QCM Bilan : Second degré

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : inéquations, somme et produit des racines, paramètre et cas subtils. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 - 5x + 6 > 0$ ?
[qcm]
[option]$]2~;~3[$[/option]
[option]$[2~;~3]$[/option]
[option correct="true"]$]{-}\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$[/option]
[option]$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\Delta = 25 - 24 = 1$, donc les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$.
Avec $a = 1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
L'inégalité est stricte, donc les bornes $2$ et $3$ sont exclues : $S = ]-\infty~;~2[ \cup ]3~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$]2~;~3[$"]Non.
Entre les racines, le trinôme est du signe opposé à $a$. Avec $a > 0$, il est donc négatif entre $2$ et $3$ — ce n'est pas là qu'il est strictement positif.[/reponse]
[reponse motif="$[2~;~3]$"]Non.
Deux erreurs ici : on cherche la zone où le trinôme est positif (pas négatif), et les bornes ne doivent pas être incluses car l'inégalité est stricte.[/reponse]
[reponse motif="$]{-}\infty~;~2] \cup [3~;~+\infty[$"]Non.
La zone extérieure aux racines est bien correcte, mais l'inégalité est stricte : aux bornes, $f(2) = 0$ et $f(3) = 0$, donc $f > 0$ n'y est pas vérifié. Utiliser des crochets ouverts.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Trouver les racines, déterminer le signe du trinôme selon le signe de $a$, puis adapter les bornes à l'inégalité stricte ou large.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On sait que $1$ est une racine du trinôme $2x^2 - 5x + c$, où $c$ est un nombre réel. Que vaut $c$ ?
[qcm]
[option]$c = -3$[/option]
[option]$c = 5$[/option]
[option correct="true"]$c = 3$[/option]
[option]$c = 7$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Dire que $1$ est une racine signifie que le trinôme s'annule en $1$ :
$2 \times 1^2 - 5 \times 1 + c = 0$, soit $2 - 5 + c = 0$, donc $c = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$c = -3$"]Non.
En remplaçant par $x = 1$, on obtient $2 - 5 + c = 0$, soit $-3 + c = 0$. On en déduit $c = +3$ (et non $-3$) : $c$ doit compenser $-3$, donc être positif.[/reponse]
[reponse motif="$c = 5$"]Non.
Il n'y a pas de raison de prendre $c$ égal au coefficient de $x$. Remplacer $x$ par $1$ dans le trinôme et écrire que le résultat vaut $0$.[/reponse]
[reponse motif="$c = 7$"]Non.
Erreur de signe lors du remplacement : $2 \times 1^2 = 2$ (et non $-2$), et $-5 \times 1 = -5$. L'équation à résoudre est $2 - 5 + c = 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser la définition d'une racine : remplacer $x$ par la valeur donnée et écrire que le trinôme vaut $0$, puis résoudre en $c$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Pour quelles valeurs du réel $m$ le trinôme $x^2 + 2mx + 1$ n'admet-il aucune racine réelle ?
[qcm]
[option correct="true"]$m \in ]{-}1~;~1[$[/option]
[option]$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$[/option]
[option]$m > 1$[/option]
[option]$m \neq 1$ et $m \neq -1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Avec $a = 1$, $b = 2m$ et $c = 1$, le discriminant vaut $\Delta = (2m)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4m^2 - 4$.
Aucune racine réelle signifie $\Delta < 0$, soit $4m^2 - 4 < 0$, donc $m^2 < 1$, ce qui équivaut à $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \in ]{-}\infty~;~-1[ \cup ]1~;~+\infty[$"]Non.
Signe inversé : on cherche $\Delta < 0$ (pas de racine), ce qui donne $m^2 < 1$. L'ensemble proposé correspond à $m^2 > 1$, soit le cas où le trinôme admet deux racines réelles.[/reponse]
[reponse motif="$m > 1$"]Non.
Il manque toute la partie négative de l'intervalle. L'inégalité $m^2 < 1$ est symétrique par rapport à $0$ et donne $-1 < m < 1$.[/reponse]
[reponse motif="$m \neq 1$ et $m \neq -1$"]Non.
Exclure seulement les valeurs où $\Delta = 0$ (racine double) laisse passer les valeurs où $\Delta > 0$ (deux racines). Il faut chercher l'ensemble strict $\Delta < 0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer $\Delta$ en fonction de $m$, puis résoudre l'inéquation $\Delta < 0$ pour trouver l'ensemble des $m$ qui conviennent.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soient $x_1$ et $x_2$ les deux racines du trinôme $x^2 - 3x + 1$. Que vaut la somme $x_1 + x_2$ ?
