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Démontrer un alignement par colinéarité

[enonce]
$ABC$ est un triangle. Le point $M$ est situé sur le segment $[AB]$ tel que $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et le point $N$ est défini par $\overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Triangle ABC avec les points M et N

On cherche à démontrer que les points $A$, $N$ et $C$ sont alignés.
[/enonce]

[etape]
Exprimer $\overrightarrow{AN}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{MN}$.
$\overrightarrow{AN} =$ [[an1]]
[math id="an1" attendu="\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}"]
[reponse statut="correct"]Correct !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{AM}"]L'ordre est inversé mais la somme est correcte. On écrit habituellement dans l'ordre de Chasles : $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Quel point intermédiaire permet de relier $A$ à $N$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]Pour aller de $A$ à $N$, on peut passer par $M$ : $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{A...} + \overrightarrow{...N}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$ (relation de Chasles en passant par $M$).[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles en introduisant le point $M$ : $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Remplacer $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{MN}$ par leurs expressions données dans l'énoncé.
$\overrightarrow{AN} =$ [[an2]]
[math id="an2" attendu="\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
En remplaçant : $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}"]Le coefficient $\dfrac{2}{3}$ s'applique aussi à $\overrightarrow{MN}$. Relire l'énoncé.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}"]Attention au sens du vecteur : l'énoncé donne $\overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{CB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]L'énoncé donne $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Remplacer dans $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$. Les valeurs de $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont données dans l'énoncé.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Réduire $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ à un seul terme.
$\overrightarrow{AN} =$ [[an3]]
[math id="an3" attendu="\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})"]C'est bien factorisé, mais il faut terminer en appliquant Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = ?$[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{4}{9}\overrightarrow{AC}"]Le coefficient $\dfrac{2}{3}$ ne se multiplie pas par lui-même. On factorise : $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux termes ont le même coefficient $\dfrac{2}{3}$. Le mettre en facteur, puis simplifier la somme restante.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$. Appliquer Chasles à $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Donc $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Quelle relation cela établit-il entre les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AC}$ ?
[qcm]
[option]Ils sont opposés[/option]
[option]Ils sont égaux[/option]
[option correct="true"]Ils sont colinéaires[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ signifie que $\overrightarrow{AN}$ est le produit d'un réel ($\dfrac{2}{3}$) par $\overrightarrow{AC}$. Par définition, ces deux vecteurs sont colinéaires.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont opposés"]Deux vecteurs opposés vérifient $\vec{u} = -\vec{v}$. Ici le coefficient est $\dfrac{2}{3}$, qui est positif.[/reponse]
[reponse motif="Ils sont égaux"]Ils seraient égaux si $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire si le coefficient était $1$. Or il vaut $\dfrac{2}{3}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Conclure : que peut-on dire des points $A$, $N$ et $C$ ? Quelle est la position de $N$ sur le segment $[AC]$ ?
[select id="concl"]
[option]$N$ est le milieu de $[AC]$[/option]
[option correct="true"]$N$ est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de $[AC]$ à partir de $A$[/option]
[option]$N$ est situé au $\dfrac{1}{3}$ de $[AC]$ à partir de $A$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires et ont la même origine $A$, donc les points $A$, $N$ et $C$ sont alignés.
De plus, $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ avec $0 < \dfrac{2}{3} < 1$, donc $N$ est sur le segment $[AC]$, situé aux deux tiers du chemin de $A$ vers $C$.[/reponse]
[reponse motif="$N$ est le milieu de $[AC]$"]Le milieu correspondrait à $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Or le coefficient est $\dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{1}{2}$.[/reponse]
[reponse motif="$N$ est situé au $\dfrac{1}{3}$ de $[AC]$ à partir de $A$"]Le coefficient dans $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ est $\dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{1}{3}$. Cela signifie que $AN = \dfrac{2}{3} AC$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]La relation $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ donne directement la fraction du segment parcourue depuis $A$.[/reponse]
[/select]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ signifie que $AN = \dfrac{2}{3} \times AC$. Le coefficient donne la proportion du trajet de $A$ vers $C$.[/aide]
[aide essai="3"]Le coefficient $\dfrac{2}{3}$ est entre $0$ et $1$, donc $N$ est entre $A$ et $C$, à $\dfrac{2}{3}$ du chemin.[/aide]
[/etape]

Somme de vecteurs dans un rectangle

[enonce]
$ABCD$ est un rectangle de centre $I$. On considère le vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CI}$.

