QCM : Notion de limite d’une suite

[enonce]
Ce QCM porte sur la notion intuitive de limite d'une suite : reconnaître les suites convergentes, divergentes, et conjecturer leur limite. Pour chaque question, choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
[/enonce]

[etape]
La suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ :
[qcm]
[option correct="true"]converge vers $0$[/option]
[option]converge vers $1$[/option]
[option]diverge vers $+\infty$[/option]
[option]n'a pas de limite[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
Quand $n$ devient grand, le dénominateur $n+1$ devient très grand, donc la fraction $\dfrac{1}{n+1}$ se rapproche de $0$. La suite converge vers $0$.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $1$"]Non.
La valeur $u_0 = 1$ est le premier terme, mais la limite décrit le comportement à l'infini. Calculer $u_{10}$, $u_{100}$ pour observer vers quoi tendent les termes.[/reponse]
[reponse motif="diverge vers $+\infty$"]Non.
Ici le dénominateur grandit, donc la fraction diminue sans dépasser une certaine valeur. Une suite qui diverge vers $+\infty$ doit, au contraire, prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut.[/reponse]
[reponse motif="n'a pas de limite"]Non.
Les termes successifs $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{4}$… se rapprochent visiblement d'une même valeur fixe. La suite admet donc bien une limite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes pour observer leur comportement quand $n$ devient grand : si les termes se rapprochent d'une valeur fixe, la suite converge vers cette valeur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
La suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n = (-1)^n$ est :
[qcm]
[option]convergente vers $1$[/option]
[option correct="true"]divergente[/option]
[option]convergente vers $-1$[/option]
[option]convergente vers $0$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Les termes valent successivement $1$, $-1$, $1$, $-1$… Ils oscillent indéfiniment entre deux valeurs sans se rapprocher d'aucune valeur fixe : la suite est divergente.[/reponse]
[reponse motif="convergente vers $1$"]Non.
La moitié des termes valent $1$, mais l'autre moitié valent $-1$. Pour qu'une suite converge vers une valeur, tous les termes à partir d'un certain rang doivent s'en approcher.[/reponse]
[reponse motif="convergente vers $-1$"]Non.
La moitié des termes valent $-1$, mais l'autre moitié valent $1$. Une suite ne peut pas converger vers une valeur si elle s'en éloigne régulièrement.[/reponse]
[reponse motif="convergente vers $0$"]Non.
Les termes ne s'approchent jamais de $0$ : ils restent toujours à distance $1$ de cette valeur. La suite ne converge pas vers $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire les premiers termes de la suite et observer leur comportement : si les termes oscillent sans se stabiliser, la suite n'admet pas de limite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_n = n^2 - 5$. Cette suite :
[qcm]
[option]converge vers $0$[/option]
[option]converge vers $-5$[/option]
[option]est constante[/option]
[option correct="true"]diverge[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Quand $n$ devient grand, $n^2$ devient très grand, donc $u_n = n^2 - 5$ devient également très grand sans plafond. La suite diverge (vers $+\infty$).[/reponse]
[reponse motif="converge vers $0$"]Non.
Même si $u_2 = -1$ et $u_3 = 4$ sont proches de $0$, les termes suivants augmentent rapidement : $u_{10} = 95$, $u_{100} = 9995$. Observer le comportement à l'infini.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $-5$"]Non.
La valeur $u_0 = -5$ est le premier terme, mais la limite décrit le comportement à l'infini. Les termes ne restent pas proches de $-5$.[/reponse]
[reponse motif="est constante"]Non.
Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ : les termes ne sont pas tous égaux, donc la suite n'est pas constante.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes pour de grandes valeurs de $n$ et observer si les valeurs se stabilisent ou si elles deviennent aussi grandes que voulu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n + 3$. Cette suite :
[qcm]
[option]converge vers $1$[/option]
[option]converge vers $4$[/option]
[option correct="true"]diverge[/option]
[option]converge vers $0$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
À chaque pas, on ajoute $3$ : les termes sont $1$, $4$, $7$, $10$, $13$… Ils croissent sans plafond, donc la suite diverge vers $+\infty$.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $1$"]Non.
La valeur $1$ est le premier terme $u_0$, pas une limite. Les termes augmentent à partir de $u_0$ et s'éloignent de $1$.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $4$"]Non.
$u_1 = 4$ est le deuxième terme, mais les termes continuent ensuite d'augmenter régulièrement. Ils ne se stabilisent pas autour de $4$.[/reponse]
[reponse motif="converge vers $0$"]Non.
Le premier terme vaut $1$ et chaque pas augmente la suite : les termes ne s'approchent à aucun moment de $0$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Calculer plusieurs termes successifs pour observer leur comportement : si les termes augmentent indéfiniment, la suite est divergente.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Une suite $(u_n)$ est convergente. Combien de valeurs différentes peut-elle admettre comme limite ?
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option]$2$[/option]
[option]Une infinité[/option]
[option correct="true"]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
Lorsqu'une suite est convergente, sa limite existe et elle est unique. Une suite ne peut pas se rapprocher de deux valeurs différentes en même temps.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Une suite convergente, par définition, admet une limite : il existe au moins une valeur. Le nombre $0$ ne convient donc pas.[/reponse]
[reponse motif="$2$"]Non.
Une suite ne peut pas converger vers deux valeurs distinctes en même temps : si les termes se rapprochent d'une valeur, ils ne peuvent pas en même temps se rapprocher d'une autre.[/reponse]
[reponse motif="Une infinité"]Non.
La limite, lorsqu'elle existe, est définie de manière unique. Il n'y a donc qu'un seul nombre vers lequel les termes peuvent se rapprocher.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Relire la propriété d'unicité de la limite : si une suite admet une limite, cette limite est déterminée de manière unique.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n \geqslant 1$ par $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$. Cette suite converge vers :
[qcm]
[option]$0$[/option]
[option correct="true"]$2$[/option]
[option]$3$[/option]
[option]$1$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Quand $n$ devient grand, $\dfrac{1}{n}$ se rapproche de $0$, donc $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$ se rapproche de $2 + 0 = 2$. La suite converge vers $2$.[/reponse]
[reponse motif="$0$"]Non.
Seule la partie $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$, mais le terme constant $2$ subsiste. La limite vaut donc $2 + 0$, et non $0$.[/reponse]
[reponse motif="$3$"]Non.
On obtient $3$ en additionnant $2 + 1$, mais le « $1$ » de la fraction $\dfrac{1}{n}$ ne s'ajoute pas tel quel : la fraction tend vers $0$, pas vers $1$.[/reponse]
[reponse motif="$1$"]Non.
Le terme constant $2$ est ignoré. Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{1000}$ pour observer la valeur autour de laquelle les termes se stabilisent.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Décomposer la formule : la partie $2$ reste fixe, et la partie $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$ quand $n$ grandit. Sommer ces deux comportements pour obtenir la limite.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]