[qcm]
[option]$-3$[/option]
[option]$-1$[/option]
[option]$1$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ de discriminant strictement positif, la somme des racines vaut $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
Ici $a = 1$ et $b = -3$, donc $x_1 + x_2 = -\dfrac{-3}{1} = 3$.[/reponse]
[reponse motif="$-3$"]Non.
Le signe « moins » devant la fraction a été oublié : la formule est $-\dfrac{b}{a}$, donc $-\dfrac{-3}{1}$. Les deux signes se compensent.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Confusion avec la formule du produit : $-\dfrac{c}{a}$ n'est pas une formule standard. Le produit vaut $\dfrac{c}{a}$ et la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
C'est la valeur du produit des racines ($\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{1} = 1$), pas de leur somme. Utiliser la formule appropriée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la formule « somme des racines $= -\dfrac{b}{a}$ » en faisant attention au signe de $b$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On constate que $1$ est une racine évidente du trinôme $x^2 - 6x + 5$. Quelle est son autre racine ?
[qcm]
[option]$-1$[/option]
[option correct="true"]$5$[/option]
[option]$-5$[/option]
[option]$6$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Le produit des racines vaut $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{1} = 5$.
Si $x_1 = 1$, alors $x_2 = \dfrac{5}{1} = 5$.
On peut aussi utiliser la somme : $x_1 + x_2 = -\dfrac{-6}{1} = 6$, donc $x_2 = 6 - 1 = 5$.[/reponse]
[reponse motif="$-1$"]Non.
Attention : si $-1$ était racine, on aurait $(-1)^2 - 6 \times (-1) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12 \neq 0$. Utiliser plutôt le produit ou la somme des racines pour déterminer la seconde racine.[/reponse]
[reponse motif="$-5$"]Non.
Le produit des racines vaut $\dfrac{c}{a} = 5$ (positif). Comme l'une des racines est $1$ (positif), l'autre doit aussi être positive.[/reponse]
[reponse motif="$6$"]Non.
$6$ correspond à la somme des racines $-\dfrac{b}{a}$, pas à la seconde racine. Si $x_1 + x_2 = 6$ et $x_1 = 1$, alors $x_2 = 5$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser les relations entre coefficients et racines : la somme vaut $-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $\dfrac{c}{a}$. Connaissant une racine, on en déduit l'autre.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $3x^2 \geqslant 2x + 1$ ?
[qcm]
[option]$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$[/option]
[option]$[1~;~+\infty[$[/option]
[option]$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$[/option]
[option correct="true"]$\left]{-}\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On réécrit l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$.
$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 4 + 12 = 16$, donc $\sqrt{\Delta} = 4$.
Racines : $x_1 = \dfrac{2 - 4}{6} = -\dfrac{1}{3}$ et $x_2 = \dfrac{2 + 4}{6} = 1$.
Comme $a = 3 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Avec l'inégalité large, les bornes sont incluses : $S = \left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right] \cup [1~;~+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$\left[-\dfrac{1}{3}~;~1\right]$"]Non.
C'est l'intervalle où le trinôme est négatif (entre les racines). On cherche ici où il est positif ou nul, c'est-à-dire à l'extérieur des racines.[/reponse]
[reponse motif="$[1~;~+\infty[$"]Non.
Il manque toute la partie à gauche de $-\dfrac{1}{3}$ : le trinôme est aussi positif pour $x$ petit. Un trinôme de coefficient dominant positif est positif à l'extérieur des racines, c'est-à-dire à gauche et à droite.[/reponse]
[reponse motif="$\left]{-}\infty~;~-1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right[$"]Non.
Les racines ont été échangées ou mal calculées. Après avoir mis l'inéquation sous la forme $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer $\Delta$, puis les racines avec $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Ramener tout d'un même côté pour obtenir $3x^2 - 2x - 1 \geqslant 0$, calculer les racines, puis utiliser le fait que le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Signe du trinôme et inéquations