Rectangle ABCD avec son centre I

On cherche à simplifier $\vec{u}$ pour l'identifier à un vecteur connu de la figure.
[/enonce]

[etape]
Exprimer $\overrightarrow{CI}$ à l'aide du vecteur $\overrightarrow{CA}$.
$\overrightarrow{CI} =$ [[ci]]
[math id="ci" attendu="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}"]
[reponse statut="correct"]Correct !
$I$ est le centre du rectangle, donc le milieu de $[CA]$ : $\overrightarrow{CI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}"]Attention au sens : $I$ est le milieu de $[AC]$, donc $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Mais ici on part de $C$, pas de $A$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CA}"]Le coefficient $\dfrac{1}{2}$ est manquant. $I$ est le milieu, pas l'extrémité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Si $I$ est le milieu de $[CA]$, quel lien y a-t-il entre $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{CA}$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]Quand $M$ est le milieu de $[PQ]$, on a $\overrightarrow{PM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$.[/aide]
[aide essai="3"]Ici $P = C$, $Q = A$ et $M = I$ : $\overrightarrow{CI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.[/aide]
[/math]
[solution]$I$ est le milieu de $[CA]$, donc $\overrightarrow{CI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On a maintenant $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$. Décomposer $\overrightarrow{CA}$ en une somme de deux vecteurs faisant intervenir le point $B$.
$\overrightarrow{CA} =$ [[ca]]
[math id="ca" attendu="\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}"]Attention : la relation de Chasles donne $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$, pas $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}$. Le point intermédiaire $B$ est l'extrémité du premier et l'origine du second.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}"]L'ordre des lettres n'est pas correct. On décompose $\overrightarrow{CA}$, qui part de $C$ et arrive en $A$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Insérer le point $B$ entre $C$ et $A$ : $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{C...} + \overrightarrow{...A}$.[/reponse]
[aide essai="2"]La relation de Chasles permet d'écrire $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$ en introduisant $B$ comme point intermédiaire.[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles en introduisant $B$ : $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Reporter cette décomposition dans $\vec{u}$, développer, puis réduire l'expression en n'utilisant que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DA}$.
$\vec{u} =$ [[u]]
[math id="u" attendu="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA})$
$= \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$
$= \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}"]Il faut remplacer $\overrightarrow{CB}$ par un vecteur du rectangle. $ABCD$ est un rectangle, donc $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Développer $\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, puis utiliser $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ pour regrouper les termes en $\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$. Or $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ dans le rectangle.[/aide]
[aide essai="3"]Après simplification : $\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Réduire $\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$ à un seul vecteur.
$\vec{u} =$ [[uf]]
[math id="uf" attendu="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\vec{u} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ par la relation de Chasles.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}"]C'est correct mais il faut factoriser par $\dfrac{1}{2}$ et appliquer Chasles pour obtenir un seul vecteur.[/reponse]
[reponse motif="\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}"]Il ne faut pas oublier le second terme. $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$ se simplifie par Chasles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Factoriser par $\dfrac{1}{2}$, puis utiliser Chasles sur la somme qui reste.[/reponse]
[aide essai="2"]$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB})$. Appliquer Chasles.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}$ par la relation de Chasles.[/aide]
[/math]
[solution]$\vec{u} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.
Or $I$ est le milieu de $[DB]$, donc $\overrightarrow{DI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.
Ainsi $\vec{u} = \overrightarrow{DI}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Le vecteur $\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ est donc égal à un vecteur remarquable du rectangle. Lequel ?
[select id="final"]
[option]$\overrightarrow{AI}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{DI}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BI}$[/option]
[option]$\overrightarrow{ID}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$I$ est le milieu de $[DB]$, donc $\overrightarrow{DI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.
On a bien montré que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{DI}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AI}$"]$\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, pas $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$. Les deux diagonales sont distinctes.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{ID}$"]Attention au sens : $\overrightarrow{ID} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$, pas $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$. Vérifier l'ordre des lettres.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$I$ est le milieu de la diagonale $[BD]$. Quel vecteur vaut $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ ?[/reponse]
[aide essai="2"]$I$ est le milieu de $[DB]$. Donc $\overrightarrow{DI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}$ va de $D$ vers le milieu de $[DB]$, c'est-à-dire vers $I$.[/aide]
[/select]
[/etape]

Construire un parallélogramme avec les vecteurs

[enonce]
$ABC$ est un triangle. On construit le point $K$ tel que $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$ et le point $L$ tel que les vecteurs $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ soient opposés.

