Pour chaque problème, poser une inéquation, la résoudre, puis répondre par une phrase.

1. Un opérateur propose deux forfaits de téléphone mobile. Le forfait A coûte $12$ € par mois, plus $0{,}05$ € par minute d'appel. Le forfait B coûte $20$ € par mois en appels illimités. On note $x$ le nombre de minutes d'appel passées dans le mois. À partir de combien de minutes le forfait B devient-il plus avantageux que le forfait A ?
2. Une salle d'escalade propose deux possibilités. Sans abonnement, chaque séance coûte $25$ €. Avec l'abonnement annuel, on paie $180$ € à l'inscription, puis $10$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances effectuées dans l'année. À partir de combien de séances l'abonnement annuel devient-il plus avantageux que les séances payées à l'unité ?
3. Un réservoir contient $500$ litres d'eau. On ouvre une vanne qui le vide de $20$ litres par minute. On note $x$ le temps écoulé, en minutes, depuis l'ouverture de la vanne. Au bout de combien de temps reste-t-il strictement moins de $100$ litres d'eau dans le réservoir ?

[enonce]
Ce QCM porte sur les inéquations du premier degré. Attention à la règle d'inversion du sens lorsqu'on multiplie ou divise par un nombre négatif. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $2x+6>0$ ?
[qcm]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,-3[$[/option]
[option correct="true"]$S=\,]-3\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]3\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,3[$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On isole $x$ : $2x+6>0$ équivaut à $2x>-6$, puis à $x>\dfrac{-6}{2}=-3$. L'ensemble des solutions est donc $S=\,]-3\,;\,+\infty[$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,-3[$"]Non.
Le sens de l'inégalité est inversé. On divise ici par $2$, qui est positif : le sens est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]3\,;\,+\infty[$"]Non.
Attention au signe lors du transfert de $+6$ de l'autre côté : $2x+6>0$ devient $2x>-6$ (et non $2x>6$).[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,3[$"]Non.
Deux erreurs : le signe à droite de l'inégalité et le sens. Reprendre l'isolement de $x$ pas à pas.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $x$ : soustraire $6$ des deux côtés, puis diviser par $2$ en conservant le sens (car $2$ est positif).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-3x+9\geqslant 0$ ?
[qcm]
[option]$S=\,[3\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,-3]$[/option]
[option correct="true"]$S=\,]-\infty\,;\,3]$[/option]
[option]$S=\,[-3\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
$-3x+9\geqslant 0$ équivaut à $-3x\geqslant -9$. On divise par $-3$ (nombre négatif) : le sens de l'inégalité s'inverse, donc $x\leqslant 3$. D'où $S=\,]-\infty\,;\,3]$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[3\,;\,+\infty[$"]Non.
La règle essentielle a été oubliée : diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,-3]$"]Non.
Attention au signe de la valeur obtenue. Calculer $\dfrac{-9}{-3}$ : le quotient de deux nombres négatifs est positif.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[-3\,;\,+\infty[$"]Non.
Deux erreurs cumulées : le sens de l'inégalité et le signe du résultat. Se rappeler que $\dfrac{-9}{-3}=3$ et que diviser par un négatif inverse le sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Isoler $x$ en divisant par $-3$ : ne pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $5x-2<3x+4$ ?
[qcm]
[option correct="true"]$S=\,]-\infty\,;\,3[$[/option]
[option]$S=\,]3\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,1[$[/option]
[option]$S=\,]1\,;\,+\infty[$[/option]
[reponse statut="correct"]Parfait !
On regroupe les termes en $x$ d'un côté : $5x-3x<4+2$, soit $2x<6$, donc $x<3$. L'ensemble des solutions est $S=\,]-\infty\,;\,3[$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]3\,;\,+\infty[$"]Non.
Le sens est inversé. Ici on divise par $2$, qui est positif : le sens est conservé. Vérifier la dernière étape.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,1[$"]Non.
Erreur de calcul. Après regroupement, l'inéquation devient $2x<6$ : calculer $\dfrac{6}{2}$ pour obtenir la valeur limite.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]1\,;\,+\infty[$"]Non.
Deux erreurs : le calcul du second membre après regroupement et le sens de l'inégalité. Refaire pas à pas : transposer puis diviser par $2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre, puis diviser par le coefficient de $x$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-x>2$ ?
[qcm]
[option]$S=\,]-2\,;\,+\infty[$[/option]
[option correct="true"]$S=\,]-\infty\,;\,-2[$[/option]
[option]$S=\,]2\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,2[$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$-x>2$ équivaut à $x<-2$ : multiplier (ou diviser) par $-1$ inverse le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est $S=\,]-\infty\,;\,-2[$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-2\,;\,+\infty[$"]Non.
Pour isoler $x$, on multiplie par $-1$ : cette opération inverse le sens de l'inégalité, à ne pas oublier.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]2\,;\,+\infty[$"]Non.
En multipliant par $-1$, le second membre devient $-2$ (et non $2$). De plus, le sens de l'inégalité change.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,2[$"]Non.
Le signe du second membre doit changer lors de la multiplication par $-1$ : $2$ devient $-2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier les deux membres par $-1$ pour isoler $x$ : cette opération inverse le sens de l'inégalité.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est le plus petit entier qui vérifie l'inéquation $4x-7\geqslant 5$ ?
[qcm]
[option]$1$[/option]
[option]$2$[/option]
[option correct="true"]$3$[/option]
[option]$4$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
$4x-7\geqslant 5$ équivaut à $4x\geqslant 12$, donc $x\geqslant 3$. L'inégalité est large : $3$ est lui-même solution, et c'est le plus petit entier qui convient.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Résoudre d'abord l'inéquation pour obtenir l'ensemble des solutions, puis choisir le plus petit entier de cet ensemble.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Vérifier : pour $x=2$, $4\times 2-7=1$, qui n'est pas supérieur ou égal à $5$. Cet entier n'est donc pas solution.[/reponse]
[reponse motif="$4$"]Non.
