aura clignoté $6$ fois au moment de la prochaine conjonction.[/option]
[option]La prochaine conjonction a lieu au bout de $60$ secondes, pas $30$.[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$PPCM(6 ; 10) = 30$ signifie que $30$ secondes est le plus petit multiple commun de $6$ et de $10$.
Le phare A aura clignoté $30 \div 6 = 5$ fois et le phare B aura clignoté $30 \div 10 = 3$ fois.[/reponse]
[reponse motif="Les deux phares ne s'allument plus jamais ensemble après le départ."]Non.
Tout multiple commun de $6$ et de $10$ est un instant de conjonction.
$30$ est le premier, puis $60$, $90$… les deux phares s'allument ensemble indéfiniment.[/reponse]
[reponse motif="Le phare A aura clignoté $10$ fois et le phare B aura clignoté $6$ fois au moment de la prochaine conjonction."]Non.
Les rôles sont inversés : en $30$ secondes, le phare A (période $6$ s) a clignoté $30 \div 6 = 5$ fois, et le phare B (période $10$ s) a clignoté $30 \div 10 = 3$ fois.[/reponse]
[reponse motif="La prochaine conjonction a lieu au bout de $60$ secondes, pas $30$."]Non.
$60$ est bien un multiple commun de $6$ et de $10$, mais ce n'est pas le plus petit.
Vérification : $30 = 5 \times 6$ et $30 = 3 \times 10$ → la première conjonction a bien lieu à $30$ secondes.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Le $PPCM(6 ; 10) = 30$ donne directement la durée jusqu'à la prochaine conjonction.
Vérification : $30 = 5 \times 6$ et $30 = 3 \times 10$[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

PPCM : deux lignes de bus

Deux lignes de bus desservent le même arrêt. La ligne A passe toutes les $ 18 $ minutes et la ligne B toutes les $ 30 $ minutes. Les deux lignes partent ensemble à $ 7 $h$ 00 $.

Décomposer $ 18 $ et $ 30 $ en produits de facteurs premiers.
En déduire le $ \text{PGCD}(18\,;\,30) $.
Quel est le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 $ et par $ 30 $ ?
À quelle heure les deux lignes repartent-elles ensemble pour la première fois après $ 7 $h$ 00 $ ?

Corrigé

Cet exercice illustre la résolution d'un problème de conjonction de phénomènes.

$ 18 = 2 \times 3^2 $

$ 30 = 2 \times 3 \times 5 $
On retient les facteurs communs avec les plus petits exposants :

$ \text{PGCD}(18\,;\,30) = 2 \times 3 = 6 $
On cherche le plus petit entier divisible à la fois par $ 18 = 2 \times 3^2 $ et par $ 30 = 2 \times 3 \times 5 $.

Pour être divisible par $ 18 $, un nombre doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $ et $ 3^2 $.

Pour être divisible par $ 30 $, il doit contenir au moins les facteurs $ 2^1 $, $ 3^1 $ et $ 5^1 $.

Le plus petit nombre vérifiant les deux conditions doit donc contenir :
- $ 2^1 $ (exigé par les deux)
- $ 3^2 $ (exigé par $ 18 $, condition plus stricte que $ 3^1 $ exigé par $ 30 $)
- $ 5^1 $ (exigé par $ 30 $)
Le plus petit multiple commun est donc $ 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90 $.
Les deux lignes repartent ensemble toutes les $ 90 $ minutes, soit toutes les $ 1 $ h $ 30 $ min.

$7$h$00$ + $1$h$30$ = $8$h$30$

Les deux lignes repartent ensemble pour la première fois à $8$h$30$.