Triangle ABC avec les points K et L construits

On cherche à déterminer la nature du quadrilatère $ABKC$, puis à démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme.
[/enonce]

[etape]
Quelle est la nature du quadrilatère $ABKC$ ?
[qcm]
[option]Rectangle[/option]
[option correct="true"]Parallélogramme[/option]
[option]Losange[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$ signifie que les côtés $[CK]$ et $[BA]$ ont même direction, même sens et même longueur. Un quadrilatère dont deux côtés opposés sont représentés par le même vecteur est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="Rectangle"]On sait seulement que deux côtés opposés ont même direction, sens et longueur. Cela ne suffit pas à garantir des angles droits.[/reponse]
[reponse motif="Losange"]On sait que $CK = BA$, mais rien n'indique que tous les côtés ont la même longueur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Exprimer $\overrightarrow{BL}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$, sachant que $\overrightarrow{BL}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont opposés.
$\overrightarrow{BL} =$ [[bl]]
[math id="bl" attendu="-\overrightarrow{BC}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même norme, mais des sens contraires. L'opposé de $\overrightarrow{BC}$ est $-\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CB}"]C'est correct car $-\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$, mais écrire le résultat sous la forme $-\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{BC}"]Attention : « opposés » signifie de sens contraire. Le résultat ne peut pas être égal au vecteur de départ.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Deux vecteurs opposés $\vec{u}$ et $\vec{v}$ vérifient $\vec{v} = -\vec{u}$.[/reponse]
[aide essai="2"]L'opposé d'un vecteur $\vec{u}$ est le vecteur $-\vec{u}$ : même direction, même norme, sens contraire.[/aide]
[aide essai="3"]Si $\overrightarrow{BL}$ est l'opposé de $\overrightarrow{BC}$, alors $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/aide]
[/math]
[solution]Deux vecteurs opposés vérifient $\vec{v} = -\vec{u}$. Donc $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$, ce qui signifie aussi $\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{CB}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
On souhaite maintenant démontrer que $LBKA$ est un parallélogramme. Pour commencer, exprimer $\overrightarrow{LB}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{LB} =$ [[lb]]
[math id="lb" attendu="\overrightarrow{BC}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse motif="-\overrightarrow{BC}"]Attention, on cherche $\overrightarrow{LB}$ et non $\overrightarrow{BL}$. L'opposé de $\overrightarrow{BL}$ est $\overrightarrow{LB}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CB}"]C'est $\overrightarrow{BL} = \overrightarrow{CB}$, pas $\overrightarrow{LB}$. Attention au sens.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]$\overrightarrow{LB}$ est l'opposé de $\overrightarrow{BL}$. Utiliser le résultat de l'étape 2 pour $\overrightarrow{BL}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL}$. Or $\overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{BC}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC})$. Simplifier le double signe négatif.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{LB} = -\overrightarrow{BL} = -(-\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{BC}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Exprimer $\overrightarrow{AK}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{AK} =$ [[ak]]
[math id="ak" attendu="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}"]C'est la première étape, mais il faut remplacer $\overrightarrow{CK}$ par $\overrightarrow{BA}$ (donnée de l'énoncé).[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}"]Attention : l'énoncé donne $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$, pas $\overrightarrow{AB}$. L'ordre des lettres compte.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Introduire le point $C$ entre $A$ et $K$ par Chasles, puis remplacer $\overrightarrow{CK}$.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}$ (Chasles). On sait que $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA}$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CK}$. En remplaçant : $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Réduire $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}$ à un seul vecteur, puis conclure sur la nature de $LBKA$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}$ donc $LBKA$ est un parallélogramme[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{AK}$ et $LBKA$ est un parallélogramme[/option]
[option]$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}$ donc on ne peut pas conclure[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$ par la relation de Chasles.
Or on a montré que $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{BC}$.
Donc $\overrightarrow{LB} = \overrightarrow{AK}$ : les côtés $[LB]$ et $[AK]$ du quadrilatère $LBKA$ sont représentés par le même vecteur, ce qui prouve que $LBKA$ est un parallélogramme.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB}$ donc $LBKA$ est un parallélogramme"]Reprendre le calcul : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ se simplifie par Chasles en $\overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CA}$ donc on ne peut pas conclure"]Attention à l'ordre dans la relation de Chasles : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Simplifier des sommes de vecteurs

[enonce]
$ABCD$ est un rectangle de centre $I$ (intersection des diagonales).