$4$ est bien solution, mais ce n'est pas le plus petit entier solution. Chercher si un entier plus petit convient aussi.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Résoudre l'inéquation pour trouver l'ensemble des solutions, puis identifier le plus petit entier qui y appartient. Attention : l'inégalité est large.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{x-1}{2}\leqslant 3$ ?
[qcm]
[option]$S=\,[7\,;\,+\infty[$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,5]$[/option]
[option correct="true"]$S=\,]-\infty\,;\,7]$[/option]
[option]$S=\,]-\infty\,;\,1{,}5]$[/option]
[reponse statut="correct"]Excellent !
On multiplie les deux membres par $2$ (positif, sens conservé) : $x-1\leqslant 6$. Puis on ajoute $1$ : $x\leqslant 7$. L'ensemble des solutions est $S=\,]-\infty\,;\,7]$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,[7\,;\,+\infty[$"]Non.
Le sens de l'inégalité est inversé. Ici on multiplie par $2$, qui est positif : le sens est conservé.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,5]$"]Non.
Erreur lors de l'étape finale : après avoir multiplié par $2$, il faut ajouter $1$ (et non le soustraire) pour isoler $x$.[/reponse]
[reponse motif="$S=\,]-\infty\,;\,1{,}5]$"]Non.
Pour supprimer le dénominateur $2$, il faut multiplier par $2$ (et non diviser par $2$). Le $2$ est au dénominateur : il passe de l'autre côté par multiplication.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Multiplier les deux membres par $2$ pour supprimer le dénominateur, puis isoler $x$ en ajoutant $1$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur les inéquations, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tout réel $x$, on a $x + 2 > x$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Ajouter un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité.
Ici $(x+2) - x = 2 > 0$, donc $x + 2 > x$ pour tout réel $x$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Rappel : additionner un même réel aux deux membres d'une inégalité en conserve le sens.
La différence $(x+2) - x$ vaut $2$, qui est strictement positif, donc $x+2 > x$ pour tout réel $x$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. La différence $(x+2) - x = 2$ est strictement positive, donc $x+2 > x$ pour tout réel.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $-3x \geqslant 12 \Leftrightarrow x \geqslant -4$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Diviser par un nombre strictement négatif inverse le sens de l'inégalité.
$-3x \geqslant 12 \Leftrightarrow x \leqslant \dfrac{12}{-3} \Leftrightarrow x \leqslant -4$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention : en divisant (ou en multipliant) par un nombre strictement négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
On obtient $-3x \geqslant 12 \Leftrightarrow x \leqslant -4$ et non $x \geqslant -4$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. En divisant les deux membres par $-3$, on inverse le sens : $-3x \geqslant 12 \Leftrightarrow x \leqslant -4$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $2x + 5 \leqslant 3$ est $S = \left] -\infty~;~-1 \right]$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
En soustrayant $5$ puis en divisant par $2$ (positif, donc sens conservé) : $2x \leqslant -2$, soit $x \leqslant -1$.
L'ensemble solution est bien $\left] -\infty~;~-1 \right]$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est d'hésiter sur la forme de l'intervalle : l'inégalité étant large ($\leqslant$), la borne $-1$ est incluse, d'où le crochet fermé.
On résout : $2x + 5 \leqslant 3 \Leftrightarrow 2x \leqslant -2 \Leftrightarrow x \leqslant -1$, donc $S = \left] -\infty~;~-1 \right]$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. On obtient $2x \leqslant -2$ puis $x \leqslant -1$, soit $S = \left] -\infty~;~-1 \right]$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a \leqslant b$, alors $a^2 \leqslant b^2$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Prenons $a = -3$ et $b = 1$ : on a bien $a \leqslant b$, mais $a^2 = 9$ et $b^2 = 1$, donc $a^2 > b^2$.
L'élévation au carré ne conserve pas l'ordre quand les nombres sont négatifs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Il ne faut pas confondre avec la propriété valable uniquement pour des nombres positifs.
Un contre-exemple : $a = -3$ et $b = 1$ vérifient $a \leqslant b$, mais $a^2 = 9 > 1 = b^2$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. Le contre-exemple $a = -3$, $b = 1$ donne $a \leqslant b$ mais $a^2 = 9 > 1 = b^2$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$, alors $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Pour deux réels strictement positifs, passer à l'inverse inverse le sens de l'inégalité.
Par exemple $2 < 5$ donne bien $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Le piège ici est de croire que l'inégalité se conserve par inversion : c'est le contraire pour deux réels de même signe.
Quand $0 < a < b$, on a $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ (exemple : $0 < 2 < 5$ donne $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$).[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Pour deux réels strictement positifs, le passage à l'inverse renverse le sens de l'inégalité : $0 < a < b \Rightarrow \dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : L'ensemble des solutions de l'inéquation $4x - 8 \geqslant 0$ est $S = \left] 2~;~+\infty \right[$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bien vu !
On résout $4x \geqslant 8$, d'où $x \geqslant 2$. Comme l'inégalité est large, la valeur $2$ est incluse.
L'ensemble solution est $\left[ 2~;~+\infty \right[$ et non $\left] 2~;~+\infty \right[$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à la distinction entre inégalité stricte et inégalité large : $\geqslant$ inclut la borne, donc crochet fermé.
On a $x \geqslant 2$, soit $S = \left[ 2~;~+\infty \right[$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'inégalité est large, donc la borne $2$ est incluse : $S = \left[ 2~;~+\infty \right[$.
[/solution]
[/etape]