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur le signe d'un trinôme et la résolution d'inéquations, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Le trinôme $x^2 - 3x + 2$ est strictement positif sur l'intervalle $]1~;~2[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les racines sont $1$ et $2$ (car $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$).
Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. Sur $]1~;~2[$, il est donc strictement négatif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre « à l'extérieur des racines » et « entre les racines ».
Quand $a > 0$, le trinôme est du signe de $a$ (positif) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (négatif) entre elles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les racines sont $1$ et $2$, et comme $a = 1 > 0$, le trinôme est négatif entre $1$ et $2$, donc sur $]1~;~2[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le trinôme $-x^2 + 4$ est strictement positif sur l'intervalle $]-2~;~2[$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$-x^2 + 4 = -(x - 2)(x + 2)$ : les racines sont $-2$ et $2$.
Comme $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur. Sur $]-2~;~2[$, il est bien strictement positif.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Attention au signe du coefficient dominant : ici $a = -1 < 0$, donc la parabole est tournée vers le bas.
Le trinôme prend alors le signe de $a$ (négatif) à l'extérieur des racines, et le signe opposé (positif) entre elles.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les racines sont $-2$ et $2$. Avec $a = -1 < 0$, le trinôme est positif entre les racines, donc sur $]-2~;~2[$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si un trinôme $ax^2 + bx + c$ a un discriminant strictement négatif et un coefficient $a$ strictement positif, alors il est strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle : il garde donc un signe constant sur $\mathbb{R}$.
Ce signe est celui de $a$. Avec $a > 0$, le trinôme est strictement positif partout.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : sans racine réelle, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Elle est donc entièrement au-dessus (si $a > 0$) ou entièrement en dessous (si $a < 0$).
Ici $a > 0$ et $\Delta < 0$ : le trinôme reste strictement positif partout.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. $\Delta < 0$ signifie qu'il n'y a pas de racine : le trinôme garde le signe de $a$. Avec $a > 0$, il est strictement positif sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 - x - 6 \leqslant 0$ est $]-\infty~;~-2] \cup [3~;~+\infty[$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les racines de $x^2 - x - 6$ sont $-2$ et $3$ ($\Delta = 1 + 24 = 25$).
Comme $a = 1 > 0$, le trinôme est négatif entre les racines. L'ensemble solution est donc $[-2~;~3]$, et non l'union annoncée.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'inverser « entre les racines » et « à l'extérieur des racines ».
Avec $a > 0$, le trinôme est négatif entre les racines : les solutions de $\leqslant 0$ forment l'intervalle $[-2~;~3]$, pas la réunion des deux demi-droites.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. Les racines sont $-2$ et $3$, et $a > 0$ : le trinôme est négatif entre elles. L'ensemble solution est donc $[-2~;~3]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Le trinôme $2x^2 + 3$ change de signe sur $\mathbb{R}$.

[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$2x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$, donc $2x^2 + 3 \geqslant 3 > 0$ sur $\mathbb{R}$.
Le discriminant confirme : $\Delta = 0 - 24 = -24 < 0$, pas de racine, donc pas de changement de signe.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à l'absence du terme en $x$ : ici $b = 0$, ce qui donne $\Delta = -24 < 0$.
Sans racine réelle, le trinôme garde un signe constant : ici strictement positif partout.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est fausse. $\Delta = -24 < 0$ : pas de racine, donc pas de changement de signe. Le trinôme est strictement positif sur $\mathbb{R}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $f$ la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x^2 + 5x - 3$.