Rectangle ABCD avec son centre I

On cherche à simplifier plusieurs sommes de vecteurs en utilisant les propriétés de ce rectangle.
[/enonce]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$.
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BD}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AI}$[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
$ABCD$ est un rectangle donc c'est un parallélogramme. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ont la même origine $A$ : par la règle du parallélogramme, leur somme est la diagonale $\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BD}$"]Attention, la règle du parallélogramme donne la diagonale qui part de l'origine commune des deux vecteurs.
L'origine commune est $A$, pas $B$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AI}$"]C'est vrai que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$, mais ce n'est pas la forme la plus simple.
Quel vecteur obtient-on directement par la règle du parallélogramme ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC}$.
$\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} =$ [[s1]]
[math id="s1" attendu="\overrightarrow{DC}"]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
L'extrémité du premier vecteur ($I$) est l'origine du second ($I$) : on applique directement la relation de Chasles.
$\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{DC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{CD}"]Attention à l'ordre des lettres. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{D \ldots} + \overrightarrow{\ldots C} = \overrightarrow{DC}$, pas $\overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Observer les lettres : l'extrémité du premier vecteur correspond-elle à l'origine du second ?[/reponse]
[aide essai="2"]La relation de Chasles : $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$. Identifier $X$, $Y$ et $Z$.[/aide]
[aide essai="3"]Ici $X = D$, $Y = I$, $Z = C$. Appliquer la formule.[/aide]
[/math]
[solution]Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{DI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{DC}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} =$ [[s2]]
[math id="s2" attendu="\overrightarrow{BD}"]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont la même origine $B$. Par la règle du parallélogramme dans $ABCD$, leur somme est $\overrightarrow{BD}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}"]La règle du parallélogramme donne la diagonale issue de l'origine commune, ici $B$.
Le résultat est un vecteur partant de $B$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{DB}"]Attention au sens. La diagonale part de l'origine commune $B$, elle ne va pas vers $B$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Les deux vecteurs ont la même origine $B$. Appliquer la règle du parallélogramme.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux côtés du rectangle partant de $B$. Quelle diagonale part aussi de $B$ ?[/aide]
[aide essai="3"]La règle du parallélogramme : la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur diagonale issu de cette origine.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ ont la même origine $B$. Par la règle du parallélogramme : $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$.[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} =$ [[s3]]
[math id="s3" attendu="\overrightarrow{AC}"]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On applique la relation de Chasles deux fois :
$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AB}"]Ce n'est que la première simplification. Il reste à ajouter $\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Commencer par regrouper les deux premiers vecteurs en utilisant Chasles, puis continuer avec le troisième.[/reponse]
[aide essai="2"]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$ se simplifie par Chasles. Ensuite, ajouter $\overrightarrow{BC}$ au résultat.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AB}$. Il reste $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.[/aide]
[/math]
[solution]$\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (deux applications de Chasles).[/solution]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}$.
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =$ [[s4]]
[math id="s4" attendu="\overrightarrow{0}"]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$I$ est le centre du rectangle, donc le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
On a $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$, d'où $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse motif="0"]Attention à la notation : le vecteur nul s'écrit $\overrightarrow{0}$, pas $0$.[/reponse]
[reponse motif="\overrightarrow{AC}"]Il ne faut pas additionner les vecteurs dans cet ordre. Regrouper les paires de vecteurs opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Le centre d'un rectangle est le milieu des deux diagonales. Utiliser la propriété du milieu pour regrouper les vecteurs par paires.[/reponse]
[aide essai="2"]$I$ est le milieu de $[AC]$, donc $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$. $I$ est aussi le milieu de $[BD]$.[/aide]
[aide essai="3"]$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$. Additionner ces deux résultats.[/aide]
[/math]
[solution]$I$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, donc :
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.
D'où : $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.[/solution]
[/etape]

QCM Bilan : Vecteurs – Généralités

[enonce]
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : égalité de vecteurs et parallélogramme, relation de Chasles et simplification, produit par un réel et colinéarité. Choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme. Alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = $
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BD}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Dans le parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ (côtés opposés).
Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ par la relation de Chasles.
C'est la règle du parallélogramme : la somme de deux côtés consécutifs donne la diagonale.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BD}$"]Non.
Le vecteur $\overrightarrow{BD}$ est l'autre diagonale du parallélogramme. La somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ donne la diagonale issue de $A$, pas celle issue de $B$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le facteur $2$ est en trop. La somme de deux côtés consécutifs du parallélogramme donne la diagonale, pas son double.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas opposés. Utiliser la propriété du parallélogramme pour remplacer $\overrightarrow{AD}$ par un vecteur permettant d'appliquer Chasles.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Dans un parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Remplacer $\overrightarrow{AD}$ par $\overrightarrow{BC}$ puis appliquer la relation de Chasles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Alors $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = $
[qcm]
[option]$4\overrightarrow{OA}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ (propriété du milieu)
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ (propriété du milieu)
La somme totale vaut $\overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse motif="$4\overrightarrow{OA}$"]Non.
Les quatre vecteurs ne sont pas égaux. Les regrouper par paires de vecteurs opposés : $O$ étant le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, utiliser la propriété du milieu.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Regrouper les termes par paires judicieuses. Comme $O$ est le centre du parallélogramme, il est le milieu de chaque diagonale. Que vaut la somme de deux vecteurs allant du milieu vers les extrémités ?[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$"]Non.
Regrouper $(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ et $(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})$ séparément. $O$ est le milieu de chaque diagonale : utiliser la propriété du milieu pour chaque paire.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Utiliser le fait que $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$. Regrouper les vecteurs par paires : $(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$ et $(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[option correct="true"]$2\overrightarrow{CB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{CB}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AB}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
On réordonne pour appliquer Chasles :
$\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$
Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
Pour obtenir le vecteur nul, il faudrait que la somme « boucle » ($A \to B \to C \to A$). Ici les vecteurs ne forment pas un circuit fermé. Réordonner les termes pour appliquer Chasles.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{CB}$"]Non.
Le facteur $2$ a été oublié. Après simplification par Chasles, le vecteur $\overrightarrow{CB}$ apparaît deux fois dans la somme.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AB}$"]Non.
Vérifier le regroupement. En réordonnant la somme, appliquer d'abord Chasles sur $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}$ avant d'ajouter le troisième terme.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Réordonner : $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$. Appliquer Chasles aux deux premiers termes, puis additionner le résultat au troisième.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
On développe puis on remplace les vecteurs opposés :
$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$
$= 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$
$= 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont été inversés. Reprendre le calcul en remplaçant $-\overrightarrow{BA}$ par $+\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CA}$ par $-\overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le dernier terme $\overrightarrow{CA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AC}$, ce qui donne $-\overrightarrow{AC}$. Le coefficient de $\overrightarrow{AC}$ est $2 - 1 = 1$, pas $2 + 1$.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les deux derniers termes ($-\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{CA}$) ont été oubliés. Après avoir développé $2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$, il faut encore ajouter $-\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Développer la parenthèse, transformer les vecteurs opposés ($\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$), puis regrouper par vecteur.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
On donne $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$. Les points $A$, $M$ et $N$ sont :
[qcm]
[option]non alignés car les coefficients sont différents[/option]
[option correct="true"]alignés car $\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AM}$[/option]
[option]alignés car $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$[/option]
[option]impossibles à positionner sans coordonnées[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
On factorise $\overrightarrow{AN}$ :
$\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} = 2(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AM}$
Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires (coefficient $k = 2$), donc $A$, $M$ et $N$ sont alignés.[/reponse]
[reponse motif="non alignés car les coefficients sont différents"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont effectivement différents entre les deux expressions, mais il faut vérifier si les expressions complètes sont proportionnelles. Comparer $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AM}$ globalement.[/reponse]
[reponse motif="alignés car $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$"]Non.
La relation $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MN}$ est toujours vraie (relation de Chasles pour tous points), elle ne prouve pas l'alignement. Il faut montrer la colinéarité, c'est-à-dire la proportionnalité.[/reponse]
[reponse motif="impossibles à positionner sans coordonnées"]Non.
La colinéarité se vérifie sans coordonnées. Comparer les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans les deux expressions : sont-ils proportionnels ?[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Vérifier si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont proportionnels en factorisant l'expression de $\overrightarrow{AN}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$P$ est tel que $\overrightarrow{BP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Exprimer $\overrightarrow{AP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option correct="true"]$\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On introduit $B$ par Chasles : $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$
Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, donc :
$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le vecteur $\overrightarrow{BC}$ n'est pas égal à $\overrightarrow{AC}$. Il faut d'abord exprimer $\overrightarrow{BC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant de substituer.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Les coefficients de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont inversés. Reprendre le développement de $\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ en distribuant le $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse motif="$\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le coefficient de $\overrightarrow{AB}$ est $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{1}{3}$. Le $\overrightarrow{AB}$ initial contribue un coefficient de $1$ auquel il faut soustraire $\dfrac{1}{3}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Écrire $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, remplacer $\overrightarrow{BC}$ par $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$, puis développer et regrouper.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

QCM : Relation de Chasles et somme de vecteurs

[enonce]
Ce QCM porte sur la relation de Chasles et la somme de vecteurs. Pour chaque question, choisissez la bonne réponse parmi les quatre propositions.
[/enonce]