Affirmation : L'inéquation $f(x) \geqslant 0$ admet pour ensemble de solutions $\left[1~;~\dfrac{3}{2}\right]$.

[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Le discriminant vaut $\Delta = 25 - 24 = 1$, et les racines sont $x_1 = \dfrac{-5 - 1}{-4} = \dfrac{3}{2}$ et $x_2 = \dfrac{-5 + 1}{-4} = 1$.
Comme $a = -2 < 0$, le trinôme est positif entre les racines : $f(x) \geqslant 0$ sur $\left[1~;~\dfrac{3}{2}\right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : le trinôme prend le signe opposé à $a$ entre les racines. Ici $a = -2 < 0$, donc $f$ est positif entre ses racines $1$ et $\dfrac{3}{2}$.[/reponse]
[/qcm]

[solution]
Cette affirmation est vraie. Les racines sont $1$ et $\dfrac{3}{2}$, et $a = -2 < 0$ : $f$ est positif entre ses racines. L'ensemble des solutions est bien $\left[1~;~\dfrac{3}{2}\right]$.
[/solution]
[/etape]

Inéquations se ramenant au 2nd degré

Résoudre l'inéquation :

$ \dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 $

Corrigé

Précisons tout d'abord que $ \dfrac{4}{x - 1} $ est défini pour $ x\neq 1 $

$ \dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \left(x + 2\right) \geqslant 0 $

On réduit au même dénominateur :

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{\left(x + 2\right)\left(x - 1\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4 - \left(x^{2}+x - 2\right)}{x - 1} \geqslant 0 $

$ \phantom{\dfrac{4}{x - 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{ - x^{2} - x+6}{x - 1} \geqslant 0 $

Le numérateur est un polynôme du second degré ; son discriminant vaut $ \Delta =\left( - 1\right)^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times 6=1+24=25 $, donc ses racines sont $ \dfrac{1 - 5}{ - 2}=2 $ et $ \dfrac{1+5}{ - 2}= - 3 $.

$ - x^{2} - x+6 $ est du signe de $ a \left(= - 1\right) $ donc négatif à « l'extérieur » des racines.

Le dénominateur $ x - 1 $ est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc $ x - 1 $ est « négatif puis positif ».

On obtient le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions est donc :

$\mathbf{S=\left] - \infty~;~- 3\right] \cup \left]1~;~2\right]}$

Résolution d’inéquations du second degré à l’aide d’un graphique

Soit la fonction $ f $ définie par $ f\left(x\right) = - x^{2} + 3x + 2 $

Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=4 $
Résoudre l'équation $ f\left(x\right)=2 $
A l'aide d'un graphique, trouver l'ensemble des valeurs de $ x $ telles que $ 2\leqslant f\left(x\right)\leqslant 4 $

Corrigé

$ - x^{2} + 3x + 2 = 4 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x - 2 = 0 $.

Le discriminant vaut $ \Delta =3^{2} - 4\times \left( - 1\right)\times \left( - 2\right)=9 - 8=1 $, donc l'équation admet deux solutions :

$ x_{1}=\dfrac{ - 3+1}{ - 2}=1 $ et $ x_{2}=\dfrac{ - 3 - 1}{ - 2}=2 $.

L'ensemble des solutions est $\mathbf{S=\left\{1~;~2\right\}}$.
$ - x^{2} + 3x + 2 = 2 $ équivaut à $ - x^{2} + 3x = 0 $ soit $ x\left( - x+3\right)=0 $.

C'est une équation « produit nul » qui a pour ensemble de solutions $\mathbf{S=\left\{0~;~3\right\}}$.
À l'aide du graphique ci-dessous et des questions précédentes, on trouve $\mathbf{S=\left[0~;~1\right] \cup \left[2~;~3\right]}$.

Les intervalles sont fermés car l'inégalité est « large » ( $ \leqslant $ ).