[etape]
Simplifier $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
[qcm]
[option correct="true"]$\overrightarrow{MC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$\overrightarrow{CM}$[/option]
[option]$\overrightarrow{MB}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On applique la relation de Chasles deux fois :
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}$, puis $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MC}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le point de départ du premier vecteur est $M$, pas $A$. En appliquant la relation de Chasles, le résultat part de $M$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{CM}$"]Non.
Attention au sens. La relation de Chasles donne un vecteur dont l'origine est celle du premier vecteur ($M$) et l'extrémité celle du dernier ($C$). Vérifier l'ordre des lettres.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{MB}$"]Non.
La simplification n'est pas terminée. Après $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}$, il reste à ajouter $\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la relation de Chasles successivement : l'extrémité de chaque vecteur coïncide avec l'origine du suivant ($M \to A \to B \to C$).[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = $
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AC}$[/option]
[option]$3\overrightarrow{AB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{CB}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
Puis $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$.
La somme « boucle » de $A$ à $B$ à $C$ et retour à $A$ : elle donne le vecteur nul.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AC}$"]Non.
Le troisième terme $\overrightarrow{CA}$ n'a pas été pris en compte. Après avoir obtenu $\overrightarrow{AC}$ par Chasles, il faut encore ajouter $\overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB}$"]Non.
On ne peut pas additionner les vecteurs comme des nombres. La relation de Chasles s'applique en vérifiant que l'extrémité de chaque vecteur coïncide avec l'origine du suivant.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{CB}$"]Non.
Vérifier le calcul en appliquant la relation de Chasles pas à pas : d'abord $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, puis ajouter $\overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Appliquer la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, puis observer ce que donne $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = $
[qcm]
[option]$\overrightarrow{BC}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{CB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{AB}$[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé :
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$
En réordonnant : $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BC}$"]Non.
Attention au sens. L'opposé de $\overrightarrow{AC}$ est $\overrightarrow{CA}$ (pas $\overrightarrow{BC}$). Reprendre le calcul avec $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas égaux en général ($B$ et $C$ sont des points distincts). La différence n'est donc pas le vecteur nul.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{AB}$"]Non.
Soustraire $\overrightarrow{AC}$ ne revient pas à ajouter $\overrightarrow{AB}$. L'opposé de $\overrightarrow{AC}$ est $\overrightarrow{CA}$. Calculer $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Transformer la soustraction en addition de l'opposé : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}$, puis appliquer la relation de Chasles.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$M$ est le milieu de $[AB]$. Alors $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = $
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AB}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{MA}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{0}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{MB}$[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
$M$ est le milieu de $[AB]$, donc $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$ (les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont opposés).
Leur somme vaut : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AB}$"]Non.
La relation de Chasles donnerait $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MB}$, mais ici le deuxième vecteur est $\overrightarrow{MB}$, pas $\overrightarrow{AB}$. Utiliser la propriété du milieu : $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont opposés.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{MA}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ ne sont pas égaux : ils sont de sens contraires. Comme $M$ est le milieu, ils ont la même norme mais des sens opposés.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{MB}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ ne sont pas égaux : ils sont de sens contraires. Comme $M$ est le milieu, ils ont la même norme mais des sens opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Quand $M$ est le milieu de $[AB]$, les vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ sont opposés. Que vaut la somme de deux vecteurs opposés ?[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
Simplifier $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$.
[qcm]
[option]$3\overrightarrow{AB}$[/option]
[option correct="true"]$\overrightarrow{AB}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BA}$[/option]
[option]$\overrightarrow{0}$[/option]
[reponse statut="correct"]Exactement !
Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$, donc $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
On obtient : $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$3\overrightarrow{AB}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ne sont pas égaux : ils sont opposés. On ne peut pas simplement additionner les coefficients. Remplacer $\overrightarrow{BA}$ par $-\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BA}$"]Non.
Attention à l'écriture : $2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB}$. Vérifier le signe du résultat.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{0}$"]Non.
La somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$, mais ici le premier terme est $2\overrightarrow{AB}$, pas $\overrightarrow{AB}$. Il reste donc un vecteur non nul.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Remplacer $\overrightarrow{BA}$ par $-\overrightarrow{AB}$, puis regrouper les termes en $\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

[etape]
$I$ est le milieu de $[BC]$. Alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = $
[qcm]
[option]$\overrightarrow{AI}$[/option]
[option]$\overrightarrow{BC}$[/option]
[option correct="true"]$2\overrightarrow{AI}$[/option]
[option]$2\overrightarrow{BC}$[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On introduit le point $I$ :
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) = 2\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$
Comme $I$ est le milieu de $[BC]$ : $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$.
Finalement : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{AI}$"]Non.
Le facteur $2$ a été oublié. En introduisant le milieu $I$ dans chacun des deux vecteurs, le terme $\overrightarrow{AI}$ apparaît deux fois.[/reponse]
[reponse motif="$\overrightarrow{BC}$"]Non.
La différence $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ donnerait $\overrightarrow{BC}$ (par Chasles), mais ici il s'agit d'une somme, pas d'une différence. Introduire le milieu $I$ de $[BC]$ dans le calcul.[/reponse]
[reponse motif="$2\overrightarrow{BC}$"]Non.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires en général. Introduire le milieu $I$ de $[BC]$ dans chacun des deux vecteurs pour simplifier.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non.
Introduire le point $I$ avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}$, puis utiliser la propriété du milieu.[/reponse]
[/qcm]
[/etape]

Vrai/Faux : Raisonnements vectoriels

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, alors $A = C$ et $B = D$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que les deux vecteurs ont même direction, même sens et même longueur. Cela entraîne que $ABDC$ est un parallélogramme, mais pas que les points coïncident. Un vecteur possède une infinité de représentants.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Un vecteur n'est pas « attaché » à un point. L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme (ou que les quatre points sont alignés avec les bonnes distances). Mais $A$ et $C$ peuvent être des points distincts.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité de vecteurs $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ n'implique pas la coïncidence des points, seulement que $ABDC$ est un parallélogramme.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points distincts.
Affirmation : Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors ils ont la même direction. Comme ils ont la même origine $A$, les points $A$, $B$ et $C$ sont sur une même droite.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Deux vecteurs colinéaires ont la même direction. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ partent du même point $A$ : s'ils ont la même direction, alors $B$ et $C$ sont sur la droite passant par $A$ de cette direction. Les trois points sont donc alignés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, les trois points sont sur la même droite.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BA} = 5\overrightarrow{AB}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
On a $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, donc $3\overrightarrow{BA} = -3\overrightarrow{AB}$.
Ainsi $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB}$, et non $5\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est d'additionner les coefficients sans tenir compte du signe. $\overrightarrow{BA}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$, donc $3\overrightarrow{BA} = -3\overrightarrow{AB}$.
Le calcul correct donne : $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AB} = (2-3)\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, donc $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{BA} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Soit $O$ un point quelconque du plan.
Affirmation : Pour tous points $A$ et $B$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}$ par la relation de Chasles. Cette décomposition est valable pour tout point $O$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
En utilisant la différence de vecteurs et la relation de Chasles :
$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}$.
Cette relation permet de décomposer n'importe quel vecteur en passant par un point intermédiaire.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par Chasles : $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Si $||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{CD}||$, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
L'égalité des normes signifie que les deux vecteurs ont la même longueur, mais rien ne garantit qu'ils ont la même direction et le même sens. Il faut les trois caractéristiques pour conclure à l'égalité.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
La norme n'est qu'une des trois caractéristiques d'un vecteur. Deux vecteurs de même longueur peuvent pointer dans des directions complètement différentes. Il faut aussi vérifier la direction et le sens pour conclure à l'égalité.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. L'égalité des normes (même longueur) ne suffit pas : il faut aussi même direction et même sens.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
C'est la propriété de distributivité du produit par un réel sur la somme de vecteurs : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$, appliquée ici avec $k = 2$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La distributivité du produit par un réel est une propriété fondamentale des vecteurs. Pour tout réel $k$ et tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$. Ici avec $k = 2$, $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$, l'égalité est bien vérifiée.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la distributivité : $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$.
[/solution]
[/etape]

Vrai/Faux : Somme de vecteurs et relation de Chasles

[enonce]
Pour chaque affirmation suivante sur la somme de vecteurs, indiquez si elle est Vraie ou Fausse.
[/enonce]

[etape]
Affirmation : Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Correct !
C'est la relation de Chasles. L'extrémité du premier vecteur ($B$) coïncide avec l'origine du second ($B$), ce qui permet de « chaîner » les deux vecteurs.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Il s'agit de la relation de Chasles, valable pour tous points du plan. La clé est que l'extrémité de $\overrightarrow{AB}$ (le point $B$) est l'origine de $\overrightarrow{BC}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. C'est la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AC}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bonne réponse !
Pour appliquer la relation de Chasles, il faudrait que l'extrémité de $\overrightarrow{AB}$ coïncide avec l'origine du second vecteur. Or l'extrémité de $\overrightarrow{AB}$ est $B$, et l'origine de $\overrightarrow{CB}$ est $C$, pas $B$. La bonne écriture serait $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Attention à l'ordre des lettres dans la relation de Chasles. Pour chaîner deux vecteurs, l'extrémité du premier doit être l'origine du second. Ici, l'extrémité de $\overrightarrow{AB}$ est $B$ mais l'origine de $\overrightarrow{CB}$ est $C$. Il faudrait écrire $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation de Chasles exige que les vecteurs se « chaînent » : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, pas $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous points $A$ et $B$ du plan : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Exact !
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
Par la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA}$, qui est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$. On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont des vecteurs opposés.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Par Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]C'est bien ça !
Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé. L'opposé de $\overrightarrow{CD}$ est $\overrightarrow{DC}$, donc $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$, et non $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Rappel : soustraire un vecteur, c'est ajouter son opposé. L'opposé de $\overrightarrow{CD}$ n'est pas $\overrightarrow{CD}$ mais $\overrightarrow{DC}$ (on inverse origine et extrémité). Donc $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$, car l'opposé de $\overrightarrow{CD}$ est $\overrightarrow{DC}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Si $M$ est le milieu de $[AB]$.
Affirmation : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$.
[qcm]
[option correct="true"]Vrai[/option]
[option]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Bravo !
Puisque $M$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$, soit $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$. Donc $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est vraie.
La propriété du milieu donne $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$, ce qui signifie $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$.
En ajoutant $\overrightarrow{MB}$ des deux côtés : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est vraie. Si $M$ est le milieu de $[AB]$, alors $\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{MB}$, d'où $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$.
[/solution]
[/etape]

[etape]
Affirmation : Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.
[qcm]
[option]Vrai[/option]
[option correct="true"]Faux[/option]
[reponse statut="correct"]Tu as raison !
On ne peut pas appliquer directement la relation de Chasles car les deux vecteurs ont la même origine $A$. Pour obtenir $\overrightarrow{BC}$, il faudrait écrire $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$, et non $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.[/reponse]
[reponse statut="incorrect"]Non, cette affirmation est fausse.
Le piège est de confondre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
La somme $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ correspond en fait à la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.[/reponse]
[/qcm]
[solution]
Cette affirmation est fausse. La relation de Chasles donne $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$, pas $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.
[/solution]
[/etape]

Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

$ ABCD $ est un parallélogramme de centre $ O $. $ E $ est le milieu de $ [AB] $ et $ F $ est le milieu de $ [CD] $.

  1. Exprimer $ \overrightarrow{EF} $ en fonction de $ \overrightarrow{AD} $.
  2. En déduire que $ AEFD $ est un parallélogramme.
  3. Montrer que $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $ et en déduire que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.
  4. Montrer que $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $.

Corrigé

  1. On décompose $ \overrightarrow{EF} $ en passant par les sommets du parallélogramme.
    En utilisant la relation de Chasles :
    $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF} $
    $ E $ est le milieu de $ [AB] $, donc $ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $.
    $ F $ est le milieu de $ [CD] $, donc $ \overrightarrow{DF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC} $.
    Or $ ABCD $ est un parallélogramme, donc $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $.
    On remplace :
    $ \overrightarrow{EF} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} $

    $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $
  2. On a montré que $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $.
    Cela signifie que les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont parallèles et de même longueur.
    Or, dans le quadrilatère $ AEFD $, les côtés $ [EF] $ et $ [AD] $ sont opposés.
    Par conséquent, $ AEFD $ est un parallélogramme.

  3. On décompose $ \overrightarrow{EO} $ en passant par $ A $ :
    $ \overrightarrow{EO} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AO} $
    $ \overrightarrow{EA} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} $ (car $ E $ est le milieu de $ [AB] $).
    $ O $ est le centre du parallélogramme $ ABCD $, donc $ O $ est le milieu de $ [AC] $ :
    $ \overrightarrow{AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) $
    car $ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} $ (propriété du parallélogramme : $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $).
    On remplace :
    $ \overrightarrow{EO} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $

    $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD} $

    Or, d'après la question 1, $ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AD} $, donc $ \overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} $.
    Cela signifie que $ O $ est le milieu de $ [EF] $.

  4. $ O $ est le milieu de la diagonale $ [AC] $, donc :
    $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0} $
    $ O $ est le milieu de la diagonale $ [BD] $, donc :
    $ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $
    En additionnant ces deux égalités :

    $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} $

Milieux et multiplication par un réel

Soit $ PQR $ un triangle. $ I $ est le milieu du segment $ [PQ] $ et $ J $ est le milieu du segment $ [PR] $.

  1. Exprimer $ \overrightarrow{PI} $ en fonction de $ \overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PJ} $ en fonction de $ \overrightarrow{PR} $.
  2. Montrer que $ \overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $.
  3. En déduire que $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $.
  4. Que peut-on en conclure pour les droites $ (IJ) $ et $ (QR) $ et pour les longueurs $ IJ $ et $ QR $ ?

Corrigé

  1. $ I $ est le milieu de $ [PQ] $, donc :

    $ \overrightarrow{PI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} $

    $ J $ est le milieu de $ [PR] $, donc :

    $ \overrightarrow{PJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $

  2. On exprime $ \overrightarrow{IJ} $ à l'aide de la relation de Chasles en passant par $ P $ :
    $ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IP} + \overrightarrow{PJ} $
    Or $ \overrightarrow{IP} = -\overrightarrow{PI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $.
    Donc :

    $ \overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $

  3. On factorise par $ \dfrac{1}{2} $ :
    $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PQ}) = \dfrac{1}{2}(-\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR}) $
    Or, par la relation de Chasles :
    $ \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{QP} + \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR} $
    Donc :

    $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $
  4. L'égalité $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $ montre que les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{QR} $ sont colinéaires.
    On en déduit que les droites $ (IJ) $ et $ (QR) $ sont parallèles.
    De plus, $ \| \overrightarrow{IJ} \| = \dfrac{1}{2} \| \overrightarrow{QR} \| $, ce qui signifie que $\mathbf{IJ = \dfrac{1}{2} QR}$.